Riflessione e rifrazione tra due mezzi omogenei isotropi non conduttori
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- Leopoldo Barbato
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1 Riflessione e rifrazione tra due mezzi omogenei isotropi non conduttori Vogliamo descrivere i fenomeni dovuti ad un onda elettromagnetica piana (polarizzata linearmente ) monocromatica incidente su di una superficie (piana) che separa due mezzi isotropi ed omogenei non conduttori vogliamo cioè identificare le leggi che governano la riflessione e la rifrazione di onde elettromagnetiche. Immaginiamo una superficie di separazione tra due mezzi dielettrici omogenei ed isotropi schematizzata dal piano di equazione x 0. Sia ˆn ( 0 0) il versore che la caratterizza e normale ad essa. Il piano di incidenza è individuato dal vettore d onda dell onda elettromagnetica piana incidente k e dal versore ˆn (nel caso presente il piano di incidenza coincida col piano (x y)). In presenza di materia (come nel nostro caso) le equazioni di Maxwell a cui i campi elettrici e magnetici delle onde presenti debbono ubbidire sono scrivibili D ϱ lib () E B () t B 0 (3) H j lib + D (4) t dove assumiamo che ϱ lib 0 e j lib 0 (i mezzi non sono sedi di cariche e correnti libere). Inoltre supponiamo valgano (con buon grado di approssimazione) le D ɛ 0 ɛ r E ɛe (5) B 0 r H H. (6) Le precedenti equazioni implicano che nel piano x 0 di separazione tra la regione e la regione debbono valere le condizioni di seguito elencate: E // E // ovvero (E E ) ˆn 0 da E B (8) t D D ovvero (D D ) ˆn 0 da D 0 (9) H // H // ovvero (H H ) ˆn 0 da H D (0) t B B ovvero (B B ) ˆn 0 da B 0. () dove (7) E E i + E r () E E t (3) B B i + B r (4) B B t. (5) Discuteremo i due casi di polarizzazzione lineare perpendicolare al piano di incidenza e parallela al piano di incidenza come sotto specificato. Ogni altra polarizzazione dell onda piana incidente risulterà combinazione lineare delle due discusse.
2 ed i campi incidenti riflessi e trasmessi sono espressi (in generale): E i e i(kxx+kyy ωt) B i k E i ω (6) E r E 0 e i(k xx+k yy ω t) B r k E r ω (7) E t 0 e i(k xx+k y y ω t) B t k E t ω. (8) Un esempio di applicazione delle condizioni al contorno Come esempio di applicazione delle condizioni al contorno (8)-() discutiamo la condizione (8) nel caso in cui il campo elettrico incidente sia perpendicolare al piano di incidenza ovvero E i ẑ e i(kxx+kyy ωt) (9) e lungo la stessa direzione risulteranno i campi elettrici riflesso e trasmesso. In questo caso quindi i vettori campo elettrico risultano paralleli al piano di separazione e la (8) è perciò valida per il modulo dei campi elettrici ovvero: E0 e i(kxx+kyy ωt) + e i(k x x+k y y ω t) x0 0 e i(k x x+k y y ω t). (0) x0 La condizione (0) deve valere per tutti gli istanti ed in tutti i punti del piano x 0 in particolare nel punto y 0 dove si riduce Deve quindi valere e iωt + E 0 e iω t 0 e iωt. () ω ω ω () perché resti valida la condione al contorno per ogni istante t. Che la frequenza non cambi è conseguenza fisica del fatto che la frequenza è fissata dalla sorgente che emette la radiazione elettromagnetica e la () è indipendente dalla particolare condizione al contorno (8) nel cui contesto è stata ricavata. Anzi qualsiasi condizione al contorno perché resti valida ad ogni istante implica la (). È inoltre da rilevare che la stessa condizione deve essere valida per ogni punto del piano di separazione ovvero (dalla (0) e dalla ()) e i(kyy ωt) + e i(k y y ωt) e i(k y y ωt) (3) da cui k y k y k y (4) condizione indipendente dal contesto in cui è stata ricavata e legata anch essa a condizioni al contorno qualunque. D altra parte essendo valida la k ω c rɛ r ω c n
