LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

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1 CAPITOLO 44 LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA IL CORPO NERO E L IPOTESI DI PLANCK All aumentare della temperatura aumenta la quantità di energia presente nella radiazione del corpo nero ed è quindi plausibile aspettarsi che la densità spettrale (cioè l energia presente per metro cubo) per ogni lunghezza d onda aumenti. 2 Poiché la lunghezza d onda e la frequenza sono legate dalla relazione λ f c, la risposta è sì. L espressione della distribuzione spettrale in funzione della frequenza e della temperatura è R( f,t ) 2π f 5 c 3 hf h k e T B 3 T 2, m K λ max 2, m K m 5,80 03 K 4 Risulta λ max 2, m K 0, K 4, 0 7 m quindi la stella appare di colore violetto. 5 Ricordando che T ( K) T ( C), risulta E Q cm f c λ E nhf T ( 4,8 0 3 J/(kg K) )( 50 kg) (,0 K) 2, J ct 2, m K ( 5,8 0 3 K) 3, m/s n E hf 2, J ( 6, J s) 6,0 0 4 s 2, m K 6,0 0 4 Hz 0, ,3 0 2

2 6 Per fare una stima, possiamo calcolare il valore della distribuzione spettrale per λ UV-B 300 nm : 2πc2 h 5 hc R λ UV-B, T S λ UV-B 2π 3,00 08 m/s 3, m ( λ e UV-B )k B T S 2 6, , J s 34 J s 3,9 0 ( 3, m/s) ( 3,00 0 e 7 m) (, J/K) ( 5,8 0 3 K) 3 W/m 3 2 L EFFETTO FOTOELETTRICO 7 La luce blu ha una frequenza (e dunque un energia) minore della radiazione ultravioletta. Quindi il tungsteno avrà una frequenza di soglia maggiore. 8 λ max c 3,00 08 m/s 544 nm f min 5,5 0 4 Hz 9 V a K max e,6 0 8 J,6 0 9 C 0 V 0 K e V a,6 0 9 C 2,4 V 3,8 0 9 J v 2K m 2 ( 3,8 0 9 J) 9, 0 3 kg 9,2 05 m/s La frequenza minima f min corrisponde a λ max, quindi f min λ giallo 0,6 µm c 3,00 08 m/s λ max m 5, Hz nel caso di luce gialla si ha f giallo < f min quindi la luce non ha alcun effetto. λ viola 0,4 µm nel caso di luce viola si ha f viola > f min 2

3 2 quindi vengono estratti elettroni con energia cinetica massima ben definita. λ max c 3,00 08 m/s 542 nm f min 5, Hz La frequenza dei raggi X è compresa fra Hz e Hz, maggiori di f min, quindi verranno estratti elettroni per effetto fotoelettrico. La frequenza delle microonde è compresa circa fra 0 0 Hz e 0 2 Hz, minori di f min, quindi la luce non avrà alcun effetto. 3 K 0 J V c V a 0 V Nulla, il potenziale è indipendente dalle distanze. 3 LA QUANTIZZAZIONE DELLA LUCE SECONDO EINSTEIN 4 Planck ipotizzò che i soli processi di scambio di energia fra materia e radiazione fossero quantizzati. Einstein ipotizza invece che la radiazione stessa, indipendentemente dall interazione con la materia, sia quantizzata. 5 Consideriamo la quantità di moto di un oggetto di massa di kg e velocità m/s. La sua quantità di moto è quindi p kg m/s Perché un fotone abbia la stessa quantità di moto dovrebbe essere p hf c quindi kg m/s kg m/s f cp h 3,00 08 m/s 6, J s 0 42 Hz che è una frequenza elevatissima, decine di ordini di grandezza superiore a quella dei raggi gamma. Ciò discende dal valore così piccolo della costante di Planck. Per questa ragione, nel mondo macroscopico, la descrizione classica rende conto molto bene di un numero elevatissimo di esperimenti e fenomeni. 6 No, si ottengono 0 puntini luminosi in corrispondenza dei punti in cui i fotoni vengono assorbiti. 7 L elettrone acquisterebbe l energia necessaria per uscire dal metallo. Tuttavia, il numero di elettroni emessi in questo modo è molto piccolo e difficile da rilevare sperimentalmente. 3

