Prova A. Problema 2 Nel piano xy è presente una distribuzione ρ piana di correnti:

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1 Prova A Problema Un sottile tubo può ruotare intorno al suo centro su un tavolo orizzontale liscio. Il tubo contiene una sbarretta della stessa lunghezza e della stessa massa del tubo il cui centro di massa è quasi in coincidenza con il centro di massa (fissato) del tubo. Al sistema è impressa una velocità angolare iniziale ω. Quale è la velocità angolare del sistema nel momento in cui la sbarretta esce dal tubo? Problema Nel piano xy è presente una distribuzione ρ piana di correnti: j = G ρ cosωt G ρ è un vettore costante nella direzione dell asse x. Nella parte di spazio z 0 non sono presenti né cariche né correnti. Sapendo che una tale distribuzione produce i campi elettrici: se z>0 E x = -A cos (kz- ωt) E y =E z =0 (k=ω/c) se z<0 E x = -A cos (-kz- ωt) E y =E z =0 (k=ω/c) a) determinate B ρ in modo che siano soddisfatte le equazioni di Maxwell; b) E ρ è continuo in z=0 perché? c) Che cosa potete dire sulla continuità (o discontinuità) di B ρ in z=0? d) Determinate il valore della costante A. Problema Un recipiente a pareti conduttrici (di calore) è diviso in tre parti A B C di ugual volume (V 0 = 0 litri) e separate da due setti. Tutto il recipiente è tenuto ad una temperatura costante T 0 =7 C. In A B C è contenuto gas perfetto monoatomico in quantità: n A =0 moli n B = mole n C = 5 moli. Calcolate: a) la variazione di entropia conseguente alla rimozione dei setti divisori qualora in A B C siano inizialmente contenuti tre gas monoatomici diversi (ad es. elio argon neon); b) la variazione di entropia come in a qualora in A B C sia contenuto lo stesso gas; c) il lavoro massimo ottenibile dal sistema in condizioni isoterme nelle condizioni descritte in (a) e (b) rispettivamente. Problema Un sistema quantistico ha una Hamiltoniana della forma H 0 εv in cui H 0 e V sono operatori Hermitiani che non dipendono dal tempo. Supponete che H 0 abbia un insieme completo di autostati (per semplicità non degeneri) ψ ψ ψ ψ con autovalori E E E E rispettivamente. Supponete che il sistema al tempo t=0 si trovi nello stato ψ e che ψ V ψ = ψ V ψ = 0. Qual è la probabilità che al tempo t>0 il sistema si trovi nello stato ψ all ordine non nullo più basso in ε?

2 Problema 5 Un sistema quantistico è composto da due spin: un sistema ha spin e l altro sistema ha spin. Il sistema composto si trova in uno stato tale che lo stato dello spin è: e lo stato dello spin è: Qual è la probabilità che: ) lo spin totale (del sistema composto) sia ; ) la proiezione lungo z dello spin totale (del sistema composto) sia 0; ) la proiezione lungo z dello spin totale sia ± ; ) lo spin totale sia e la proiezione lungo z dello spin totale sia. Problema 6 Una sorgente luminosa puntiforme S è posta ad una certa distanza da uno specchio piano perfetto M. La distanza h di S dal piano dello specchio è molto piccola e la luce colpisce lo specchio ad incidenza radente. Uno schermo si trova ad una distanza D>>h dalla sorgente. Valutare l intensità luminosa sullo schermo in prossimità del piano dello specchio. S. h O D

3 Prova B Problema T Un carrello ferroviario con ruote ha massa totale M. Ciascuna ruota può essere schematizzata come un anello di massa m e raggio r. Supponete che il carrello sia tirato da una forza costante T ρ lungo un binario in piano. Con quale accelerazione si muove il carrello? (Le ruote rotolano senza strisciare sulle rotaie). Problema E ρ inc B ρ inc 90 k ρ z u ρ Trovate la densità di carica superficiale e la distribuzione superficiale di corrente sulla superficie (piana) di un conduttore (ideale) su cui incide un onda elettromagnetica piana monocromatica polarizzata linearmente il cui vettore elettrico vibra mantenendosi parallelo al piano di incidenza. Problema B A Una mole di gas perfetto monoatomico è contenuta nel recipiente A a pareti rigide inizialmente a temperatura T o =0 C e pressione p o = atm. Una mole dello stesso gas perfetto nelle stesse condizioni di temperatura e pressione è contenuta nel recipiente B munito di pistone. Le pareti del recipiente sono rigide ed adiabatiche eccetto il setto di separazione tra A e B che è perfettamente conduttore. Se la corsa del pistone consente di aumentare di un fattore 0 il volume di B calcolate: ) la temperatura minima raggiungibile; ) le pressioni finali in A e in B (nelle condizioni del punto ()); ) il lavoro fatto dal sistema (sempre nelle condizioni in cui si raggiunge la temperatura minima possibile). Problema Un sistema quantistico ha una Hamiltoniana della forma H 0 εv in cui H 0 e V sono operatori Hermitiani che non dipendono dal tempo. Supponete che H 0 abbia un insieme completo di autostati (per semplicità non degeneri) ψ ψ ψ ψ con autovalori E E E E rispettivamente. Supponete che il sistema al tempo t=0 si trovi nello stato ψ e che ψ ψ = ψ V ψ 0. V =

