19 Marzo Equazioni differenziali.

Transcript

1 19 Marzo 2019 Equazioni differenziali. Definizione 1. Si chiama equazione differenziale una relazione che coinvolge una o più derivate di una funzione incognita y(x), la funzione stessa, funzioni di x e quantità note. Una definizione equivalente è la seguente: Definizione 2. Sia x la variabile indipendente che varia in un intervallo I. Un equazione differenziale mette in relazione un valore generico x 0 della variabile indipendente con i valori assunti in x 0 da una funzione incognita y(x) e da una o più delle sue derivate; l incognita è una funzione. Si chiamano equazioni differenziali di primo grado o lineari quelle in cui non compaiono potenze con esponenti maggiori di 1 della funzione incognita e delle sue derivate di ordine n 1, né prodotti del tipo y (i) (x) y (k), con i e k = 0, 1, 2,, n. Con y (0) si intende la funzione stessa. Per ordine di un equazione differenziale si intende il massimo ordine di derivazione presente nell equazione. Ad esempio, y + 2 x y + y = e x è un equazione differenziale di primo grado (lineare) del secondo ordine. Un equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma generale a 0 (x) y (x) +a 1 (x) y(x) =f(x), ove a 0 (x), a 1 (x) e f(x) sono funzioni continue su un intervallo I dell asse reale, con a 0 (x) 0 x I. L equazione è in forma normale se è possibile esplicitare la derivata di ordine massimo: y (n) (x) = F(x, y, y, y,.,y( n 1 )). Un equazione lineare del primo ordine in forma normale ha la forma generale y (x) +a 1 (x) y(x) =f(x). Sappiamo già risolvere le equazioni lineari del primo ordine quando a 1 (x) = 0: = = Dunque la soluzione dell equazione differenziale si ottiene integrando f(x) (termine noto): per estensione, le soluzioni di un equazione differenziale si dicono integrali dell equazione differenziale. Nel caso che abbiamo appena visto la soluzione dipende da una costante arbitraria c, che possiamo determinare specificando il valore della funzione incognita nel punto x 0 : = = +=. Anche nel caso di un equazione differenziale del primo ordine non lineare gli integrali dipendono da una costante c: l integrale generale dell equazione =, è rappresentato da una famiglia di curve nella cui equazione compare una costante arbitraria, y(x) = g(x, c). Ad ogni valore di c corrisponde una soluzione dell equazione, detta soluzione particolare. A volte però l integrale generale non contiene tutte le soluzioni dell equazione differenziale: le soluzioni che non si ottengono dalla soluzione generale si chiamano integrali singolari. +. 1

2 Esempio 1. E facile verificare che y = c x 2 è l integrale generale dell equazione differenziale = (come vedremo, questa è un equazione a variabili separabili) Figura 1. Interpretazione geometrica. Sia y = f(x, y) un equazione differenziale del primo ordine in forma normale. La funzione f fa corrispondere ad ogni punto (x 0, y 0 ) di una determinata regione del piano xy un valore y che, come sappiamo, rappresenta il coefficiente angolare della tangente ad una curva di equazione y =y(x). La funzione y =y(x) è un integrale di y f(x, y)=0. In corrispondenza dei punti scelti, tracciamo dei piccoli segmenti aventi come pendenza il valore f(x 0, y 0 ). Abbiamo un campo di direzioni. Figura 2. 2

3 Esempio 2. Sia m(t) la massa di una sostanza radioattiva all istante t. La funzione t m(t) è una funzione decrescente con il tempo. La velocità di disintegrazione m (t) è a sua volta una funzione del tempo: supponiamo (1) m (t) = λ m(t) dunque m (t) è proporzionale istante per istante alla massa. La costanza di proporzionalità è λ < 0 perché m(t) è positiva, mentre m (t) è negativa, essendo la derivata di una funzione decrescente. Una funzione t m(t) che verifica la (1) per ogni istante t è un integrale dell equazione differenziale. Sappiamo che = ; ponendo m(t) = e kt, otteniamo m (t) = k e kt = λ m(t), k = λ. Quindi m(t)= e λ t è una soluzione di (1), come ogni funzione y(t) = c e λ t. Se c =0 si ha la soluzione identicamente nulla. Tra gli integrali della (1) c è la funzione che per t = 0 vale m 0. In definitiva, esprimiamo la soluzione della (1) come (2) m(t) = m(0) e λ t. L equazione differenziale che abbiamo risolto è un equazione differenziale lineare del primo ordine. Equazioni differenziali del primo ordine lineari. Consideriamo l equazione differenziale scritta in forma normale (3) y (x) +a(x) y(x)= f(x) ove a(x) e f(x) sono funzioni continue su un intervallo I. Qualora f(x), il cosiddetto termine noto, sia uguale a 0, l equazione si dice lineare omogenea. Consideriamo la funzione = ove x 0 è un punto qualunque di I. L argomento dell esponenziale è una qualsivoglia primitiva della funzione x a(x). Dalle proprietà della funzione esponenziale e dal teorema fondamentale del calcolo integrale si ricava che A(x) > 0, x I = =. Moltiplichiamo ora entrambi i membri della (3) per A(x): y A + a A y = f A che equivale a (y A) = f A da cui = + con un ulteriore passaggio otteniamo una formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del primo ordine 3