4 8 ( 3, m/s) E min hf min 6, J s m p E c 3, J 3, m/s, kg m/s W e f min h 3, J 9 ( 3, m/s) W e hf K 6, J s 3, m 20 L area A p della pupilla vale A p πr 2 π d 2 4 π( 8,0 0 3 m) , J 3, J ( 0,200 ev) (,6 0 9 J/eV) 5,7 0 9 J 50,3 0 6 m 2 5, m 2 Detta E min l energia minima percepita dall occhio, risulta: E min t n fotoni t E fotone n t L irradiamento è dato da E R E A t A E min t hc λ ( 6, J s) ( 3, m/s) 60 s 5,6 0 7 m W 4, W/m 2 5, m 2 s La potenza della sorgente è P E e ( 4πr 2 ) ( 4,2 0 3 W/m 2 )4π,0 0 8 m W W 5,3 0 4 W 2 L energia E a assorbita durante una lampada solare dal corpo umano è E a P a t ( 0,54 W) ( 5 60 s) 4,9 0 2 J quindi il numero N totale di lampade solari che si possono fare in un anno è N E tot E a 2,7 04 J 4,9 0 2 J 55 Il numero di fotoni n UV emessi al secondo si ricava da E a ne UV n UV hf UV n UV h c λ UV quindi n UV λ UV hc E a 4, m ( 6, J s) 3, m/s 0,54 J, 08 Per una lampada gialla, il numero di fotoni n G emessi al secondo è invece

5 22 n G λ G hc E G E hc λ 6, J s m W e hf K max W e hf min 5,8 0 7 m ( 6, J s) 3, m/s ( 3, m/s) L energia cinetica massima dei fotoelettroni è,44 V K max ev a, C quindi W e hf K max 2,34 ev,44 ev 0,9 ev 23 K max hf hf min hc λ hf h c min λ f min 6, J s 24 La potenza emessa è P e ηp 60 W (,0 s ), , J 2,34 ev 2, J,44 ev 3, m/s 6,5 0 7 m 2,50 04 Hz,4 0 9 J Possiamo esprimere l energia totale irradiata dalla lampada in due modi: come funzione di P e : E tot P e t ηp t come funzione del numero totale n di fotoni emessi a frequenza f: E tot ne nhf Uguagliando le due formule si trova: ηp t nh f P nhf η t nhc η t λ 2, ( 6, J s) ( 3, m/s) 0,20(,0 s) ( m) 57 W η P e P P e E tot t nhf t nhc λ t 5

6 η P e P nhf P t nhc P t λ ( 6, J s) ( 3, m/s) ( 60 W) ( s) ( 5,7 0 7 m) 2,0 09 0,2 26 Poiché l irradiamento è uniforme, il rapporto fra i fotoni n d che colpiscono il detector e i fotoni n emessi dalla sorgente è uguale al rapporto fra l area del detector e l area del fronte sferico dei fotoni a distanza r dalla sorgente. Quindi n d 2 n πr d 4πr 2 n d 2 r d 4 r n r d 2 P t 4 r h f Imponendo che n d 0, si ottiene r 2 P t λ 0hc 2 r d 4 r ( 3,0 0 2 W) s 0 6, J s 2 P t λ hc ( 9, m) ( 3, m/s) ( 2,0 0 2 m),2 0 2 m 4 L EFFETTO COMPTON 27 A rigore no, ogni fotone ha la sua lunghezza d onda e non può cambiarla. Il fotone viene assorbito dall elettrone durante l urto; l elettrone accelera e quindi emette radiazione elettromagnetica, cioè fotoni, di lunghezze d onda in genere diverse da quella del fotone incidente. 28 No. Nell urto, l elettrone cambia velocità, quindi ha un accelerazione. Come spiegato nel capitolo «Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche», una carica elettrica accelerata emette onde elettromagnetiche, cioè fotoni. 29 Sì. Essendo il protone una particella carica, anch esso interagirà con il fotone incidente. Comunque, poiché la massa del protone è quasi duemila volte più grande di quella dell elettrone, la variazione di lunghezza d onda del fotone incidente sarà di minore entità (nella formula per il calcolo di λ la massa della particella bersaglio si trova infatti al denominatore). 30 λ λ h cosϕ λm e c 3 6, J s ( 7,0 0 m) 9, 0 3 kg λ h ( cosϕ ) mc 6, J s 9, 0 3 kg ( 3, m/s) 3,5% ( cos60 ) ( 3, m/s),2 0 2 m 32 La variazione della lunghezza d onda del fotone nel primo esperimento è λ e 0,030 λ 6