4 Qual è la probabilità che al tempo t>0 il sistema si trovi nello stato ψ all ordine non nullo più basso in ε? Problema 5 Un sistema quantistico è composto da due spin: un sistema ha spin e l altro sistema ha spin. Il sistema composto si trova in uno stato tale che lo stato dello spin è: e lo stato dello spin è: 5 Qual è la probabilità che: ) lo spin totale del sistema composto sia 0;. 5 ) la proiezione lungo z dello spin totale del sistema composto sia ; ) lo spin totale del sistema composto sia ; ) lo spin totale sia e la proiezione dello spin totale lungo z sia ±. Problema 6 In una cella solare un substrato di silicio ( n =.5 ) è ricoperto con uno strato sottile di ossido di silicio ( n =.5). Determinare lo spessore dello strato di ossido di silicio in grado di produrre riflessione minima per luce con lunghezza d onda nel centro della regione visibile dello spettro incidente ad angolo quasi normale rispetto alla superficie della cella.

5 Prova C Problema v a ω h Un cilindro di raggio a rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità lineare v. Il cilindro urta un gradino di altezza h<a perfettamente squadrato. La sfera ed il gradino sono perfettamente ruvidi ed anelatici (ossia nell urto il punto di contatto tra cilindro e spigolo rimane fisso e l energia non si conserva). Trovate la condizione su v per cui il cilindro sale sul gradino. Problema E ρ k ρ z u ρ x Trovate la densità superficiale di carica e la distribuzione superficiale di corrente sulla superficie piana di un conduttore (ideale) su cui incide un onda elettromagnetica piana monocromatica polarizzata linearmente il cui vettore elettrico vibra mantenendosi perpendicolare al piano di incidenza (xy piano del conduttore). Problema Un sistema termodinamico è costituito da un recipiente adiabatico a pareti rigide diviso a metà da un setto rigido ed adiabatico in due parti A e B di volume V A =V B = 0 litri. A contiene una mole di gas perfetto monoatomico a pressione p A = atm e B una mole di gas perfetto biatomico a pressione p B =.5 atm. A partire da queste condizioni il setto viene bruscamente rimosso e i due gas si mescolano tra loro. Calcolate: a) la temperatura finale della miscela; b) la variazione di energia interna del sistema; c) la variazione di entropia dell universo. Problema Un sistema quantistico ha una Hamiltoniana della forma H 0 εv in cui H 0 e V sono operatori Hermitiani che non dipendono dal tempo. Supponete che H 0 abbia un insieme completo di autostati (per semplicità non degeneri) ψ ψ ψ ψ con autovalori E E E E rispettivamente. Supponete che il sistema al tempo t=0 si trovi nello stato ψ e che ψ V ψ = ψ V ψ = 0. Qual è la probabilità che al tempo t>0 il sistema si trovi nello stato ψ all ordine non nullo più basso in ε? Problema 5 Un sistema quantistico è composto da due spin entrambi con spin. Il sistema composto si trova in uno stato tale che lo stato di uno spin è:

6 e lo stato dell altro spin è: Qual è la probabilità che: ) lo spin totale del sistema composto sia ; 0 0. ) la proiezione lungo z dello spin totale del sistema composto sia ; ) la proiezione lungo z dello spin totale sia 0; ) lo spin totale sia e la proiezione lungo z dello spin totale sia ±. Problema 6 Un fascio di luce bianca incide normalmente su di un film di acqua saponata ottenuto per immersione di una griglia piana in un detergente. Si osserva la luce riflessa. Inizialmente sono visibili molte frange colorate. Successivamente il film evapora e si assottiglia. Valutare l intensità riflessa al tendere a zero dello spessore.