Statistica per l azienda (1)

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1 Statistica per l azienda (1) COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Teoria Esercizi 1) Un azienda farmaceutica vuole valutare la tollerabilità di un nuovo farmaco, di cui è già stata provata l efficacia, sulla popolazione. Per questo viene effettuata una sperimentazione clinica di fase IV, nella quale vengono reclutati 1200 pazienti. Di questi, 82 presentavano uno o più eventi avversi (EA), il cui tasso non dovrebbero superare il 5%. 1.1) Costruire un test per la percentuale di EA, con probabilità di errore di I specie pari al 2.5%, indicando le ipotesi statistiche, la statistica test, la regione di rifiuto. 1.2) Calcolare il test, il p-value e commentare. 1.3) Si è adottato un test esatto o approssimato? Motivare la risposta. Nella seguente tabella sono riportati gli EA più frequenti tra quelli riscontrati. Nausea Vertigini Pressione Reazioni Pressione Cefalea altro alta allergiche Bassa ) Riportare i dati su un opportuno grafico, con il fine di evidenziare gli EA più frequenti. Mostrare anche le quantità cumulate. Commentare. CONTINUA SUL RETRO

2 2) In un azienda tessile viene prodotta una fibra semisintetica e si è interessati alla forza di rottura rispetto alla quale il filo (di spessore 1mm) dovrebbe resistere. La media della forza peso a cui il filo dovrebbe resistere è di 5kg, con uno sqm pari a 0.5kg. Viene per questo fatta una prova di rottura in 6 diversi punti del filo, presi a campione. I pesi di rottura che si ottengono alla prima rilevazione temporale sono i seguenti: T ) Stimare la varianza del peso di rottura a T1, evidenziando parametro, stimatore e stima. Commentare rispetto alle specifiche di produzione. Nei 5 istanti successivi si sono osservate le seguenti stime della varianza, sempre ottenute con campioni di numerosità 6 e stimatore identico al punto precedente. T1 T2 T3 T4 T5 T6 s^2_ X^_ ) Costruire una CC per la varianza con i limiti probabilistici, con alfa=10%: calcolare o definire UCL, CL, LCL. Tracciare il grafico e commentare. 2.3) Definire uno stimatore della varianza globale, basato sugli stimatori della varianza nei vari istanti, e calcolarne la realizzazione. 2.4) Sulla base delle stime della media riportate nella seconda riga della tabella e sapendo che USL=5.2 e LSL=4.9, stimare la percentuale di fibra non conforme prodotta in totale. Commentare il risultato ottenuto.

3 Statistica per l azienda Esame del (2) COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Teoria Esercizi 1) Un azienda ricicla materiali ferrosi e produce bulloni del diametro interno nominale di 1.2cm, con una deviazione standard nominale pari a 0.05mm. Per verificare se la distribuzione dei diametri è gaussiana, senza particolare attenzione alle specifiche di produzione, viene effettuato un campionamento di 14 bulloni, i cui diametri sono riportati sotto ) Costruire un istogramma definendo opportunamente 4 classi. 1.2) Sovraimporre all istogramma la densità della gaussiana che meglio si adatta ai dati campionari. Commentare. 1.3) Costruire un test di gaussianità, senza tener conto delle specifiche di produzione, con α=10%, indicando le ipotesi statistiche, la statistica test e la regione di rifiuto. 1.4) Calcolare l esito del test ed il p-value. Commentare. CONTINUA SUL RETRO

4 2) In un azienda agricola viene monitorata la produzione giornaliera di latte di alcuni capi, che dovrebbe essere, mediamente, di 20lt a capo. Vengono prese come campione le produzioni di 4 capi, scelti casualmente, nel giorno di Giovedì in 7 settimane consecutive. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T Si vuole costruire un CC per la media, che tenga conto della bassa numerosità campionaria. 2.1) Definire lo stimatore utilizzato ad ogni istante e calcolarne la realizzazione. 2.2) Definire uno stimatore della deviazione standard globale, basato sugli stimatori del range nei vari istanti, e calcolarne la realizzazione. 2.3) Costruire la CC a 3-sigma per la media, tracciare il grafico e commentare. 2.4) Stimare il Process Capability Ratio, indice di capacità di processo, sapendo che USL=22.5 e LSL=17.5. Commentare il risultato ottenuto.

