f(x) := 1 10 x g(x) := f(x) x = 1 x + 100

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1 PROBLEMA. Dal momento che la spesa totale mensile data dalla somma del canone mensile e della spesa dovuta alle telefonate al minuto, indicando con x i minuti di conversazione ed f : R + R + la funzione che indica la spesa totale mensile, si ha: f(x) := x +. Il grafico di tale funzione banalmente una semiretta posta nel primo quadrante del piano cartesiano x, y di coefficiente angolare m = e q = : Essendo f una funzione che indica la spesa totale mensile ha senso che f (x) = > x R+, ossia sia crescente al crescere dei minuti di conversazione effettuati. Per quanto riguardo il costo medio al minuto, facendo riferimento alla definizione (di carattere economico) di costo medio secondo cui esso il rapporto tra la spesa totale e la quantit considerata, la funzione g : R + R + indicante il costo medio al minuto, si ha: g(x) := f(x) x = x + x +. Il grafico di g risulta essere un ramo di iperbole equilatera traslata posta nel primo quadrante, di centro (, ) e semiassi lunghi 5 :

2 Essendo g una funzione che indica il costo medio al minuto ha senso che g (x) = < x R +, ossia sia decrescente al crescere dei x minuti di conversazione effettuati e asintotica a y = per x +, costo delle chiamate al minuto di conversazione. Da tale osservazione si deduce anche che tale funzione monotona decrescente e quindi priva di massimi e minimi relativi..... Detto x il numero di minuti di conversazione gi effettuati nel mese corrente, allora: g(x ) = g(x ) + x = + 5 x x = x + x. Il grafico della funzione che esprime x in funzione di x risulta essere una iperbole equilatera traslata, di centro (, ). Si nota, inoltre, x + che x > x < e che lim = + x x x +, lim = x + x. Dunque il grafico di tale iperbole risulta essere:

3 3 e il significato di tale asintoto verticale significa che per avere il dimezzamento del costo medio al minuto occorre avvicinarsi ai minuti di conversazioni effettuate L arco di curva che delimita la parte superiore della zona rappresentata in Figura, essendo il grafico di una funzione polinomiale di secondo grado, si ha: P (x) := a x + b x + c. Imponendo il passaggio per i punti A(, ), B (, 7 ), C(4, 4), si ottiene: P () = P () = 7 P (4) = 4 = a + b + c 7 = a + b + c 4 = a 4 + b 4 + c a = 8 b = c = ossia: P (x) = 8 x + x +. Dunque, l area della porzione di piano delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta x = 6 e dal grafico di P pari ad: A = 6 P (x) dx = 8 6 x dx + 6 x dx + 6 dx = ed essendo A Z = telefonico, segue che: = l area della zona Z non coperta dal segnale A : % = A Z : p p = A Z A.38%,

4 4 ossia la zona coperta dal segnale risulta pari a %.38% = 97.6% e quindi non come riportato nel sito web consultato ove riportato 96% Introducendo un sovrapprezzo di centesimi per ogni minuto di conversazione per x > 5 min, si ottengono rispettivamente le seguenti funzioni definite a tratti: f(x) := { x + per x 5 x 4 per x > 5 ; g(x) := { + x per < x 5 x per x > 5 Tali funzioni in x = 5 min risultano continue, mentre presentano entrambe una non derivabilit in tale punto essendo:. f (5) = f +(5) = e g (5) = 5 g +(5) = 65 L asintoto orizzontale di g ora ha equazione cartesiana y = lim x + 4 x = 5, mentre per quanto riguarda la monotonia non cambia nulla in quanto tali funzioni sono composizione di funzioni con la medesima monotonia. Per quanto concerne eventuali punti di massimo e minimo assoluti di g essendo g (x) per x > 5 e g (x) per < x < 5 essa presenta un minimo assoluto nel punto x = 5 e si ha g(5) = 3. 5 Pertanto per un tempo di conversazione di 5 minuti mensili, si ha un costo medio complessivo minimo rispetto agli altri, pari a centesimi. PROBLEMA Punto Dal grafico si pu osservare che la funzione ha tre zeri, in x =, in x = e in x =. Il polinomio deve essere quindi come minimo di grado 3. Osservando per lo zero posto in x =, si nota che in tale punto la funzione tangente all asse delle ascisse, per cui lo zero in quel punto ha molteplicit maggiore di. Da ci segue che il polinomio ha almeno 4 radici, di cui coincidenti, per cui il suo grado minimo Punto Per determinare i punti di massimo relativo occorre determinare anzitutto gli zeri della derivata prima di g(x), ovvero i punti in cui si annulla f(x). Dal grafico si nota che i punti a tangente orizzontale di g(x) sono in x =, in x = e in x =. Per determinare quale di

