Teoria dei Segnali IIa Prova Intracorso Prof. Francesco A. N. Palmieri giovedi 22 novembre 2018

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DELLA CAMPANIA Luigi Vanvitelli SCUOLA POLITECNICA E DELLE SCIENZE DI BASE Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Corso di Laurea in Ingegneria Elettronia e Informatica Teoria dei Segnali IIa Prova Intracorso Prof. Francesco A. N. Palmieri giovedi novembre 8. Si consideri il seguente processo aleatorio Y (t) = X(t) cos πf t X(t ) sin πf t, ( ) dove X(t) é un processo aleatorio SSL avente spettro di potenza P X (f) = Λ f B (f >> B). (a) [pt] Calcolare media, autocorrelazione e spettro di potenza di Y (t). Commentare sulla stazionarietá di Y (t) (b) [3pt] Valutare la coerenza del risultato ottenuto in (a) calcolando la trasformata di Fourier di Y (t) nell ipotesi in cui X(t) sia un segnale deterministico passa-basso sulla banda [ B, B]..[pt] Siano x(t) e n(t) due processi aleatori incoerenti SSL aventi autocorrelazioni R x (τ) e R n (τ) e si consideri il processo z(t) = (h e x)(t) + n(t), dove h e (t) = h(t)+h(t ), con un ritardo deterministico e h(t) una risposta impulsiva nota. Valutare una espressione per la autocorrelazione e lo spettro di potenza di z(t). (Sugg.: Disegnare lo schema a blocchi del sistema con due rami paralleli). 3.[pt] Un segnale aleatorio SSL s(t) ha autocorrelazione R s (τ) = e a τ. Esso é trasmesso su un canale non distorcente passa-basso ideale a guadagno unitario con frequenza di taglio pari a B. Il canale introduce rumore additivo bianco avente spettro di potenza pari a η /. Proporre e schizzare filtri di enfasi e de-enfasi per il sistema.

2 ) Lo spettro di potenza di X(t) può essere espresso graficamente come di seguito a) Il calcolo della media di Y(t) si può facilmente ricavare osservando che E{Y(t)} = E{X(t) cos πf t X(t Δ) sin πf t} = E{X(t)} = cos πf t E{X(t Δ)} = sin 8πf t = dove il fatto che la media di X(t) sia nulla si desume semplicemente dall osservazione dello spettro di potenza, ovvero dalla mancanza nello stesso di una delta in zero. Ricordando che sin πf t = cos 4πf t possiamo inoltre calcolare l autocorrelazione di Y(t) ponendo R Y (t; τ) = E{Y(t)Y(t τ)} = E {[X(t) cos πf t X(t Δ) [X(t τ) cos πf (t τ) + X(t Δ) cos 4πf t] X(t τ Δ) + X(t τ Δ) cos 4πf (t τ)]} Essendo X(t) un processo SSL, e ricordando la formula di Werner cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α β)] unitamente al fatto che il coseno è una funzione pari (cos( α) = cos α), la valutazione dell autocorrelazione di Y(t) può essere svolta nella maniera seguente

3 R Y (t; τ) = E{X(t)X(t τ)} cos πf t cos πf (t τ) E{X(t)X(t τ Δ)} cos πf t + E{X(t)X(t τ Δ)} cos πf t cos 4πf (t τ) E{X(t Δ)X(t τ)} cos πf (t τ) + E{X(t Δ)X(t τ Δ)} 4 4 E{X(t Δ)X(t τ Δ)} cos 4πf (t τ) + E{X(t Δ)X(t τ)} cos 4πf t cos πf (t τ) 4 E{X(t Δ)X(t τ Δ)} cos 4πf t + 4 E{X(t Δ)X(t τ Δ)} cos 4πf t cos 4πf (t τ) = R X(τ) cos πf (t τ) + R X(τ) cos πf τ R X(τ + Δ) cos πf t + 4 R X(τ + Δ) cos πf (3t τ) + 4 R X(τ + Δ) cos πf (t τ) R X(τ Δ) cos πf (t τ) + 4 R X(τ) 4 R X(τ) cos 4πf (t τ) + 4 R X(τ Δ) cos πf (3t τ) + 4 R X(τ Δ) cos πf (t + τ) 4 R X(τ) cos 4πf t + 8 R X(τ) cos 4πf (t τ) + 8 R X(τ) cos 4πf τ Poiché l autocorrelazione di Y(t) dipende da t il processo stesso non risulta essere SSL. Tuttavia, è possibile osservare che tale tipo di dipendenza è periodica di periodo /f, e pertanto Y(t) risulta essere ciclostazionario. Il calcolo dell autocorrelazione mediata su un periodo fornisce infatti f R Y(τ) = f R Y (t; τ) dt = f R X(τ) cos πf τ + 4 R X(τ) + 8 R X(τ) cos 4πf τ A questo punto è possibile valutare lo spettro di potenza (medio) di Y(t), ottenendo P Y(f) = F{R Y(τ)} = 4 [P X(f f ) + P X (f + f )] + 4 P X(f) + 6 [P X(f f ) + P X (f + f )] 3

