Riflessione e rifrazione della luce su una superficie di separazione tra due mezzi

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1 Riflessione e rifrazione della luce su una superficie di separazione tra due mezzi La luce si propaga in linea retta, Il raggio luminoso è la direzione di propagazione Quando la luce incide su una superficie di separazione fra due mezzi (omogenei e isotropi): parte della luce viene rinviata nel mezzo dal quale proviene: riflessione parte della luce penetra e si propaga, invece, nel secondo mezzo: rifrazione le percentuali (in energia) della luce riflessa e rifratta e le direzioni dei raggi riflessi e rifratti dipendono dalle caratteristiche dei mezzi a contatto e dall'angolo col quale l onda incide sulla superficie di separazione dei mezzi.

2 CONCETTO DI CAMMINO OTTICO La lunghezza percorsa dalla luce in un tempo t in un mezzo di indice di rifrazione n è: Si definisce cammino ottico l 0 il prodotto dell indice di rifrazione per la distanza percorsa Il cammino ottico corrisponde alla distanza che la luce avrebbe percorso nel vuoto nello stesso intervallo di tempo In generale se la luce attraversa diversi mezzi il cammino ottico totale sarà:

3 PRINCIPIO DI FERMAT Il percorso seguito da un raggio di luce per andare da un punto ad un altro attraverso un qualsiasi insieme di mezzi è quello che richiede il minimo cammino ottico Dal principio posso dedurre le leggi della riflessione e della rifrazione

4 Riflessione e rifrazione della luce su una superficie di separazione tra due mezzi Definiamo la geometria, si chiamano: angolo di incidenza i l 'angolo tra la direzione di propagazione della luce incidente e la normale alla superficie, angolo di riflessione r l'angolo tra la normale e la direzione di propagazione dell onda riflessa, angolo di rifrazione i l'angolo tra la normale e la direzione di propagazione dell onda rifratta. Quali sono le direzioni del raggio riflesso e del raggio rifratto?

5 Leggi di Snell per determinare la direzione del raggio riflesso e rifratto Leggi di SNELL LEGGI RIFLESSIONE 1) Il raggio incidente, quello riflesso e la normale N alla superficie che separa i due mezzi giacciono sullo stesso piano. 2) L' angolo di incidenza è uguale a quello di riflessione i = r LEGGI RIFRAZIONE come per la riflessione: Il raggio incidente, quello riflesso e la normale N alla superficie che separa i due mezzi giacciono sullo stesso piano. 2) nsin i=n sen i

6 La rifrazione della luce e cammini ottici P 1 P 1 q 1 n 1 n 1 n 2 x 0 n 2 x 0 q 2 P 2 Il percorso di un raggio di luce per andare dal punto P 1 al punto P 2 è quello che minimizza il cammino ottico Dobbiamo dedurre la legge di Snell per la rifrazione a partire dal principio di Fermat P 2 Legge di Snell n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2

7 Cammino ottico nel caso della rifrazione P 1 q 1 Per calcolare i cammini ottici nei due mezzi dobbiamo tenere in conto dei diversi indici di rifrazione n 1 n 2 x 0 l 1 = d(p 1, x 0 ) l 2 = d(p 2, x 0 ) q 2 l = n 1 l 1 + n 2 l 2 P 2 Fissati due punti P 1 e P 2 e gli indici di rifrazione dei due mezzi possiamo calcolare il cammino ottico l in funzione di x 0. Il principio di Fermat afferma che la luce compie il percorso che minimizza il valore del cammino ottico l. Verificare la legge della rifrazione significa verificare che in corrispondenza del valore di x 0 in cui l=l(x 0 ) è minimo è valida la legge di Snell.

8 Calcolo dei cammini ottici P 1. l 1 q 1 y 1 l 1 = d P 1, X 0 = (x 1 x 0 ) 2 +(y 1 ) 2 l 2 = d(p 2, X 0 ) = (x 2 x 0 ) 2 +(y 2 ) 2 n 1 x 1 x 0 n 2 cammino ottico l = n 1 l 1 + n 2 l 2 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) X 0 (x 0, 0) q 2 l 2. P 2

9 Verifica della Legge di Snell Per quale x 0 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 Per verificare la legge di Snell ho bisogno di calcolare il seno degli angoli q 1 e q 2 in funzione di x 0 Ricordiamo che dato un triangolo rettangolo un cateto è pari all ipotenusa per il seno dell angolo opposto. Applicato al nostro disegno il segmento di lunghezza (x 0 x 1 ) è x 0 x 1 = l 1 sin θ 1 y 1 Invertendo la relazione possiamo trovare sin θ 1 l 1 q 1 Posso quindi determinare n 1 sin θ 1 n 1 x 1 x 0 n 2 Analogamente faremo per P 2 q 2 l 2. P 2

10 Cosa fare con KaleidaGraph In Kaleidagraph dobbiamo costruire un foglio dati come quello sopra dove calcoleremo in funzione di x 0 : - i due cammini l 1 e l 2 cammino 1 e 2 - il cammino ottico complessivo (tenendo conto del differente indice di rifrazione) - n 1 sin θ 1 e n 2 sin θ 2 (n1sin1 e n2sin2 per semplicità) Utilizzeremo a questo scopo il MULTI-LINE Formula assegneremo prima di tutto a due registri di memoria gli indici di rifrazione dei due mezzi, poi ad altri registri di memoria le coordinate dei punti da cui parte ed arriva la luce quindi riempiremo con le opportune formule le colonne C1 C5. C0 andrà generato con valori di x 0 che dovranno tenere in conto le coordinate dei punti P 1 e P 2 Possiamo a questo punto graficare il cammino ottico in funzione di x 0 e in altro grafico n 1 sin θ 1 e n 2 sin θ 2 sempre in funzione di x 0 Da questi due grafici applicando il principio di Fermat dedurre la legge di Snell.

11 Esercitazione - Dati due punti di coordinate P 1 (-3,5) e P 2 (3,-5) costruire un foglio dati come quello riportato nelle pagina precedente. Calcolare in funzione di x 0 (la colonna relativa ad x 0 deve contenere almeno 100 valori): i due cammini l 1 e l 2 il cammino ottico complessivo da P 1 a P 2 n 1 sin θ 1 e n 2 sin θ 2 Salvare in un file formule06.txt tutte le formule usate per risolvere gli esercizi - Generare il grafico del cammino ottico in funzione di x 0 e trovare graficamente il minimo del cammino ottico - Generare il grafico di n 1 sin θ 1 e n 2 sin θ 2 in funzione di x 0. Cosa succede in questo grafico in corrispondenza del valore di x 0 che minimizza il cammino ottico? - Riportare i due grafici in un file word, riportare le formule usate per i calcoli, scrivere un commento finale riguardo al minimo trovato, il principio di Fermat e la legge di Snell relativa alla rifrazione della luce. Stampare la relazione - Salvare tutto il lavoro in una cartella di nome Esercitazione6