7 La variazione della lunghezza d onda è inversamente proporzionale alla massa della particella urtata. Quando l esperimento viene condotto con protoni, la variazione della lunghezza d onda è λ p m e m p pari allo 0,006%. λ e 9, 0 3 kg (, kg 0,030 λ),2 0 5 m 33 Calcoliamo la lunghezza d onda iniziale della radiazione: E h f hc λ ( 3, m/s) (,6 0 9 J/eV) λ hc E 6, J s ev Dopo la diffusione a θ 90 risulta E h f hc λ 0, m m ( 3, m/s) hc 6, J s λ + h 6, J s m + m e c 9, 0 3 kg ( 3, m/s) 9, J m 27,6 0 2 m + 2, m 0,66 6,6 0 5 J 0 4 J 4 kev, J/eV Calcoliamo l energia cinetica dell elettrone dopo l urto che equivale alla differenza fra l energia iniziale del fotone incidente e l energia del fotone diffuso. Quindi K e hf h f 45 kev 4 kev 4 kev 34 I moduli della quantità di moto di un fotone prima e dopo la diffusione valgono: p prima h λ 6, J s 28,0 0 2 m 2, kg m/s p dopo h λ 2, kg m/s h 6, J s λ + h 6, J s 28,0 0 2 m + m e c 9, 0 3 kg Per la conservazione della quantità di moto si ha ( 3, m/s) p e p 2 + p 2 2 3, kg m/s 7

8 35 La variazione di lunghezza d onda del fotone è λ h cosϕ m e c da cui λ λ 2,8% 6, J s ( 9, 0 3 kg) 3, m/s La lunghezza d onda iniziale del fotone è λ λ 2,8% 7, 0 3 m 2,54 0 m 0, 0280 Calcolo la lunghezza d onda del fotone diffuso: 2 2 λ λ + λ ( 2,54 + 0,07) 0 m 2,6 0 m L energia del fotone diffuso è ( 3, m/s) E h f hc λ 6, J s 2,6 0 m L energia iniziale del fotone incidente è ( 3, m/s) E hf hc λ 6, J s 2,54 0 m L energia cinetica dell elettrone dopo l urto è 7, J 7, J K e h f h f 7, J 7, J 2, 0 6 J 36 λ λ ( cosϕ ) m e c cosϕ m ec h ( 3, m/s) λ 9, 0 3 kg 6, J s 7, 0 3 m ( 0,27 0,2690) 0 9 m 0,3 da cui si ricava l angolo di diffusione della radiazione incidente che vale ϕ 82. L energia cinetica dell elettrone dopo l urto è K e h f h f hc λ hc λ hc λ λ λ λ ( 6, J s) ( 3, m/s) ( 0,27 0,2690 ) 0 9 m 0,27 0, m 0, J 8

