CP110 Probabilità: Esonero 2

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1 Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 22-3, II semestre 23 maggio, 23 CP Probabilità: Esonero 2 Cognome Nome Matricola Firma Nota:. L unica cosa che si puo usare durante l esame è una penna o una matita. Tutto il resto (calcolatrice, libri, appunti, altri fogli di carta,... ) deve essere messo da parte. 2. Risposte implicite sotto forma di coefficienti binomiali, potenze, esponenziali ecc. sono benvenute. Mostrate in dettaglio il vostro lavoro. 3. Non parlate durante l esame. Copiare o far copiare non è tollerabile. 4. Scrivete il vostro nome su ogni pagina. In caso di utilizzo di piu pagine per un singolo esercizio indicare chiaramente l ordine. 5. Il punteggio massimo per ogni esercizio è indicato nel testo. Notare che già con quattro esercizi risolti correttamente si arriva vicino al trenta. Buon lavoro! esercizio totale punti su

2 . (7 punti) Lanciamo una moneta equa 4 volte. Sia X il numero totale di teste, e sia Y la differenza tra il numero di teste nei lanci, 2 e il numero di teste nei lanci 3, 4. (a) Scrivere la tabella corrispondente alla densità di probabilità congiunta p X,Y (b) Calcolare le densità marginali p X e p Y (c) Dire se X e Y sono indiependenti Soluzione: Notiamo che X {,..., 4} e Y { 2,..., 2}. Siano X,2 e X 3,4 il numero di teste nei lanci,2 e 3,4 rispettivamente. In questo modo si ha X = X,2 + X 3,4 e Y = X,2 X 3,4. Abbiamo per esempio p X,Y (, ) = P (X,2 = X 3,4 = ) = 6, Inoltre p X,Y (2, ) = P (X,2 =, X 3,4 = ) = 4. Procedendo cosí si ottiene la tabella Sommando sulle righe e colonne otteniamo le marginali p X () = 6, p X() = 4, p X(2) = 3, p X(3) = 4, p X(4) = 6, () p Y ( 2) = 6, p Y ( ) = 4, p Y () = 3, p Y () = 4, p Y (2) = 6, (2) Notiamo che X e Y non sono indipendenti poiché per esempio P (Y = X = 4) = P (Y = ) = 3. Osserviamo che E[XY ] = k,j kjp X,Y (k, j) = e E[X] = 2, E[Y ] =, dunque Cov(X, Y ) = pur essendo le variabili dipendenti. Si può inoltre osservare che X ha la stessa distribuzione di Y + 2.

3 2. (7 punti) Si consideri la passeggiata aleatoria su Z con incrementi ± simmetrici. Sia S n la posizione dopo n passi, con S =. Utilizzando l approssimazione normale, calcolare le seguenti probabilità nel limite n : (a) P( S n n) (b) P( S n n. ) (c) P( S n n.9 ) Soluzione: a) Per il teorema del limite centrale sappiamo che n S n Z = N(, ), allora per ogni t > fissato si ha P( S n tn 2 ) P( Z t) = 2Φ(t). (3) Per t = abbiamo lim t P( S n n 2 ) = 2Φ(). b) Notiamo che S n n. equivale a S n tn 2 per t = n.4 allora P( S n n. ) 2Φ(n.4 ), (4) dove abbiamo usato Φ(n.4 ) Φ() = 2. Questo mostra che lim t P( S n n. ) =. Per una versione piu precisa dell argomento precedente procediamo come segue. Se t > è fissato, allora per n grande si ha n. tn 2. Dunque lim sup n P( S n n. ) lim sup P( S n tn 2 ) = 2Φ(t). n Questa stima vale per ogni t > e dunque passando al limite t e usando Φ() = 2 lim sup n P( S n n. ) = che, essendo la probabilità sempre nonnegativa, equivale a si ha lim P( S n n. ) =. t c) Se procediamo come nella (4), questa volta S n n.9 equivale a S n tn 2 per t = n +.4, e pertanto P( S n n.9 ) 2Φ(n.4 ), dove abbiamo usato Φ(n.4 ) Φ(+ ) =. Per una derivazione piu precisa possiamo ragionare come sopra. Per ogni t > fissato, per n grande si ha n.9 tn 2. Dunque lim inf n P( S n n.9 ) lim inf n P( S n tn 2 ) = 2Φ(t). Questa stima vale per ogni t > e dunque passando al limite t si ha lim inf n P( S n n. ) = che, essendo la probabilità sempre al piú, equivale a lim P( S n n.9 ) =. t