5 questi un minimo, occorre studiare la derivata seconda di g(x), ovvero f (x), ricordando che in un punto di massimo relativo la derivata seconda della funzione negativa. Si osserva dal grafico di f(x) che l unico punto, tra quelli a tangente orizzontale per g(x), in cui f (x) < il punto di ascissa x =, per cui la funzione g(x) ha un massimo relativo per x =. Per lo studio della concavit bisogna studiare il segno della derivata seconda, ovvero di f (x). Ricordando che una funzione crescente negli intervalli in cui la sua derivata prima positiva, basta osservare il grafico di f(x). La funzione f(x) crescente per 3 x e per x. Per cui in tali intervalli la funzione g(x) volge la concavit verso l alto.... Punto 3 Per determinare un espressione analitica di g(x), ricordiamo, dal teorema fondamentale del calcolo integrale 5 da cui e, dai dati iniziali, g(3) g(x) = g(x) = g(3) x x f(x)dx f(x)dx g(x) = 5 x f(x)dx Una volta determinata l espressione di g(x), possiamo calcolarne il valore in x = g() = 5 f(x)dx L integrale che appare a secondo membro l area compresa tra il grafico della funzione e l asse x nell intervallo [, 3]. Dai dati del problema sappiamo che l area sottesa al grafico nell intervallo [, ] 3 e quella nell intervallo [, 3] ; presi i valori dell area con il segno, tenendo conto che si trovano nel semipiano delle y negative, segue da cui f(x)dx = 4

6 6 g() = 5 f(x)dx = 5 ( 4) = = Per calcolare il limite richiesto, osserviamo che la funzione g(x) continua (perch derivabile), per cui esiste lim x g(x) e si ha lim x g(x) = g(). Il limite chiesto dal problema, quindi, esiste, e, ricordando che g() =, si ha + g(x) lim = = x x una forma indeterminata, che possiamo risolvere applicando il teorema de l Hopital (ricordando che la derivata di g(x) f(x): + g(x) lim x x g (x) = lim x f(x) = lim x = il risultato segue dal grafico, dal quale si pu osservare che f() =... Punto 4 Data la funzione h(x) = 3 f(x + ), calcoliamo l integrale richiesto h(x)dx Si integra per sostituzione, ponendo t = x +, da cui x = t dx = dt inoltre, per gli estremi di integrazione, si ha e x = t = ( ) + = 4 + = 3 x = t = () + = + = 3 Per cui si pu scrivere, tenendo conto delle sostituzioni effettuate, h(x)dx = 3 f(x + )dx = 3 f(t) 3 dt = 3 f(t)dt 3

7 Considerando i dati forniti dal problema sulle aree sottese ai vari tratti del grafico, tenendo conto del segno meno per quelle che si trovano nel semipiano delle y negative, si ha 3 3 f(t)dt = 3 3 [ ] = 3 ( 3) = 9 Per cui l integrale richiesto h(x)dx = 9 - QUESITI Quesito Possiamo osservare subito che f(x) = 3 x3 + 6x + c Dalla condizione di tangenza, cerchiamo un valore di x negativo per cui si abbia f (x) =. Pertanto x + 6 = x 8 = x = ± e quindi il valore cercato x =. Poich la retta passa per il punto P (, 9) deduciamo che f( ) = 9 e quindi 7 La funzione dunque 9 = c c = 47 3 f(x) = 3 x3 + 6x Quesito Possiamo usare la formula del calcolo del volume di un solido di rotazione. La funzione ce determina il profilo del tronco di cono la retta di equazione f(x) = r R h x + R dove il coefficiente angolare e negativo. Abbiamo allora V = π h π h ( r R [f(x)] dx = π h [ ( 3 h r R r R h x + R ) x + R dx = ) 3 ] h =

8 8 h [ π r 3 R 3] h = π 3(r R) 3(r R) (r R)(r + rr + R ) da cui V = πh 3 (r + rr + R )... Quesito 3 Per calcolare la probabilit che lanciando sei volte una moneta si abbiano al pi due teste, possiamo usare la variabile binomiale, che dice che la probabilit di avere x successi (nel nostro caso testa) su n prove P (x) = n! x!(n x)! px ( p) n x dove p la probabilit di successo (nel nostro caso p = ). Detto A l evento avere al pi due teste si ha P (A) = P (x = ) + P (x = ) + P (x = ) = = ( ) 6 + ( ) ( ) 6 5 = = 64 = 3 Detto ora B l evento avere almeno due teste, la sua probabilit coincide con quella che non ci siano tutte croci o cinque croci ed una testa, per cui ( P (B) = (P (x = ) + P (x = )) = ) = = Quesito 4 Sia y = ln x. Calcoliamo la derivata prima x y = E la derivata seconda /x x ln x x y = /x x x ( ln x) x 4 = ln x x = x x + x ln x x 4 = 3x + x ln x x( 3 + ln x) = = ln x 3 x 4 x 4 x 3 Sostituendo nelle varie equazioni proposte, possiamo verificare che quella giusta la quarta, in quanto