3 per tutte le onde piane propagantesi in un mezzo dielettrico omogeneo di costanti dielettrica e magnetica relative ɛ r r ovvero di indice di rifrazione n ɛ r r valgono le k n k n k n ω c (5) che insieme alle (4) danno kx k x k x k x ; ovvero che gli angoli di incidenza (ϑ i ) e di riflessione (ϑ r ) sono uguali cos ϑ i k x k cos ϑ r k x k. Anche la legge di Snell segue dalle stesse proprietà dovute alla presenza di condizioni al contorno per x 0 infatti dalla (5) si deduce k n k n (6) ovvero sfruttando le (4) k x n k k n y (7) relazione che lega il numero d onda trasmesso a quello incidente e che resta vera anche nel caso in cui gli indici di rifrazione risultino complessi. Una relazione più semplice è implicata nel caso in cui i numeri d onda e gli indici di rifrazione risultino reali come in molti casi di materiali trasparenti alle frequenze ottiche. In tale caso infatti valgono le sin ϑ t k y k sin ϑ i k y k ovvero dalle (6) e sfruttando l uguaglianza (4) k y n sin ϑ t k y n sin ϑ i n sin ϑ t n sin ϑ i. (8) osservazione Potremmo affermare (invertendo il ragionamento fatto a scopo didattico) che le fasi dei campi in x 0 debbono risultare le stesse perché le conzioni al contorno debbono valere per tutti i punti di coordinata y ed a tutti gli istanti qualunque siano queste condizioni. In particolare deve valere k r x0 k r x0 k r x0 le quali implicano che: i) i vettori k k e k debbono giacere sullo stesso piano (il piano di incidenza); ii) ϑ i ϑ r l angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione; iii) vale la legge di Snell per l onda trasmessa. 3
4 In conclusione visto che sul piano di separazione le fasi sono uguali potremmo riscrivere le condizioni (8) - () in funzione delle ampiezze dei campi elettrici incidente riflesso e trasmesso sfruttando anche le relazioni per i campi magnetici vedi (6) - (8). Si ottiene: E // E // + E 0 0 ˆn 0 (9) D D ɛ ( + E 0) ɛ 0 ˆn 0 (30) H // H // (k + k E 0) k 0 ˆn 0 (3) B B k + k E 0 k 0 ˆn 0. (3) Sfrutteremo le condizioni appena elencate per trovare (nei diversi casi di polarizzazione) i campi riflessi e trasmessi in funzione dei campi incidenti. Ampiezze dei campi trasmesso e riflesso nel caso di incidenza perpendicolare ( ): ovvero campo elettrico polarizzato perpendicolarmente al piano di incidenza In questo caso ẑ E 0 E 0 ẑ 0 0 ẑ ; (33) il campo elettrico incidente è tutto lungo l asse ẑ ovvero perpendicolare al piano (x y) scelto come piano di incidenza. La relazione (9) si riduce ad una relazione tra i moduli dei campi come già discusso; si ottiene: +. (34) Abbiamo bisogno di una seconda equazione per trovare ed in funzione di utilizziremo la (3). È immediato verificare che con le condizioni (33) ˆn ( 0 0) e l uguaglianza (k ) ˆn (k ˆn) k ( ˆn) (k ˆn) ẑ k x si ha (k ) ˆn (k E 0) ˆn (k 0) ˆn k x k x k x k cos ϑ i 0 0 k E 0 cos ϑ r k 0 cos ϑ t dove la seconda serie di uguaglianze contenenti la funzione coseno è valida se i k sono reali. Inoltre dato che il numero d onda è legato all indice di rifrazione n (da non confondere con il versore ˆn...) k ω c n potremmo scrivere la (3) ( E 0) k x 0 k x 0 (35) 4
5 ovvero ( E 0) n cos ϑ i 0 n cos ϑ t 0 (36) che è la seconda equazione cercata. Le due si combianano per dare n cos ϑ i n cos ϑ t n cos ϑ i + n cos ϑ i n n sin ϑ i (37) n cos ϑ t n cos ϑ i + n n sin ϑ i n cos ϑ i n cos ϑ i + n cos ϑ t n cos ϑ i. (38) n cos ϑ i + n n sin ϑ i Le seconde relazioni sono ottenute integrando la legge di Snell nelle prime n cos ϑ t (n cos ϑ t ) n n sin ϑ t n n sin ϑ i (39) in modo da rendere il secondo membro solo funzione dell angolo di incidenza. esercizio Utilizzando la legge di Snell verificare che (se 0 ) n cos ϑ i n cos ϑ t n cos ϑ i + sin(ϑ i ϑ t ) n cos ϑ t sin(ϑ i + ϑ t ). Si può notare che valgono le relazioni ϑ i 0 ϑ i 0 n n n + n n n n + n se 0 ; (40) n n + n n n + n se 0 ; (4) che pur essendo itate ad angoli di incidenza nulli valgono anche nel caso di indici di rifrazione complessi. Per esercizio si può infatti dimostrare che per ϑ i 0 le due condizioni (34) e (35) che valgono in generale nel caso ϑ i 0 generano i risultati discussi (40)(4). Infatti in caso di incidenza a ϑ i 0 si ha k x k (ω/c)n k x k (ω/c)n che inseriti nella (35) e tenuto conto della (34) danno il risultato desiderato. Inoltre valgono le ϑ i π/ ϑ i π/ ; (4) 0. (43) 5
