LICEO SCIENTIFICO STATALE P. GOBETTI a. s classe: 2^A. Materia: MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE P. GOBETTI a. s classe: ^A Docente: prof.ssa LABASIN Sara Materia: MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO In riferimento ai Curricula generali di Matematica redatti dal Dipartimento di Istituto per le classi seconde, gli argomenti trattati sono stati i seguenti: ARITMETICA E ALGEBRA Calcolo con le lettere Ripasso della divisione dei polinomi Teorema del resto e suo utilizzo per la fattorizzazione dei polinomi Numeri reali e radicali L'insieme R e le sue caratteristiche. I numeri irrazionali Dimostrazione irrazionalità di () Irrazionalità e incommensurabilità Costruzione di segmenti di lunghezza irrazionale. La radice n-esima di un numero reale. Proprietà dei radicali. Operazioni con i radicali. Semplificazione di espressioni contenenti radicali. Razionalizzazione del denominatore di una frazione. Potenze ad esponente razionale. GEOMETRIA Circonferenza e cerchio Circonferenza come luogo geometrico. Elementi della circonferenza Angoli al centro e alla circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti. Rette secanti e tangenti. I punti notevoli di un triangolo. Estensione ed estensione di figure piane. Estensione ed equiscomponibilità Figure equivalenti I triangoli e l'equivalenza. I teoremi di Euclide e Pitagora Risoluzione algebrica di problemi geometrici. Commensurabilità e incommensurabilità. I rapporti tra grandezze.

2 Il teorema di Talete. Omotetia e similitudine Omotetia Omotetia nel piano cartesiano La similitudine di figure piane. I criteri di similitudine La similitudine nella circonferenza Cenni di trigonometria Definizione di senα, cosα, tanα. Risoluzione del triangolo rettangolo RELAZIONI E FUNZIONI Funzioni quadratiche La funzione quadratica e sua rappresentazione. Intersezione con gli assi. Risoluzione dell'equazione di II grado. Relazioni tra radici e coefficienti. Equazioni parametriche. Positività della funzione quadratica. Disequazioni di II grado intere e frazionarie. Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni binomie e trinomie. Disequazioni di grado superiore al secondo. Sistemi di equazioni di grado superiore al primo. Sistemi di disequazioni in due variabili (risoluzione grafica). Cenni sul significato del valore assoluto (analisi grafica). Problemi di II grado. Funzioni periodiche Definizione di senα, cosα, tanα nella circonferenza goniometrica Grafico delle funzioni periodiche (laboratorio di informatica) DATI E PREVISIONI Probabilità di un evento. Frequenza e probabilità. Legge empirica del caso Eventi non elementari. Evento contrario Probabilità dell'unione di eventi. Probabilità di eventi composti Probabilità condizionata Torino, 7 giugno 016 L'insegnante incaricata I rappresentanti di classe

3 INDICAZIONI per le VACANZE Per tutti Esercizi sulle fotocopie di seguito. In più, per chi ha il debito: Esercizi di consolidamento da pag. 9 a pag. Per chi non ha il debito Lettura del libro: P. Canova, D. Rizzuto, Fate il nostro gioco, add Editore, 016

4 COMPITI VACANZE ESTIVE CLASSE SECONDA SISTEMI LINEARI Risolvere sia graficamente che algebricamente i seguenti sistemi : 7 = 8 7 a) b) c) 1 = 1 6 Risolvere i seguenti sistemi, discutendo quelli frazionari: 10 z 10 a) 6z 7 b) z 1 RADICALI Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati: 1) b b ) ) ) ) 6 : a b ) 7) 7 z : 7 6z a 9b a 6ab 9b 8) a ab a b Semplificare i seguenti radicali 1 9) ; 6 a b a a 1 Scrivere sotto forma di un unico radicale le seguenti espressioni: 10) ; a a Razionalizzare le seguenti frazioni: 1) =

5 ) 1 = ) = ) 1 = Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati: a) b b b) c) d) e) 6 : a b 16 1 f) g) 7 z : 7 6z a 9b a 6ab 9b h) a ab a b Semplificare i seguenti radicali: ; 6 a b a a 1 Scrivere sotto forma di un unico radicale le seguenti espressioni: ; a a Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati: Razionalizzare le seguenti frazioni : 1) ) 16 ) )

6 ) 6) 1 1 7) 8) 7 Risolvere le seguenti equazioni di primo grado a coefficienti irrazionali 1) ) ) ) 6 FUNZIONI DI SECONDO GRADO Determinare zeri e segno delle seguenti funzioni e tracciarne il grafico (individuare il vertice delle parabole) 1. = + 1. = =. = 1 + EQUAZIONI DI II GRADO A. 1 ( ) B. 8( ) 7( ) ( ) C. ( 1)( ) ( ) 16 ( )( ) D. 1 E F G. H. I