9 9 x ln x 3 x 3 + x ln x x + x = ln x 3 + ln x + ln x 3 + ln x + = = ln x x x x x x = y... Quesito 5 La retta cercata deve avere direzione data dal vettore v = (,, ), i coefficienti direttori del piano (i coefficienti, rispettivamente, delle tre variabili) e che rappresentano la direzione normale al piano stesso. La retta passa er l origine O(,,, ) e quindi possiamo usare la formula Per cui x x a = y y b = z z c e quindi x = y = z x = y = z prendendo le relazioni a due a due, otteniamo la possibile espressione cartesiana { per la retta cercata nella forma seguente x y = y + z =... Quesito 6 Calcoliamo la derivata prima della funzione f (x) = (x ) + (x ) + (x 3) + (x 4) + (x 5) = (5x 5) Si ha f (x) (5x 5) x 3 pertanto x = 3 l unico punto stazionario, e poich la funzione decresce per x < 3 e cresce per x > 3 esso risulta minimo. D altra parte, essendo la funzione definita su tutto R ed avendosi pure lim x ± f(x) = +, tale punto di minimo assoluto e si ha f(3) =... Quesito 7

10 Consideriamo un poligono di n lati inscritto nella circonferenza. Indichiamo con r il raggio della circonferenza, e con α = π l angolo al n centro dei triangoli isosceli congruenti di base il lato del poligono in cui possiamo suddividere il poligono stesso. Detto a l altezza (apotema) di tali triangoli e A I la loro area, si ha A I = la dove l il lato del poligono. Abbiamo, dalla trigonometria e quindi l = r sin α = r sin π n a = r cos α = r cos π n A I = la = r sin π n r cos π n = r sin π n avendo usato la formula di duplicazione del seno. Pertanto l ara complessiva risulta A(n) = nr sin π n Il limite richiesto permette allora di calcolare l area complessiva di un poligono di infiniti lati che quindi tende a coincidere con la circonferenza: e infatti si ha lim A(n) = n + lim nr n + sin π n = r π lim n + avendo usato il limite notevole lim t + sin(/t) /t = n π sin π n = πr

11 ... Quesito 8 Affinch il punto soddisfi la condizione data, esso non deve andare a cadere nei settori circolari di raggio cm aventi centro nei vertici del triangolo, come in figura. L area complessiva di questi tre settori circolari pari a meta area del cerchio di raggio, in quanto la somma dei tre angoli interni del triangolo 8 gradi. Pertanto l area da escludere vale C = πr / = π cm. Per quanto riguarda l area del triangolo, abbiamo che la sua altezza vale h = 6 (5/) = = e quindi l area risulta 9 cm A = 5 h = Pertanto la probabilit cercata pari a cm P = A C A = C A = 8π Quesito 9 Affinch sia applicabile il Teorema di Lagrange, la funzione deve essere continua in [, ] e derivabile in (, ). La continuit evidente in quanto lim x x kx + k = = lim x x 3, occorre quindi verificare la derivabilit nell intervallo aperto. Il punto

12 critico x =, perch altrove la funzione certamente derivabile. Dobbiamo quindi imporre che il rapporto incrementale per x da destra e da sinistra abbia lo stesso limite finito. da cui f(x + h) f(x ) lim h + h = lim h f(x + h) f(x ) h ( + h) k( + h) + k + k k lim h + h = lim h + + h + h kh h Per il limite sinistro, si ha = lim h + h + k = k ( + h) 3 lim h h = lim h + 3h + 3h + h 3 h = 3 + 3h + h = 3 Affinch ci sia derivabilit i due limiti devono essere uguali, per cui k = 3 k = Bisogna ora determinare il punto per il quale verificata la tesi del teorema. Si ha che f(b) f(a) = 5 b a Per cui bisogna trovare c tale che f (c) = 5 ; calcolando la derivata si ha f (x) = { 3x x x k < x Nel primo caso dobbiamo trovare c tale che 3c = 5 c = 5 ; nel 6 secondo deve essere c + = 5 c = 3, che non accettabile in quanto 4 si sotto condizione < x.... Quesito

13 3 Notiamo che la funzione passa per i punti M(, ), C(4, ). L area del rettangolo vale R = AB AD = 3 = 6. D altra parte, l area posta sotto la funzione vale 4 [ ] 4 A = x dx = 3 x3/ = 3 [8 ] = 4 3 mentre l area rimanente la differenza tra le due e quindi A = R A = = 4 3 Il rapporto tra le due aree allora I = A = 4 A = 7