6 Ampiezze dei campi trasmesso e riflesso nel caso di incidenza parallela (//): ovvero campo elettrico polarizzato lungo il piano di incidenza e In questo caso ˆx x + ŷ y E 0 ˆx x + ŷ y 0 ˆx x + ŷ y ; (44) ˆn ˆx ẑy ẑ cos ϑ i. analogamente (e considerando bene le direzioni) E 0 ˆn E 0 ˆx ẑe 0y +ẑe 0 cos ϑ r. 0 ˆn 0 ˆx ẑy ẑ cos ϑ t. Dalla (9) segue dunque ( ) cos ϑ i cos ϑ t 0. La condizione al contorno (3) si scrive in questo caso molto semplicemente perché k E ed entrambi nel piano (x y) k E ẑ ke perciò (k + k E 0) k 0 ovvero ( + E 0) n n 0. Il sistema di equazioni conduce alle soluzioni: n cos ϑ i n cos ϑ t n cos ϑ i + n cos ϑ t n cos ϑ i n n n sin ϑ i (45) n cos ϑ i + n n n sin ϑ i n cos ϑ i n n cos ϑ i. (46) n cos ϑ i + n cos ϑ t n cos ϑ i + n n n sin ϑ i Ancora una volta valgono le relazioni E 0 n n ϑ i 0 n n se 0 ; (47) // n + n n + n 0 n ϑ i 0 n se 0 ; (48) // n + n n + n e le ϑ i π/ ϑ i π/ ; (49) 0. (50) 6
7 Angolo di Brewster Si noti che dalle (45) con sfruttando le relazioni trigonometriche cos α + tan α sin α tan α + tan α per un angolo tale che tan ϑ ib n (5) n 0. L angolo di incidenza ϑ ib che soddisfa la relazione (5) è detto angolo di Brewster seguendo il nome del suo scopritore che lo individuò empiricamente nel 8. Nel caso di un angolo di incidenza pari a ϑ ib l angolo tra il raggio trasmesso e quello riflesso vale π/ ovvero ϑ ib + ϑ t π/. Infatti dalla legge di Snell n sin ϑ i n sin ϑ t ( ) π n sin ϑ ib n sin ϑ t n sin ϑ ib n cos ϑ ib da cui la condizione di Brewster tan ϑ ib n n necessaria all annullamento della componente riflessa parallela al piano di incidenza. Nel caso della separazione aria vetro n n.5 e ϑ ib arctan o ; in questo caso l angolo di trasmissione (rifratto) avrebbe un angolo di rifrazione ϑ t 33.7 o. Questa osservazione induce a pensare che nel modello ad elettroni oscillanti i dipoli atomici oscillanti in forza dell onda incidente e che nella materia sono forzati dal campo elettrico E t parallelo (per ϑ i ϑ ib ) al raggio riflesso l angolo di Brewster trovi una spiegazione microscopica semplice: il dipoli elettrici infatti non emettono radiazione lungo la loro direzione di oscillazione. Potere riflettente dei metalli Sia in condizioni di campo parallelo (//) che perpendicolare ( ) al piano di incidenza per angoli vicini a ϑ i 0 l intensità della radiazione riflessa assume la stessa espressione I r I i n n. n + n Se assumiamo ora (come nel caso dei metalli) che l indice di rifrazione n in I sia (praticamente) immaginario si ha (supponiamo n come nel caso dell aria) I r I i in I!!. + in I È questo risultato che giustifica la grande capacità riflettente delle superfici metalliche (opportunamente trattate per renderle levigate ed omogenee). La regola è generale se un materiale è (a certe frequenze) un buon assorbitore (grande valore della parte immaginaria dell indice di rifrazione) quelle frequenze non penetrano nel materiale e vengono riflesse (se la superficie è opportuna). 7
8 Onda evanescente e riflessione totale Se n > n sin ϑ t sin ϑ i n n > sin ϑ i in particolare ϑ t π/ per sin ϑ i n n l angolo di rifrazione raggiunge π/; (ϑ i 49 o per il passaggio aria acqua dove n.33). Per angoli ϑ i > ϑ i accade il fenomeno della riflessione totale il raggio luminoso viene interamente riflesso. In queste circostanze continua ad essere reale mentre cos ϑ t sin ϑ t sin ϑ i n n ( sin ϑ t sin n ϑ i n ) i ( ) sin n ϑ i n è puramente immaginario dato che sin ϑ i > n /n. Se si considera dunque il campo elettrico trasmesso E t 0 e i(k x x+k ( ) k sin n ϑ i n 0 e y y ωt) 0 e i(k cos ϑ tx+k sin ϑ ty ωt) x e i(k n n sin ϑ i y ωt) si scopre che la sua ampiezza si attenua rapidamente lungo la direzione x direzione di propagazione nel mezzo e che la velocità di fase lungo y risulta v fase ω k y ω k n n sin ϑ i ω k v n fase incidente n sin ϑ i n n sin ϑ i. (dove si è utilizzata la relazione (6) e indicato v fase incidente ω/k). Se si calcola l intensità trasmessa attraverso la superficie di separazione dei due mezzi ovvero lungo la direzione ˆn si scopre che l intensità si annulla una volta raggiunto il regime di riflessione totale. Infatti (essendo E t 0e i(k r ωt) e H t B t k E t ) l intensità ω lungo ˆn diviene : I R (E t H t ) ˆn R (k ˆn) ω che si annulla quando R (k ˆn) k R (cos ϑ t ) si annulla cioè quando cos ϑ t è puramente immaginario come nel caso presente. Si è usata per semplicità la relazione RA RB R (A B ) valida quando la dipendenza dal tempo di A e B è del tipo e iωt. 8
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