7 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PARAMETRICHE a) Nell equazione ( k 1) k 0 determinare k in modo che: 1) le soluzioni risultino coincidenti; ) la somma dei reciproci delle soluzioni valga -; ) la differenza delle radici valga. b) Nell equazione ( k ) ( k ) 0 determinare k in modo che: 1) la somma dei quadrati delle radici valga ; ) il prodotto delle soluzioni valga ; ) la somma delle soluzioni valga. 7 c) Nell equazione ( k ) k k 1 0 determinare k in modo che: 1) le soluzioni siano una l opposto dell altra; ) le soluzioni siano una il reciproco dell altra; ) una soluzione valga -; ) una soluzione valga -. d) Per ogni equazione di grado nell'incognita, determina per quali valori del parametro k sono soddisfatte le condizioni indicate. Quando è necessario, verifica se i valori del parametro sono compatibili con radici reali dell'equazione. 1) a) una radice è uguale a (cioè ) b) le radici sono opposte (diverse da 0) c) le radici sono reciproche ) a) le radici sono reciproche b) le radici sono opposte (diverse da 0) c) una radice è uguale a 0, cioè d) le radici sono coincidenti DISEQUAZIONI 1. Disequazioni fratte di secondo grado: a) 0 b) c) d) e) f) 0

8 8 7 g ) i) l) 1 9. Risolvere le seguenti disequazioni fratte ; 0 ; ; ; ;. Sistema di disequazioni di secondo grado: a) b) c) ARGOMENTO: SISTEMI DI II GRADO + = = a) { b) { ( + ) + 11 = 0 ( ) + = + ( ) c) { + = 10 = d) { +1 + = 0 ( ) = Risolvere i seguenti sistemi algebricamente e farne una rappresentazione grafica 1 a) b) c) 7 1 d) { = + = + e) { = 9 6 = 0 f) { = + = + Risolvi il sistema tra la retta di equazione = 1 e le parabole di equazione = p. Determina per quale valore di p le soluzioni sono coincidenti. Risolvi graficamente i seguenti sistemi a){ > + 1 > b) { < > + 1 < c) { > GEOMETRIA RAZIONALE

9 1 Dimostrare che se in due triangoli aventi le altezze congruenti, si conducono due corde parallele alle basi ed equidistanti da queste, le due corde stanno tra loro come le basi.. Rispondete ai seguenti quesiti utilizzando, per ciascuno, al massimo10 righe: a) Enunciate e dimostrate alcuni criteri per riconoscere se un quadrilatero convesso è un parallelogrammo. b) Enunciate il teorema di Talete e descrivi alcune proprietà che da esso discendono. Dimostrare che la congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallela al terzo lato ed è congruente alla loro semisomma. In un trapezio ABCD inscritto in una circonferenza, l angolo in B ha ampiezza 0. Determina, giustificando la tua risposta, le ampiezze degli altri angoli. Enunciare e dimostrare il teorema della tangente e della secante nelle similitudini 6 Dimostrate che, se a partire dai due vertici opposti B e D di un rombo si riportano su ciascun lato segmenti tra loro congruenti, il quadrilatero che si ottiene congiungendo gli estremi di tali segmenti è un rettangolo. 7 Traccia una circonferenza e disegna due corde AB e CD che si intersecano in un punto T. Dimostra che i triangoli ATC e BTD sono simili. 8 Dimostrare che se in un trapezio rettangolo una diagonale è perpendicolare al lato obliquo, l altezza è media proporzionale fra la base minore e la differenza delle basi. 9 Considerare due circonferenze congruenti e secanti nei punti A e B; da A viene condotta una corda che a sua volta interseca le due circonferenze in due punti C e D. Dimostra che il triangolo CBD è isoscele. 10 In un parallelogrammo ABCD una secante per A incontra i lati BC e DC rispettivamente nei punti M ed N. Dimostrare che risulta BC : BM= DN:DC. 11 Traccia una circonferenza e disegna due corde AB e CD che non si intersecano. Congiungi gli estremi delle corde, i segmenti si intersecano nel punto P. Dimostra che i triangoli APD e BPC sono simili. 1 Per ogni triangolo rettangolo in figura scrivi una proporzione che esprima il primo teorema di Euclide e una proporzione che esprima il secondo teorema di Euclide, utilizzando come medio proporzionale rispettivamente il segmento a e b (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli). 1 Completa le proporzioni riferite alla figura (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli). AC : ED...:... AH :......: DF