4 = +. Esempio 3. y + xy = x. Le funzioni a(x) e f(x) son continue su R. Scegliamo x 0 = 0. = = = 2 +=, = da cui e infine Esempio 4. + =4. e infine = +. ((figura 3) Esempio 5. +3=2. = = + =1+. = 1 ==. + 1 =4, =4, = 4 = + = 3 = =2, =2, =2 = Soluzione: = +. Esempio 6. Risolvere l equazione omogenea =0. == +1 = = =0, = +1. = = +1 4

5 Figura 3 Esempio 7. Risolvere i seguenti problemi ai valori iniziali (problemi di Cauchy). a) = 1=0 =, + =. Questa è un equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. = 1 ==, >0 + =1, =1, =1 =+ da cui =1+. Consideriamo la condizione iniziale y(1) = 0: 0 = 1 + c, c = 1. Soluzione: b) =+ a e b reali, a 0 0=0 =1 1. 5

6 y ay = b. = =, =. = = +, = +. y(0) = 0 0= +, =. Soluzione: = 1. Esaminiamo ora il problema generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Teorema 2. (Equazioni differenziali ordinarie. Laforgia, pg. 13) Siano a(x) e f(x) funzioni continue su un intervallo I dell asse reale. Allora la soluzione generale dell equazione differenziale lineare + = è data da (ii) = + ove c è una costante arbitraria e =. Dimostrazione. Moltiplichiamo entrambi i membri della (i) per e A(x) : che può scriversi come Integrando entrambi i membri: + = = =+ ove c è una costante arbitraria. Si conclude che la soluzione è: = +. Cosa abbiamo dimostrato? Abbiamo dimostrato che, se esiste una soluzione di (i), questa può rappresentarsi come la (ii), ovvero come = + La seconda parte della dimostrazione consiste nella verifica che (ii) costituisce effettivamente una soluzione dell equazione; sostituendo nella (i) : = = = =. La dimostrazione è completa: la (ii) fornisce una soluzione della (i) e ogni soluzione dell equazione può esprimersi secondo la (ii). 6

7 Esercizi proposti. =. =. =. =+. +=. =+. Equazioni di Bernoulli. Sono equazioni differenziali del primo ordine che non sono lineari ma che a queste si riducono dopo opportuno cambiamento della variabile y. (B) y +P(x) y + Q(x) y m = 0 ove m è un numero reale e P e Q sono funzioni continue su un intervallo assegnato. Se m = 0 oppure m = 1 la (B) è un equazione lineare. Per risolvere l equazione si divide per y m : + +=0 Posto u = y 1 m,, si ottiene =1. Quindi ++=0, +1 = 1. Abbiamo ottenuto così un equazione differenziale del primo ordine nella incognita u. Esempio 8. y = 2 y e x y 2 ; y y 2 2 y 1 = e x. =, =. Sostituendo, u 2u = e x, u +2u = e x, = 2 =2. e infine y = = = 1 3 +, = + 1 3,. 1 = Esempio 9. =, + =0. Q(x) = 1, m = 1, + +=0 +1=0. u = y 2, u = 2 y y, +1=0, +2=0 = 2 = = = 2 = 2, = 2 = 2 +. = + =2+, pertanto l integrale generale è = ± 2+ Esempio 10. = +2. 7

8 = 2, = 1 2 La funzione y = 0 è un integrale singolare dell equazione assegnata. Supposto y 0, dividiamo per y. (A) = 2. =, =. Sostituendo nella (A) 2 =2, =. = 1 = =, =. =. >0 a) = =1 =+, u = x2 +c x, y = x 2 +c x b) <0 = Si ottiene lo stesso risultato per x >0. L integrale generale è y = ( x 2 +c x) 2. 8