ESERCIZI SVOLTI. 2 Il calcestruzzo armato 2.4 La flessione composta

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1 ESERCIZI SVOLTI Costruire la frontiera del dominio di resistenza della sezione rettangolare di mm con armatura simmetrica A s,tot + 6, copriferro mm, impiegando calcestruzzo classe C /. Resistenza di calcolo del calcestruzzo: f cd,7 N/mm. Per tracciare la frontiera si devono calcolare lollecitazioni ultime N Rd ed M Rd (calcolate rispetto al baricentro della sezione di calcestruzzo) ci possono verificare almeno per le deformazioni ai limiti dei sei campi di rottura, e vengono riportate sul sistema cartesiano. Per la seziononsiderata si anno i seguenti parametri: d A γ, δ s d Area dell armatura metallica: A s A s 6 8,8 mm Limitampo (deformata A-A in fig. a) (punto in fig. e) A s A s 6 A s 6 A x k A u +% +,9% a La sezione è sollecitata a trazionemplice e la sua resistenza è affidata solo all armatura metallica, ce è sollecitata oltre il limite di snervamento f yd con deformazione ε s +. N Rd (A s + A s ) f yd 8, ,9 N + 68,9 kn M Rd A s f yd + A s f yd Quando A s A s si a M Rd. Limitampi e (deformata A-O in fig. a) (punto in fig. e) d ε c ε su + σ s f yd 9 N/mm ε s ε s (+ ) +,9 d per cui l armatura A s è in campo elastico con la tensione: σ s ε s E s,9 + 8 N/mm e tutta la sezione è sollecitata a trazionomposta. SEI -

2 N Rd A s σ s + A s f yd 8, ,8 9 +,97 N +,97 kn M Rd (A s σ s A s σ s ) (8,8 9 8,8 8) +, 6 N mm +, kn m Campo (deformata A-A in fig. b) (punto in fig. fig. e) d ε s ε su + ε c ε su (+ ),8 d d σ s f yd σ s x d A s 6 k,9 8,7 k,67 k,9 e, s k,67 A - % F a -, % x d, A s 6 A u +% b L asse neutro passa per il baricentro dell armatura A s. N Rd f cd,8 x b A s σ s + A s f yd,7,8 8, ,9 N + 78,9 kn M Rd + f cd x b, x + A s σ s + A s f yd,7,8, + 8, ,8 6 N mm + 6,8 kn m La sezione è parzializzata. Limitampo a (deformata A-F in fig. b) (punto in fig. e) ε c ε s + σ s f yd 9 N/mm ε x c d,67 mm ε c ε su x d,67 ε s ε c ( ), x,67 L armatura compressa è in campo elastico e quindi: σ s ε s E s, 9, N/mm SEI -

3 N Rd f cd,8 x b A s σ s + A s f yd (,7,8,67 ) (8,8 9,) + (8,8 9) + 66,8 N + 66,8 kn M Rd + f cd,8 x b, x + A s σ s + A s f yd,7,8,67,,67 + 8,8 9, + + 8, ,86 6 Nmm + 79,86 kn m Limitampi e (deformata A- in fig. b) (punto in fig. e) ε c, ε s + σ s f yd 9 N/mm, 8,7 x 8,7 mm ε s (,),78, 8,7 L armatura compressa è ancora in fase elastica con la tensione: σ s ε s E s,78,6 N/mm N Rd (,7,8 8,7 ) (8,8,6) + (8,8 9),6 6 Nmm,6 kn M Rd +[,7,8 8,7 (7, 8,7)] + [8,8,6 (7 )] + 8,8 9 (7 ) + 9,67 6 N mm +9,67 kn m Limitampi e (deformata D- in fig. c) (punto 6 in fig. e) ε c, ε s ε yd +,9 A s 6 98,9 e s k,6 - % -,% k A s 6 D e yd +,9 % E c x,,,9 98,9 mm x d 98,9 ε s ε c (,),796 > ε yd x 98,9 L armatura compressa A s è snervata per cui σ s σ s f yd. SEI -