9 5 LO SPETTRO DELL ATOMO DI IDROGENO 37 Poiché la fisica classica non prevede grandezze quantizzate, ma solo grandezze che variano con continuità, lo spettro di emissione dovrebbe contenere radiazione elettromagnetica di tutte le frequenze, eventualmente con intensità diverse. 38 A causa del movimento atomico, le frequenze spettrali saranno modificate dall effetto Doppler poiché i fotoni sono emessi da sorgenti in movimento. I base alle diverse velocità, ci saranno righe spostate in avanti e righe spostate indietro rispetto a quelle che si avrebbero con atomi fermi nel sistema di riferimento del laboratorio. L effetto finale sarà quindi un allargamento delle righe spettrali. 39 La generica formula di Balmer per lo spettro dell idrogeno monoatomico è λ R H 4 n 2 Per n 4 risulta λ, m da cui λ 0, m 4,9 0 7 m Per n 5 risulta λ, m da cui λ 0, m 4,3 0 7 m 4 6, m 0, , m 0,2 40 La massima lunghezza d onda si ottiene per n m + 6: f min λ max c da cui R H m 2 m + λ max 7, m 2, m 0, m 0, m 25 36, m Questa lunghezza d onda cade nella regione infrarossa dello spettro elettromagnetico. 4 A n 2 (valore minimo) corrisponde λ max e a n corrisponde λ min : R H λ max 2 2 2, m 0, 75 9

10 λ max (, m ) 0,75,2 0 7 m R H λ min 2 2, m λ min, m 0,9 0 7 m 42 Dalla formula f cr H m 2 n 2 con m 3, la frequenza minima si ottiene per n 4 ed è f min cr H 9 6,6 0 4 Hz corrispondente a una lunghezza d onda pari a λ max c f,9 0 6 m che è il massimo valore per questa serie. La minima lunghezza d onda della serie di Paschen è λ min R H 9 8,2 0 7 m che si ottiene con la sostituzione / n 2 0 nella formula delle frequenze. 43 La minima lunghezza d onda della serie è λ min R H n 2 da cui si ricava m R H λ min 5 m 2 R H La frequenza minima della serie si ottiene con n 6 ed è f min cr H ,0 0 3 Hz 6 L ESPERIENZA DI RUTHERFORD 44 No. Gli elettroni hanno carica elettrica negativa e massa molto più leggera, quindi interagirebbero 0

11 maggiormente con gli elettroni degli atomi della lamina. Inoltre, non verrebbero respinti indietro dai nuclei degli atomi di oro: se riuscissero ad avvicinarsi, subirebbero una forza attrattiva anziché repulsiva. 45 Il volume del nucleo è V n 4 3 πr π ( 0 4 m) π 0 42 m 3 Il volume dell atomo è V a 4 3 πr π ( 0 0 m) π 0 30 m 3 Dal rapporto V a V n 0 si ha che V a 0 2 V n 46 No, il modello di Rutherford è essenzialmente basato su leggi classiche (in particolare sulla legge di Coulomb) e quindi non può spiegare lo spettro a righe dell atomo idrogeno. 7 L ESPERIMENTO DI MILLIKAN 47 Il campo elettrico nel condensatore è diretto verso il basso, per cui la microsfera che si muove verso l alto ha carica elettrica negativa. Quindi il passaggio attraverso il nebulizzatore le ha fatto acquisire elettroni. 48 In questo caso la velocità di regime si raggiungerebbe più tardi e quindi sarebbe necessario avere una distanza maggiore fra le pareti del condensatore. 49 In condizioni di equilibrio v 0 m/s: q mg s V V mg s q ( 9,8 m/s 2 )(,6 0 3 m) V mgs 3e 2,0 0 5 kg 3, C 65 V 50 Dalla trattazione teorica dell esperienza di Millikan si ricava F a + F e + F p 0 La forza elettrica e la forza-peso sono dirette verso il basso, mentre la forza d attrito, che si oppone al moto, è verso l alto. Esplicitando le forze risulta:

12 6πηrv + q V s da cui + mg 0 q ( 6πηrv mg) s V (,2 0 6 m) ( 7, m/s) ( 2,0 0 5 kg) ( 9,8 m/s 2 ) 6π, Pa s,6 0 3 m 65 V Negativo. 3,2 0 9 C 2e 5 q ( 6πηrv mg) s V η 6πrv q V s 6π,8 0 6 m + mg (, m/s) ( 2, 0 3 V) 3, C 8,5 0 3 m 2,5 0 4 Pa s + ( 5,0 0 5 kg) ( 9,8 m/s 2 ) 52 La goccia d olio è in equilibrio perché la forza elettrica si oppone alla forza di gravità, cioè qe q V d dove V è la d.d.p. tra le armature e d è la loro distanza. Se la differenza di potenziale V dimezza, dimezza anche il campo elettrico che essa crea e quindi la carica elettrica della goccia d olio deve raddoppiare affinché la forza di Coulomb sulla goccia resti invariata, tenendola così in equilibrio,, cioè V Q V Q per cui Q 2Q 2e. 53 Goccia ferma. mg q V s V mgs q ( 9,8 m/s 2 )( 2,0 0 3 m) 3,0 0 5 kg 4, C Goccia in moto verso l alto (carica positiva). 92 V 2