10 1 Disegna una circonferenza e una corda AB. Dal punto medio M di AB traccia il diametro CD. Fissa su AB un generico punto P e per esso traccia la corda CE. Dimostra che il rettangolo avente per lati CP e CE è equivalente al rettangolo avente per lati CD e CM. 1 Scrivi una proporzione che coinvolga la misura dei perimetri dei due triangoli simili in figura e una proporzione tra la misura delle aree. 16 In un parallelogramma abcd le altezze relative alla base ab ed al lato bc sono congruenti. dimostrate che il parallelogrammo è un rombo. 17 Disegna un trapezio ABCD in modo che le diagonali ac e bd, in contrandosi nel punto O, formino i due triangoli isosceli ABO e CDO. Dimostrare che il trapezio ABCD è isoscele. 18 Considerata una corda AB su di una circonferenza, si conduca per A la tangente al cerchio e su di essa si consideri un segmento AC congruente ad AB. Dimostrare che il segmento CB incontra la circonferenza in un punto P tale che CP AP. GEOMETRIA APPLICATA 1 In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e BC sono rispettivamente di 10 cm e di cm. Prendi un punto P sull ipotenusa in modo che PA PC. Traccia da P la retta parallela ad AB e indica con Q l intersezione di tale retta con il cateto BC. Determina il perimetro del trapezio PQBA. [0 cm] Dato un triangolo equilatero di lato 6a considerare il punto medio Q del lato AB e la perpendicolare da Q al lato BC. Indicare con P il piede della perpendicolare. Calcolare la misura del segmento QP. In un rombo una diagonale è uguale, a un decimo dell'altra più un segmento lungo 10 cm., mentre la somma di due undicesimi della prima diagonale con la metà dell'altra misura 6 cm. Calcolare la misura del perimetro e l'area del rombo. [R. p = cm.; area = 10 cm.] In un triangolo isoscele la differenza fra il doppio della base e l altezza è di 8 cm. Sapendo che l area è di 1 inscritta. cm, determina il perimetro del triangolo e il raggio della circonferenza [16 cm; 1, cm]

11 In una circonferenza di centro O traccia due corde AB e CD che si intersecano nel punto E. Si sa che CE 1 k, DE 9 k, AB k. Calcola la misura dei segmenti AE e BE. AE 6 k; BE 18k Da un punto P, esterno ad un cerchio e distante dal cerchio stesso 6 a, disegnate una tangente PT. Sapendo che la misura del segmento PT è 1 a, determinate la misura del raggio del cerchio e la misura della corda QR intercettata su una secante PR che misura 0 a. 6 Un triangolo ha i lati AB, AC e BC rispettivamente di 0 cm. 8 cm. e cm. Per un punto P di AB conducete una corda PQ parallela a BC di lunghezza 1 cm. Determinatela misura del perimetro del triangolo APQ. 7 In una circonferenza di raggio 9 cm è inscritto un triangolo isoscele la cui altezza relativa alla base è 8 del diametro. Determina la lunghezza dei lati del triangolo dato e di quello ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza nei vertici del triangolo. 1 cm; 6 6 cm; 18 cm; 7 cm Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui l altezza AB è della base maggiore BC, AD è 6 e il perimetro è 100a. Prolunga l altezza AB dalla parte di A e il lato obliquo CD dalla parte di D fino a farli incontrare nel punto P. Da A conduci la perpendicolare a DP e indica con Q il piede di tale perpendicolare.calcola il perimetro del triangolo APQ a 9 Un trapezio ABCD è inscritto in una semicirconferenza il cui diametro AB misura a. Sapendo che la base minore CD misura 7a, determinare il perimetro e l area del trapezio. 10 Nel trapezio rettangolo ABCD l'altezza AD è tre quinti della diagonale maggiore AC e dodici quinti della base minore AB. Sapendo che l'area del trapezio è di 16 cm.a) Calcolare la misura delle due diagonali. b) Di che natura è il quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati? c) Calcolare la misura del perimetro e l'area di tale quadrilatero. di AB [R. a) AC = 0 cm. ; BD = 1 cm. b) È un parallelogrammo, perché... c) p=cm.; area=6cm.] 11 Nel trapezio isoscele ABCD l'altezza misura 60 cm. e la base AB è venticinque settimi della base CD. Sapendo che la differenza fra due terzi della base maggiore e la metà della minore misura 9 cm., calcolare la misura del perimetro, la lunghezza di una diagonale e l'area del trapezio. Verificare quindi che la diagonale AC è perpendicolare al lato BC. [R. p = 1860 cm.; d = 600 cm. ; area = cm. ]