Dispense del corso di Elettronica Ls Prof. Guido Masetti

Transcript

1 Dispense del corso di Elettronica Ls Prof. Guido Masetti Conversione Analogico-Digitale e Digitale Analogico 1

2 Elaborazione numerica Le problematiche evidenziate, suggeriscono la necessità di sviluppare tecniche di rappresentazione dell'informazione e tecniche di elaborazione, che siano immuni o meno sensibili alle problematiche evidenziate. In primo luogo è necessario ridurre i gradi di libertà temporali del segnale, spostandosi da un dominio tempo continuo a un dominio tempo-discreto. In questo modo l'elaborazione dell'informazione può essere svincolata dall'elaborazione del segnale fisico e realizzata tramite sistemi di calcolo tempo discreti (es: calcolatore elettronico). 2

3 Conversione Analogico Digitale I segnali di interesse applicativo, spesso ottenuti tramite sensori, sono nella maggior parte dei casi analogici e l'informazione da essi trasportata e contenuta nella forma d'onda del segnale stesso. E' pertanto necessario definire una trasformazione che permetta di ottenere un segnale tempo-discreto e discreto nei valori a partire da un segnale analogico. Tale operazione deve essere reversibile rispetto ad alcuni parametri di qualità. 3

4 Conversione Temporale: campionamento La conversione di un segnale reale analogico continuo nei valori e tempo continuo S(t) in un segnale tempodiscreto e discreto nei valori è realizzata tramite l'operazione di campionamento S t S n = S nt s T s = tempo di campionamento f s = 1 T s = frequenza di campionamento 4

5 Campionamento Matematicamente il campionamento ideale di un segnale può essere rappresentato come la convoluzione del segnale stesso con una delta di Dirac ripetuta periodicamente S n = S t t nt s dt Fisicamente viene realizzata tramite un circuito elettronico denominato campionatore, che nel caso di campionamento ideale, può essere pensato come un interruttore ideale con tempo di commutazione nullo, che si chiude frequenza f s. S t T s S n 5

6 Campionamento T s = 10 μs f s = 100 khz 6

7 Trasformata discreta di Fourier Sfruttando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier è possibile definire la trasformata di una successione tempodiscreta S n in cui T s è l'intervallo tra due termini: S p f = n= S n e j2 nf T S S n =T f S S p f e j2 nft S df La trasformata è periodica per dualità con periodo 1/T = f S. 7

8 Segnali tempo-discreti Essendo periodica, la trasformata di una successione, può essere ottenuta come ripetizione periodica di una funzione S f, trasformata di Fourier del segnale S(t): S p f = 1 T k = S f k T In generale esistono infinite funzioni ripetizione periodica la funzione S p f. S p f che danno come Per dualità deve essere la trasformata della sequenza ottenuta campionando S(t) con passo T: S n =S nt n Z S f 8

9 Campionamento di una funzione Un campionamento con intervallo T nel dominio dei tempi corrisponde pertanto a una ripetizione periodica nel dominio delle frequenze con periodo 1/T = f s. S t campionamento S n S f ripetizione periodica S p f 9

10 Teorema del campionamento di Shannon Se S(t) ha spettro nullo al di sopra di una frequenza f m, l'operazione di campionamento con f s > 2f m, è invertibile, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra S(t) e S n. S t campionamento S n S f ripetizione periodica S p f 10

11 Campionamento: invertibilità Pertanto, se la frequenza di campionamento f s non è sufficientemente elevata, si avrà una ripetizione periodica con sovrapposizione dello spettro del segnale (aliasing). 11

12 Campionamento: invertibilità Tale sovrapposizione fa si che la sequenza di origine non sia più univocamente determinabile e causa quindi una perdita di informazione. In particolare, le frequenze superiori a f s / 2 non sono rappresentate correttamente, poiché sporcate (distorte) dalle componenti che si sovrappongono ad esse. 12

13 Teorema del campionamento di Shannon L'operazione di campionamento temporale di un segnale S(t) passa basso con spettro nullo per f < f m è reversibile se la frequenza di campionamento f s soddisfa la relazione f s 2f m Per soddisfare il teorema di Shannon è pertanto necessario individuare l'intervallo di frequenze utile del segnale da convertire, scegliere una frequenza di campionamento f s adeguata e filtrare il segnale in modo da eliminare qualsiasi componente spettrale avente frequenza f > f s / 2. 13

14 Campionamento Il flusso informativo di un segnale campionato, denominato simbol rate (R s ), è quindi tanto più elevato quanto più la banda del segnale stesso è elevata. Dualmente, l'occupazione di banda di un segnale tempodiscreto sarà proporzionale al R s del segnale stesso. Alcuni esempi: Segnale telefonico: Banda = [300, 3400 Hz] - f s = 4 khz Segnale Audio CD: Banda = [20, Hz] - f s = 44.1 khz Segnale Ecografico: Banda = [1, 20 Mhz] - f s = 45 MHz 14