13 mg + 6πηrv q V s 0 q s V ( mg + 6πηrv ) 2,0 0 3 m 92 V 3,0 0 5 kg ( 9,8 m/s 2 ) + 6π(, Pa s) (,8 0 6 m) ( 2, m/s) 9,6 0 9 C 6e Goccia in moto verso il basso (carica negativa). mg 6πηrv + q V s 0 q s V ( mg + 6πηrv ) 2,0 0 3 m 92 V 3,0 0 5 kg ( 9,8 m/s 2 ) + 6π(, Pa s) (,8 0 6 m) ( 7, m/s) 3,2 0 9 C 2e 54 La distanza fra le armature del condensatore si può scrivere in funzione dei dati: s ε 0S C Possiamo calcolare la carica trasportata dalla microsfera, considerando che è positiva, poiché si muove verso l alto nel nostro apparato sperimentale. La carica, quindi, vale: q ( 6πηrv + mg) s V 6π, Pa s ( 6πηrv + mg ) ε 0S C V (, m) ( 3,5 0 5 m/s) + ( 8,0 0 5 kg) ( 9,8 m/s 2 ) (,0 0 4 m 2 ) ( 2,2 0 3 V) 8, F/m,0 0 3 F 3,8 0 9 C Il tempo che impiega la microsfera per arrivare all armatura del condensatore è t s 2v ε 0S 2Cv (,0 0 4 m 2 ) ( 3,5 0 5 m/s) 8, F/m 2,0 0 3 F,3 0 2 s 3

14 55 Dato che la forza-peso è senz altro diretta verso il basso, la forza elettrica equilibrante deve essere rivolta verso l alto.! Pertanto, poiché F q E! e il campo elettrico ha verso diretto in basso, la carica deve essere negativa. Assumiamo che la carica negativa della gocciolina sia pari a un multiplo intero della carica elementare e, cioè q ne. Possiamo scrivere: q E mg nee mg n mg ee ( 8,0 0 5 kg) ( 9,8 m/s 2 ) (, C) (,2 0 5 N/C) 4 8 IL MODELLO DI BOHR 56 In linea di principio sì, ma questo contributo è inferiore, di molti ordini di grandezza, a quello dato dall energia potenziale elettrostatica e può quindi essere trascurato. 57 (, C) 2 K 8πε 0 e 2 r 4,49 09 N m 2 /C 2 58 U 4πε 0 e 2 r 8,99 09 N m 2 /C 2 2,6 0 m 5,4 0 9 J (, C) 2 5,29 0 m 4, J 59 Dalla formula dell energia totale dell elettrone si ricava: (, C ) 2 r 8πε 0 e 2 E tot 4, N m 2 /C 2, J 8,5 0 0 m 60 L energia cinetica dell elettrone quando si trova a distanza r 8,5 0 0 m dal nucleo è K 2 mv2 e 2 8πε 0 r Da questa si ricava la velocità: v,60 0 ( 9 C) 2 ( 9, 0 3 kg) ( 8,5 0 0 m) 5,5 05 m/s 4πε 0 e 2 mr 8,99 09 N m 2 /C 2 4

