ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATIHE II SEONDO ESONERO Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = (x + y )(1 y) i) se ne studi il segno. ii) Si trovino i punti critici di f e se ne studi le natura. iii) Sia D = {(x, y) : x + y 1} si dica se f(x, y) D ammette massimo e minimo e, in caso affermativo, si calcolino. iv) Si dimostri che l equazione (x + y )(1 y) = definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno del punto (0, 1) e si calcoli g (0). Esercizio. Sia si calcoli = {(x, y) : x 0, y 0, 1 x + y 9} (xy + 1)dxdy Esercizio. Dato il campo y 1 F (x, y) = ( (x 1) + (y 1), x 1 (x 1) + (y 1) ) i) si dimostri che è irrotazionale. ii) Si calcoli il lavoro del campo sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1), orientato in verso orario; iii) Si calcoli il lavoro del campo sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (, 0), (0, ), orientato in verso orario. iv) Si dica se il campo è conservativo. 1

2 ISTITUZIONI DI MATEMATIHE II SEONDO ESONERO Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = (x + y )(1 y) i) se ne studi il segno. ii) Si trovino i punti critici di f e se ne studi le natura. iii) Sia D = {(x, y) : x + y 1} si dica se f(x, y) D ammette massimo e minimo e, in caso affermativo, si calcolino. iv) Si dimostri che l equazione (x + y )(1 y) = definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno del punto (0, 1) e si calcoli g (0). i) Il dominio di f è R. f(x, y) = 0 in (0, 0) e in (x, 1) per ogni x R, f(x, y) > 0 in {(x, y) : y < 1}, f(x, y) < 0 in {(x, y) : y > 1}. ii) I punti critici sono le soluzioni del sistema { fx (x, y) = x(1 y) = 0 f y (x, y) = y(1 y) (x + y ) = 0 La prima equazion ha soluzioni x = 0 e y = 1. Sostituendo x = 0 nella seconda, si ottiene y( y) = 0, che ha soluzioni y = 0 e y =. Sostituendo y = 1 nella seconda, so ottiene x + 1 = 0 che non ha soluzioni reali. I punti critici sono (0, 0) e (0, ). La matrice Hessiana è H(x, y) = f xx(x, y) = (1 y) f xy (x, y) = x f yx (x, y) = x f yy (x, y) = (1 y), H(0, 0) = 4 e f xx (0, 0) =, quindi (0, 0) è punto di minimo locale. H(0, ) = 4, quindi (0, ) è punto di sella. 1

3 SEONDO ESONERO iii) D è chiuso e limitato e f(x, y) è continua, quindi f(x, y) D ammette massimo e minimo. Il massimo ed il minimo possono essere assunti o nei punti critici interni o sul bordo. Abbiamo già trovato i punti critici, entrambi sono punti interni a D. Abbiamo anche visto che (0, ) è punto di sella. Lo studio del segno ci permette di affermare che (0, 0) è punto di minimo assoluto per f(x, y) D, infatti D {(x, y) : f(x, y) 0} e f(0, 0) = 0. Studiamo la funzione sul bordo. Sostituendo le equazioni parametriche { x = cos t y = sin t t [0, π] si cercano il massimo e il minimo della funzione F (t) = 1 sin t, t [0, π]. I punti candidati ad essere punti di estremo sono t = 0, t = π e t per cui F (t) = cos t = 0, cioè t = π e t = π. F (0) = F (π) = 1, F ( π) = 0, F ( π) =. onfrontando anche con il valore che f(x, y) assume nel punto interno (0, 0), si ha min f D = 0 = f(0, 0) = f(0, 1) = F ( π) e max f D = = f(0, 1) = F ( π). Usando, in alternativa, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si cercano i punti critici della Lagrangiana L(x, y, λ) = (x + y )(1 y) λ(x + y ) 1 cioè le soluzioni del sistema { L x (x, y, λ) = x(1 y λ) = 0 L y (x, y, λ) = y(1 y) (x + y ) λy = 0 L λ (x, y, λ) = x + y 1 = 0 La prima equazione ha soluzioni x = 0 e λ = 1 y. Sostituendo x = 0 nell equazione del vincolo, si ottiene y = ±1 e, sostituendo x = 0 e y = 1 nella seconda equazione, si ottiene λ = 1, mentre, sostituendo x = 0 e y = 1 nella seconda equazione, si ottiene λ = 5. Sostituendo λ = 1 y nella seconda equazione, si ottiene l equazione x + y = 0 che ha soluzione (0, 0) che non appartiene al vincolo, cioè non è soluzione della terza equazione. I punti critici della Lagrangiana sono (0, 1, 1) e (0, 1, 5 ) e quindi i punti sul bordo candidati ad essere punti di massimo o di minimo sono (0, 1) e (0, 1). onfrontando i valori che la funzione assume nei punti di D candidati ad essere punti di massimo o di minimo, si ottiene