15 Campionamento: invertibilità Il campionamento è quindi teoricamente una operazione completamente invertibile se soddisfatte le condizioni del teorema di Shannon. Il campionamento viene effettuato tramite circuiti elettronici reali e quindi soggetti ai problemi tipici dei circuiti analogici. La reale efficienza dell'invertibilità dell'operazione di campionamento dipende quindi dalle prestazioni dei circuiti. 15

16 Discretizzazione della dinamica: quantizzazione La seconda operazione che deve essere effettuata è la trasformazione del segnale tempo-discreto continuo nei valori ottenuto tramite il campionamento, in un segnale discreto nei valori, avente L livelli possibili. Tale trasformazione è denominata quantizzazione. Essa è una elaborazione di tipo non lineare e consiste essenzialmente nell'assegnare ad ogni campione del segnale campionato un simbolo dell'alfabeto scelto, secondo una legge di quantizzazione Q(. ) S n =Q S n 16

17 Quantizzazione: legge di quantizzazione I 1 I 2 I 3 S MIN S 1 S 2 S 3 L simboli I L S n S MAX S L 17

18 Quantizzazione: inversione Tale operazione, indipendentemente dalla funzione di quantizzazione scelta, causa una perdita di informazione e pertanto non è invertibile. E' necessario definire un parametro di qualità che permetta di quantificare la perdita di informazione causata dalla quantizzazione. Le prestazioni di una legge di quantizzazione sono valutate tramite il rapporto segnale-rumore di quantizzazione (SQNR) SQNR= S n 2 S n S n 2 18

19 Quantizzazione L'obiettivo è quello di minimizzare il numero di simboli utilizzati per la quantizzazione della dinamica del segnale, una volta fissato il parametro di qualità SQNR. Per realizzare ciò è necessario adattare la legge di quantizzazione alle caratteristiche del segnale. 19

20 Quantizzazione uniforme La più semplice legge di quantizzazione è quella uniforme. In questo caso la dinamica del segnale viene divisa in L intervalli di uguale dimensione. A ciascun intervallo viene associato uno degli L simboli. S 1 S L S MIN S MAX S n 20

21 Quantizzazione uniforme Il rapporto segnale rumore di quantizzazione, supponendo che l'errore di quantizzazione sia uniformemente distribuito su ciascun intervallo di quantizzazione, è in questo caso SQNR[dB] = 10log 10 SQNR = log 10 L F c [db] F c [db] = Fattore di cresta in db Esempio: nel caso di una linea telefonica digitale PCM sono utilizzati 256 livelli di quantizzazione. Ipotizzando che il segnale abbia dinamica con statistica uniforme (F c = 3) si ottiene un SQNR di 48 db. 21

22 Quantizzazione uniforme: problemi Una legge di quantizzazione uniforme fornisce buone prestazioni nel caso in cui la dinamica abbia statistica uniforme. I segnali reali hanno statistica molto variabile e spesso non occupano tutta la dinamica a disposizione. Una riduzione della dinamica del segnale provoca una diminuzione drastica del SQNR, rendendo la quantizzazione inaccettabile. 22

23 Quantizzazione uniforme: problemi Supponendo che la dinamica del segnale si riduca risultando uniformemente distribuita sull'intervallo [-as max, as max ], dove a<1, si osserva la seguente riduzione dell SQNR del segnale quantizzato a 2 (db) SQNR (db)

24 Quantizzazione non uniforme Per migliorare e rendere accettabile il SQNR del segnale quantizzato con quantizzazione uniforme nel caso di riduzione della dinamica del segnale, necessario aumentare il numero di livelli di quantizzazione. Aumentare il numero di livelli significa aumentare il numero di simboli dell'alfabeto e quindi il flusso informativo. Per migliorare il SQNR, senza aumentare il numero di livelli di quantizzazione è necessario passare ad una codifica non uniforme. 24

25 Quantizzazione non uniforme Per realizzare una quantizzazione non uniforme è necessario applicare una compressione di dinamica al segnale, mediante un blocco di elaborazione non lineare, seguito da un blocco di quantizzazione uniforme. T N S N S n T n C(. ) Q(. ) unif C( ) = legge di compressione T n 25

26 Quantizzazione non uniforme Una volta quantizzato il segnale è possibile eliminare la distorsione causata dalla legge di compressione, applicando la relazione inversa. S n T n C(. ) Q(. ) unif T n C -1 (. ) S n Quantizzazione non uniforme 26