15 6 Dalla condizione di quantizzazione di Bohr 2πr n p n 2πL n si ricava L n nh 2π 5 6, J s 2π 62 K n 8πε 0 e 2 r n 8π 8, F/m 5, J s (, C) 2, m 8, J 9 I LIVELLI ENERGETICI DI UN ELETTRONE NELL ATOMO DI IDROGENO 63 La luce di frequenza diversa da quella delle transizioni da un livello a un altro passa indisturbata, mentre quella con frequenza pari a una transizione può essere assorbita dall atomo, quindi nello spettro di assorbimento queste frequenze, che sono uguali a quelle di emissione, saranno assenti o fortemente indebolite. 64 L energia massima è pari a 3,6 ev e corrisponde con l energia di ionizzazione dell idrogeno. Si ottiene dalla formula E n per n. 3,6 ev n 2 65 L energia dell elettrone quando si trova nel secondo livello è E 2 E 3,6 ev 2 3, 4 ev 5, J La sesta orbita eccitata corrisponde a n 6: r n n 2 ε 0 h 2 πme 2, m r 6 36 a ,29 0 m 67 L energia di legame più bassa nell atomo di idrogeno corrisponde a n, quindi f min W L h E h 3,6 ev 6, J s, J/eV 3,6 ev 6, J s Un fotone di frequenza f min o superiore ionizzerà l atomo. 3, Hz 5

16 68 La terza orbita ha numero quantico n 3. E n n 2 m 8 e 2 ε 0 h n E 2 E 3 ( 3) E 2 9 E E E 3 E 9 E E 8 9 E 8 ( 9 2,8 0 8 J), J E hf f No, si tratta di radiazione ultravioletta. E h, J 6, J s 2,93 05 Hz 69 È noto che un elettrone, nel passaggio da un orbita di numero quantico n a un orbita di numero quantico n 2, con n 2 < n, emette un fotone avente una certa frequenza. La frequenza di tale fotone è f me4 8ε 2 0 h 3 2 n 2 2 n Nel particolare caso in questione, essendo n 2 e n 2, risulta: (, C) 4 2 ( 6, J s) 3 4 9, 0 3 kg f 8 8, F/m a cui corrisponde una lunghezza d onda λ c f 3,00 08 m/s 2, s, m Ultravioletto. 2, Hz 70 Le energie corrispondenti a n 3 e n sono rispettivamente: 3,6 ev E 3 3 2, J,5 ev (,5 ev), J/eV 2 E 3,6 ev ( 3,6 ev) (, J/eV) 2,8 0 9 J La frequenza del fotone emesso è f E 3 E h 2,8 0 9 J 2, J 6, J s e la sua lunghezza d onda è λ c f 3,00 08 m/s 2, s, m 2, s 6

17 Per la conservazione della quantità di moto si ha p fotone Essendo p atomo p fotone h λ 6, J s, m 6, kg m/s risulta v atomo p fotone 6, kg m/s 3,86 m/s m atomo, kg 7 Il raggio dell3orbita corrispondente a n 9 è 9 r n 5,29 0 m 2 4, m L energia cinetica dell elettrone è K n 8πε 0 e 2 r n (, C) 2 8π 8, F/m L energia potenziale del sistema è U n 4πε 0 e 2 r n 72 3,6 ev E 2 E 3 2 2K n 5, J 2 3,6 ev,89 ev,89 ev ( 3) 2 ( 3, m/s) λ c f hc 6, J s E 2 E 3 3, J 73 3,6 ev W L E 3 3 4, , J,5 ev (,5 ev), J/eV 2 E hf ( 6, J s) ( 3, Hz), J Poiché E < W L, l elettrone non si allontanerà dal nucleo. 74 r n ( 5,29 0 m)n 2 r n r n+ ( 5,29 0 m)n 2 5,29 0 m n + n 2 n + 2 3, J, J/eV 6, m 2, J 7

18 n lim n n + 2 quindi all aumentare di n i raggi di due orbite adiacenti tendono a diventare uguali. 0 L ESPERIMENTO DI FRANK E HERTZ 75 Cambia il numero di picchi e la loro posizione sul grafico. 76 Se l energia E 0 cresce fino a raggiungere le energie di ionizzazione degli atomi del gas, gli elettroni emessi possono acquistare abbastanza energia da sfuggire all interazione con il nucleo. In questo caso, gli elettroni estratti, come particelle libere, potranno assumere energia con qualunque valore, senza i vincoli della quantizzazione. Quindi, oltre un certo valore di E 0, nello spettro non saranno più visualizzabili i picchi caratteristici. 8