4 3. (7 punti) Siano X e Y due variabili esponenziali indipendenti, di parametro λ e µ rispettivamente, dove λ, µ > sono costanti assegnate. Calcolare la densità di probabilità delle variabili (a) Z = Y/X (b) T = min{x, Y } (c) W = max{x, Y } Soluzione: Calcoliamo la funzione di distribuzione F Z (t) = P (Y/X t) = P (Y tx): F Z (t) = tx Derivando otteniamo la densità Per T abbiamo λe λx µe µy dydx = f Z (z) = λe λx ( e µtx )dx = λµ (λ + µz) 2 [z ] λ, t. λ + µt F T (t) = P (T > t) = P (X > t)p (Y > t) = e λt e µt, t. Derivando si ha f T (t) = (λ + µ)e (λ+µ)t [t ]. Per W abbiamo F W (t) = P (X t, Y t) = P (X t)p (Y t) = ( e λt )( e µt ), t Derivando si ha f W (w) = ( ) λe λw ( e µw ) + µe µw ( e λw ) [w ].

5 4. (7 punti) Quattro tenniste A,B,C,D fanno un gioco. Ogni giorno per 5 giorni si sfidano scegliendo in maniera casuale uniforme fra i tre accoppiamento possibili {AB, CD}, {AC, BD}, {AD, BC}. Se X è il numero di volte che A e B si incontrano, e Y il numero di volte che A e C si incontrano, calcolare: (a) Il valore atteso di X e Y (b) La varianza di X e Y (c) La covarianza tra X e Y Soluzione: Ogni giorno A e B hanno probabilità /3 di insontrarsi, e dunque per linearità si ha E[X] = 5 (/3) = 5 3. Lo stesso vale per Y. Sia X i la variabile che indica se A e B si incontrano il giorno i. Allora X = X + + X 5. Notiamo che E[X i ] = /3 e Var(X i ) = (/3) (2/3) Se assumiamo che le X i sono indipendenti, allora 5 Var(X) = Var(X i ) = 5 Var(X ) = 5 (/3) (2/3) = 9 i= Lo stesso vale per Y. Calcoliamo ora la covarianza. Ragionando come sopra scriviamo XY = 5 i,j= X iy j. Allora 5 Cov[X, Y ] = Cov[X i, Y j ] = i,j= 5 Cov[X i, Y i ] = 5Cov[X, Y ], i= dove usiamo il fatto che se giorni differenti sono indipendenti allora Cov[X i, Y j ] = se i j. Per calcolare Cov[X, Y ] osserviamo che X Y = e dunque In conclusione, Cov[X, Y ] = 5 9. Cov[X, Y ] = E[X Y ] E[X ]E[Y ] = E[X ]E[Y ] = 9

6 5. (7 punti) Siano X, Y variabili aleatorie continue con densità di probabilità congiunta f : R 2 R definita da { c(x + 2y) se (x, y) [, ] [, ] f(x, y) = (5) altrimenti dove c è una costante. (a) Calcolare il valore di c (b) Calcolare P(X > 2 ) (c) Dire se X e Y sono indipendenti. Soluzione: Calcoliamo R 2 f(x, y) dx dy = c ( ) (x + 2y)dy dx = c (x + ) dx = c 3 2 Allora per c = 2 3 si ha f e La marginale su X ha densità R 2 f(x, y)dxdy =. Allora f X (x) = c P(X > 2 ) = (x + 2y)dy = 2 3 (x + ) [,](x) (x + )dx = = 7 2. Infine, per testare l indipendenza possiamo calcolare le marginali. Per x [, ] e y [, ] si ha: f X (x) = 2 3 Si verifica direttamente che Dunque X, Y non sono indipendenti. (x + 2y)dy = 2 3 (x + ), f Y (y) = 2 3 f(x, y) f X (x)f Y (y) (x + 2y)dx = 2 3 (2y + 2 )