5 Statistica per l azienda (1) Docente: De Martini Zenga COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Teoria 1) Potenza del test e determinazione della numerosità campionaria. 2) Carte di controllo per una percentuale, con numerosità variabile. Esercizi 1) Una ditta artigianale produce salsicce con carne mista (suino e selvaggina) e, per tradizione, il peso medio delle stesse deve essere di 120g. Viene tollerato uno scostamento massimo del 10% rispetto alla media nominale (traccia: i 6-sigma devono coprire μ ± 10%μ). Per verificare se la distribuzione dei pesi è gaussiana e rispetta le specifiche di produzione, viene effettuato un campionamento di 16 salsicce, i cui pesi sono riportati sotto ) Costruire un istogramma definendo opportunamente 4 classi, tenendo conto delle specifiche di produzione. (I valori estremi, esterni alle classi, vanno conteggiati nella classe estrema più vicina.) 1.2) Sovrapporre all istogramma la densità della gaussiana (teorica) che rispetta le specifiche di produzione. Commentare. 1.3) Calcolare le frequenze teoriche delle 4 classi, tenendo conto delle specifiche di produzione; costruire un test di gaussianità che tenga conto delle specifiche di produzione, con α=5%, indicando le ipotesi statistiche, la statistica test e la regione di rifiuto. 1. 4) Calcolare l esito del test ed il p-value. Commentare. CONTINUA SUL RETRO

6 2) Un azienda ittica coltiva mitili (frutti di mare) e li impacchetta in sacchi da 5kg nominali. La fase di impacchettatura viene effettuata a mano da un addetto, e per questo deve essere controllato il peso dei sacchi. Viene quindi prelevato ogni 15 minuti un campione di 3 sacchi, per un periodo di 2 ore, e si sono registrati i seguenti 8 campioni: Istanti X X X Media ) Al fine di tenere sotto controllo la media, definire un IdC per la media globale della produzione, con errore alfa=8%. La stima globale dello sqm è risultata pari a ) Calcolare l IdC e commentare rispetto alle specifiche di produzione. Si tratta di un IdC esatto o approssimato? Motivare la risposta. 2.3) Al fine di tenere sotto controllo la variabilità, si costruisca una opportuna CC a 3-sigma tenendo conto della bassa numerosità dei campioni. Si definisca quindi lo stimatore utilizzato ad ogni istante per monitorare la variabilità del PP, e se ne calcoli la realizzazione ad ogni istante. 2.4) Si disegni la CC e si commenti il risultato.

7 Statistica per l azienda (2) Docente: De Martini Zenga COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Teoria 1) Spiegare la differenze tra IdC esatti ed approssimati, facendo riferimento a differenti IdC teorici ed esemplificando numericamente. 2) Carte di controllo per la deviazione standard, con numerosità campionaria pari a 12. Esercizi 1) Un agenzia governativa deve valutare la qualità degli oli di oliva extravergine pregiati (i.e. da 8 a 12 Euro al litro) immessi sul mercato. Il tasso di acidità deve essere <0.8gr/litro. Viene preso un campione casuale di 6 oli ed analizzato il tasso di acidità, che fornisce i seguenti risultati: ) Calcolare le stime della media e della deviazione standard dell acidità degli oli a basso costo. 1.2) Calcolare un opportuno indice di capacità di processo. Un controllo analogo viene replicato su un campione di 27 oli di oliva extravergini a basso costo (i.e. da 3 a 5 Euro al litro), e 8 di questi hanno mostrato difetti al gusto che un extravergine non dovrebbe avere, se non al massimo nel 5% dei casi. 1.3) Definire un test con alfa=10% per verificare il tasso di oli difettosi, specificando le ipotesi statistiche, la statistica test e la regione di rifiuto. 1.4) Calcolare il test, il p-value e commentare. CONTINUA SUL RETRO

8 2) Un azienda americana che produce pizze surgelate ha la necessità di pesare i panini di pasta di pizza prima che vadano ad esse pressati. Questi dovrebbero avere un peso di 220g, con una deviazione standard del 3% rispetto al peso ideale. Si assume che la distribuzione del peso sia gaussiana. Un controllo in corso di produzione durato un ora con intervalli di 10 minuti e campioni di taglia 8, ha fornito i seguenti dati: Σ X_i Σ X_i^ ) Costruire un IdC per la varianza globale del peso con probabilità di copertura 95%, calcolarne una realizzazione. Convertire in IdC per sigma e commentare rispetto alle specifiche di produzione. 2.2) Si vuole monitorare la media del PP: definire lo stimatore da utilizzarsi ad ogni istante e calcolarne le realizzazioni. 2.3) Costruire una CC per la media con limiti probabilistici ed alfa=4%. Evidenziare LCL, CL, UCL. 2.4) Tracciare il grafico della CC e commentare rispetto alle specifiche di produzione.