4 ISTITUZIONI DI MATEMATIHE II min f D = 0 = f(0, 0) = f(0, 1) e max f D = = f(0, 1). iv) Nel punto (0, 1) sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini, infatti: f(0, 1) =, f y (0, 1) = 5. Dal teorema di Dini segue anche che g (0) = f x(0, 1) = 0. f y (0, 1) g (0) = 0 segue anche dal fatto che, attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange abbiamo trovato che in (0, 1) la curva di livello (x + y )(1 y) = e la circonferenza x + y = 1 sono tangenti. Esercizio. Sia si calcoli = {(x, y) : x 0, y 0, 1 x + y 9} (xy + 1)dxdy Passando in coordinate polari, si ha (xy + 1)dxdy = (ρ cos θ sin θ + 1)ρdρdθ dove = {(ρ, θ) : 0 θ π, 1 ρ } π (ρ cos θ sin θ + 1)ρdρdθ = ( (ρ cos θ sin θ + 1)ρdρ)dθ == 0 1 π 0 ρ cos θ sin θ + ρ 1dθ = 0 sin θ π 0 + 4θ π 0 = 10 + π. Esercizio. Dato il campo y 1 F (x, y) = ( (x 1) + (y 1), x 1 (x 1) + (y 1) ) i) si dimostri che è irrotazionale. ii) Si calcoli il lavoro del campo sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1), orientato in verso orario; iii) Si calcoli il lavoro del campo sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (, 0), (0, ), orientato in verso orario. iv) Si dica se il campo è conservativo.

5 4 SEONDO ESONERO i) ( ( y 1 ) (x 1) +(y 1) y x 1 ) (x 1) +(y 1) = (x 1) (y 1) ((x 1) + (y 1) ) = (x 1) (y 1) x ((x 1) + (y 1) ) quindi il campo è irrotazionale. ii) Il dominio di F è R (1, 1). D = {(x, y) : y < x + }è un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio di F che contiene il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). F D è conservativo e quindi il suo lavoro sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1) è nullo. iii) Il triangolo di vertici (0, 0), (, 0), (0, ) contiene invece il punto (1, 1), dobbiamo quindi calcolare il lavoro lungo il suo bordo. Il lavoro sul bordo di questo triangoloè uguale al lavoro lungo ogni altra curva chiusa, concordemente ordinata, che sia bordo di un insieme che contiene il punto (1, 1). Per come è fatta la funzione, conviene scegliere di integrare su una circonferenza centrata in (1, 1), per esempio quella di raggio 1, orientata in senso orario. Scegliendo per questa circonferenza γ la rappresentazione parametrica { x(t) = cos t + 1 r(t) = y(t) = sin t + 1 t [0, π] si ha π Ḟ dr = sin t( sin t) cos t(cos t)dt = π γ 0. Si osservi che non si può calcolare il lavoro sul bordo del triangolo applicando il teorema di Green-Gauss, perchè il campo non è definito nel punto (1, 1) che appartiene al triangolo. iv) il campo non è conservativo, perchè abbiamo trovato una curva chiusa lungo la quale il lavoro compiuto dal campo non è nullo.