4 che è rappresentato graficamente di seguito b) Considerando il processo deterministico y(t) = x(t) cos πf t x(t Δ) sin πf t = x(t) cos πf t x(t Δ) + x(t Δ) cos 4πf t otteniamo che Y(f) = F{y(t)} = X(f) [δ(f f ) + δ(f + f )] X(f)e jπfδ + X(f)e jπfδ [δ(f f ) + δ(f + f )] = [X(f f ) + X(f + f )] X(f)e jπfδ + 4 [X(f f )e jπ(f f )Δ + X(f + f )e jπ(f+f )Δ ] = [X(f f ) + X(f + f )] X(f)e jπfδ + 4 [X(f f )e j4πf Δ + X(f + f )e j4πf Δ ]e jπfδ Poiché quindi, per ipotesi, il segnale deterministico x(t) è un passa-basso nella banda [ B; B], si può notare che lo spettro Y(f) assume effettivamente una forma coerente col precedente risultato ottenuto per il processo aleatorio. 4

5 ) Rappresentando l intero sistema attraverso lo schema a blocchi in figura, in cui (come da suggerimento) si è scelto di rappresentare la funzione di trasferimento separandone i contributi su due rami paralleli, si può valutare l autocorrelazione di z(t) osservando che R y (τ) = E{y(t)y(t τ)} = E{[y (t) + y (t)][y (t τ) + y (t τ)]} = R y (τ) + R y (τ) + R y y (τ) + R y y (τ) = R y (τ) + R y (τ) + R y y (τ) + R y y ( τ) = (r h(t) R x )(τ) + (r h(t Δ) R x )(τ) + [r h(t)h(t Δ) (τ) + r h(t)h(t Δ) ( τ)] R x (τ) Analizzando attentamente i singoli contributi deterministici si può tuttavia notare che r h(t Δ) (τ) h(t Δ)h(t τ Δ) dt = h(η)h(η τ) dt r h(t)h(t Δ) (τ) h(t)h(t τ Δ) dt = r h(t) (τ + Δ) r h(t)h(t Δ) ( τ) = r h(t) (τ) h(t)h(t + τ Δ) dt = r h(t) ( τ + Δ) = r h(t) (τ Δ) dove l ultima equivalenza deriva dal fatto che l autocorrelazione è per definizione una funzione a simmetria hermitiana. Infine, essendo x(t) ed n(t) incoerenti, otteniamo R z (τ) = R y (τ) + R n (τ) = [r h(t) (τ) + r h(t) (τ + Δ) + r h(t) (τ Δ)] R x (τ) + R n (τ) attraverso cui è immediata anche la valutazione dello spettro di potenza P z (f) = F{R z (τ)} = [ H(f) + H(f) e jπfδ + H(f) e jπfδ ] P x (f) + P n (f) = H(f) [ + ejπfδ + e jπfδ ] P x (f) + P n (f) = H(f) [ + cos πfδ] P x (f) + P n (f) 5

6 3) L intero sistema può essere rappresentato nella forma seguente Dall autocorrelazione di s(t) è possibile valutarne lo spettro di potenza ponendo P s (f) = F{R s (τ)} = e a τ e jπfτ dτ = e (a jπf)τ dτ = a jπf + a + jπf = Graficamente abbiamo = e aτ e jπfτ dτ + e (a+jπf)τ dτ a a + 4π f = e(a jπf)τ a jπf + e aτ e jπfτ dτ + e (a+jπf)τ (a + jπf) 6

7 L applicazione di filtri di enfasi e de-enfasi, rispettivamente sul lato trasmittente e ricevente, è realizzata ponendo il sistema nella forma presentata di seguito La soluzione per la risposta dei filtri, relativamente alla banda d interesse, è quindi H E (f) = αk P n (f) H C (f) P s (f) = αk η η = αk a 4a a + 4π f a + 4π f f [ B; B] a H D (f) K P s (f) = α H C (f) P n (f) = K a + 4π f K α η = α 4a η a + 4π f f [ B; B] la cui rappresentazione grafica è la seguente 7