27 Quantizzazione non uniforme Una quantizzazione non uniforme può essere realizzata con tecniche digitali, evitando circuiti non lineari caratterizzati da scarsa precisione e scarsa stabilità, impiegando una quantizzazione uniforme molto fine, seguita da una logica di raggruppamento di livelli. S MIN S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S MAX S n 27

28 Scelta della legge di compressione Nel caso in cui la statistica del segnale di ingresso non sia nota o sia variabile, la legge di compressione C(. ) deve essere scelta in modo da rendere indipendente il SQNR da tali variazioni. Tale condizione può essere ottenuta utilizzando la seguente legge di compressione C S = A ln S sign S Tale legge di compressione non è però invertibile e presenta una singolarità nell'origine. 28

29 Scelta della legge di compressione Per tali ragioni, nella realtà applicativa, con modalità diverse a seconda dell'applicazione si adotta una funzione definita a tratti, con raccordo lineare e continuo per piccoli valori di S 29

30 Scelta della legge di compressione Esempio: negli standard telefonici digitali europei ed americani si utilizzano rispettivamente due leggi di compressioni di questo tipo, denominate A-law e μ-law. A - law C S = M S A S / S MAX 1 ln A M S 1 ln A S / S MAX 1 ln A sign S sign S 0 S S MAX 1 A 1 S 1 A S MAX μ - law C S =M S ln 1 S /S MAX ln 1 sign S 30

31 Confronto delle prestazioni Prestazioni della quantizzazione uniforme e non uniforme con legge di compressione μ-law e A-law, rispetto alla riduzione di dinamica di un segnale vocale, quantizzato su 256 livelli. SQNR (db) SQNR (db) SQNR (db) a 2 (db) Q unif Q μ-law Q A-law , ,9 38, ,6 38, ,5 37, ,8 32,1 31

32 Quantizzazione ottima Nel caso in cui la statistica della dinamica del segnale sia nota a priori, ma non uniforme, per ottenere il minimo errore di quantizzazione, la legge di quantizzazione deve essere scelta in modo da minimizzare l'errore medio quadratico di quantizzazione. Tale condizione può essere ottenuta scegliendo le soglie che individuano gli intervalli di quantizzazione e i livelli di quantizzazione secondo le regole di Loyd-Max 32

33 Regole di Loyd-Max 1) Il livello di quantizzazione deve essere il baricentro dell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità del segnale: t i t i 1 S S i p S ds = 0 2) Le soglie devono essere nel punto medio tra un livello di quantizzazione e quello successivo: t i = S i S i 1 2 t i-1 t i t i+1 S i 1 S i 33

34 Codifica Le operazioni di campionamento e di quantizzazione definite permettono di ottenere un segnale tempodiscreto e discreto nei valori, a partire da un segnale tempo-continuo e continuo nei valori. Tale operazione è reversibile a meno di una degradazione della qualità del segnale quantificata dal SQNR. Per essere elaborati da un calcolatore elettronico, i campioni del segnale ottenuto devono essere codificati in una rappresentazione binaria. 34

35 Codifica Tale operazione consiste nell'associare a ciascuno degli L livelli di quantizzazione, una stringa binaria {b 1,...,b m } di opportuna lunghezza m. S i Cod {b 1,..., b m } i Affinché tale codifica sia reversibile il numero di bit deve essere tale da soddisfare la relazione m log 2 L 35

36 Convertitore Analogico-Digitale Complessivamente quindi, un convertitore AD è composto da tre blocchi fondamentali: campionatore > frequenza di campionamento f s ; quantizzatore > livelli di quantizzazione L; codificatore > numero di bit di codifica m = log 2 L ; S t S n od T s S n Q(. ) Cod {b 1,..., b m } n ADC 36

37 Convertitore Analogico-Digitale Altri parametri di qualità del convertitore sono: Rapporto segnale rumore + distorsione del convertitore Distorsione armonica totale introdotta Larghezza di banda Dinamica dell'ingresso analogico Tempo di conversione Throughput rate (simbol rate di uscita) 37

38 Convertitore Analogico-Digitale 38

39 Segnali Numerici: esempi Segnale audio Hi-Fi: Banda = [ ], f s = 44.1 khz, m = 16 bit B R = 44100*16 = bit/s = kbit/s File audio MP3 con qualità media B R = 64/96 kbit/s Segnale vocale telefonico: Banda = [ ], f s = 8 khz, m = 8 bit B R = 8000*8 = bit/s = 64 kbit/s Segnale vocale GSM (RPE-LTP vocoder) B R = 13 kbit/s Segnale vocale UMTS (PDC half rate vc) B R = 2 kbit/s 39