4 N Rd f cd,8 x b + (A s A s ) f yd,7,8 98,9 676, N 676, kn M Rd + f cd,8 x b, x + A s f yd + A s f yd +,7,8 98,9 (7, 98,9) + 8,8 9 (7 ) +9,6 6 N mm +9,6 kn m Limitampi e (deformata E- in fig. d) (punto 7 in fig. e) ε s ε c, x d mm A s 6 - % -,% F e s E x d 6 x A s 6 F d d d ε s ε c (,),8 N/mm > ε yd d per cui l armatura compressa è snervata e quindi: σ s f yd 9 N/mm e σ s. N Rd f cd,8 x b A s f yd,7,8 8,8 9 68,79 N 68,79 kn M Rd + f cd,8 x b, x + A s f yd +[,7,8 (7, )] + 8,8 9 (7 ) +96,9 6 N mm +96,9 kn m Limitampi e 6 (deformata O- in fig. d) (punto 8 in fig. e) ε c,sup, ε c,inf x mm d ε s ε c,sup (,), < ε yd d ε s ε c,sup (,), σ s ε s E s, 8 N/mm σ s 9 N/mm N Rd (,7,8 ) (8,8 9) 8,8 8 69,8 N 69,8 kn M Rd +[,7,8 (7, )] + 8,8 9 (7 ) + 8,8 8 (7 ) +7,6 6 N mm +7,6 kn m SEI -

5 Limitampo 6 (deformata F-F in fig. d) (punto 9 in fig. e) ε c,sup ε c,inf ; ε s ε s ; x ; σ s σ s f yd 9 N/mm Il calcestruzzo è uniformementompresso. N Rd f cd b (A s A s ) f yd (,7 ) ( 8,8 9) 6,77 N 6,77 kn M Rd ( f cd b ) + (A s A s ) (,7 ) + (8,8 8,8) (7 ) La sezione è soggetta a compressionemplice. I risultati sono riepilogati nella tabella. Deformata k N Rd (kn) M Rd (knm) + M Rd 6 A-A A-O A-A A-F A- D- E- O- F-F,9,67,9,6, ,9 +, ,9 + 66,8,6 676, 68,79 69,8 6,77 +, + 6,8 + 79,86 + 9,67 + 9,6 + 96,9 + 7,6 7 8 Riportando i valori su un sistema cartesiano si ottiene il dominio di resistenza della sezione rappresentata in figura e. Questo esercizio svolto a consentito di illustrare il criterio ce permette di tracciare il dominio di resistenza di una sezione; risulta evidente il procedimento manuale è molto laborioso, per cui è praticamente indispensabile disporre di un idoneo programma di calcolo. + N Rd e - M Rd 9 - N Rd Calcolare l armatura metallica asimmetrica per la sezione di mm in calcestruzzo classe C /, soggetta allo sforzo assiale di compressione N Ed kn e al momento M Ed 8 kn m, ce agiscecondo l asse maggiore della sezione, considerando un copriferro di mm. Resistenza di calcolo del calcestruzzo: f cd,7 N/mm Viene eseguito un procedimento analogo a quello seguito per una sezione inflessa con armatura doppia; si calcola prima il momento ce potrebbe esseropportato dalla sezionon armatura semplice: M * Ed,87 f cd b d,87,7 6, 6 N mm, kn m per il quale è necessaria l armatura:, A s,,8,8 6 d 6 8,8 mm M * Ed La restante quota di momento: M M Ed M * Ed 8, 77,69 kn m deve essere equilibrata dal momento della coppia costituita dalle resistenze dell armatura compressa A s e della rimanente parte di quella tesa A s,, con area: M 77,69 A s, A s 6 6,9 mm f yd (d d ) 9 (6 ) L armatura tesa si ottiene dalla somma di A s, e di A s,, dalla quali devottrarre il contributo dello sforzo normale di compressione (se fosstato di trazione doveva esserommato). Si a quindi: N A s A s, + A s, 8,8 + 6,9 Ed f yd 9 7,98 mm SEI -