Matematica, 12 CFU, Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale

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1 Matematica, CFU, Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale Luglio 00- COMPITO - Totale punti 40, punteggio minimo 4 Nome Cognome. (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim n sin ( n n ) 5n + n + 8, (b) lim x (3 + e x sin ( x )). (a) (b). (5 punti) Calcolare il seguente integrale definito: tan x+(tan x) 3 9 (tan x) dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione: f(x) = e x+ x+. 4. (5 punti) Determinare gli insiemi di crescenza e decrescenza ed gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x) = x log x (log x ). 5. (5 punti) Risolvere l equazione differenziale y = y tan x + y sin x.

2 6. (3 punti) Sia X una variabile aleatoria con valore atteso e varianza. Calcolare il valori attesi e le varianze delle variabili aleatorie Y := 3X- e Z := - 6X. 7. (5 punti) I clienti di un supermercato provengono per il 5% dalla zona A della cittá, per il 45% da un altra zona B, e per il rimanente 30 % dalla restante zona C. Da statistiche fatte risulta che solo il 0 % dei clienti provenienti da A raggiunge il supermercato con i mezzi pubblici, mentre questa percentuale sale al 65% per quelli provenienti da C e al 90% per quelli provenienti da B. a) Qual é la percentuale totale di clienti che arriva con i mezzi pubblici? b) Preso un cliente a caso arrivato con un mezzo pubblico, qual la probabilitá che provenga dalla zona A? 8. (8 punti) Teorema di Lagrange e caratterizzazione delle primitive

3 Matematica, CFU, Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale Luglio 00- COMPITO - Totale punti 40, punteggio minimo 4 Nome Cognome. (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim n n tan( n ) n + 3n +, (b) lim 6 3 x (e x cos ( 5 x ) ). (a) (b). (5 punti) Calcolare il seguente integrale indefinito: (+3 log x) x (log x) dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione: f(x) = e x+ x+. 4. (5 punti) Determinare gli insiemi di crescenza e decrescenza ed gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x) = (x log x)(log x ). 5. (5 punti) Risolvere l equazione differenziale y = y cos x + e sin x log x.

4 6. (3 punti) Sia X una variabile aleatoria con valore atteso e varianza. Calcolare il valori attesi e le varianze delle variabili aleatorie Y := X+ 3 e Z := 3-4X. 7. (5 punti) I clienti di un supermercato provengono per il 30% dalla zona A della cittá, per il 50% da un altra zona B, e per il rimanente 30 % dalla restante zona C. Da statistiche fatte risulta che solo il 50 % dei clienti provenienti da A raggiunge il supermercato con i mezzi pubblici, mentre questa percentuale sale al 80% per quelli provenienti da C e al 90% per quelli provenienti da B. a) Qual é la percentuale totale di clienti che arriva con i mezzi pubblici? b) Preso un cliente a caso arrivato con un mezzo pubblico, qual la probabilitá che provenga dalla zona A? 8. (8 punti) Proprietá della funzione integrale e Teorema Fondamentale del Calcolo integrale

5 Matematica, CFU, Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale Soluzioni dei compiti del Luglio 00 COMPITI (a) = e (b) = 3. tan x = t, x = arctan x, dx = dt +t si ottiene: t + t 3 ( 9 t )( + t ) dt = t dt = 9 t t dt == (9 t ) (9 t ) + C 3. f é definita x si ha lim x ( ) + f(x) = + lim f(x) = + x ( ) x = asintoto verticale. Inoltre lim f(x) = e e lim f(x) x 0 + x + x = e, la funzione ha asintoti orizzontali a + e a. 4. f é definita per x > 0 e x e. Calcoliamo la derivata: lim f(x) = 0 x 0 + lim f(x) = lim f(x) = + x e + x e lim f(x) = +. x + f (x) = (log x) log x) (log x ) 3 f (x) < 0 ( f decrescente) in 0 < x < e e in e < x < e + f > 0 (f crescente) in e < x < e e e + < x. Inoltre x = e minimo assoluto e x = e + minimo relativo La funzione non ha valore massimo. 5. Equazione di Bernoulli, pongo z = y, e quindi l equazione diventa: z = (tan x)z sin x da cui si ottiene: z(x) = e log(cos x) ( e log(cos x) sin xdx + C) quindi da cui si ricava y = C 3 6. Si deve applicare la formula: z(x) = cos x ( 3 (sin x) 3 C + C) = cos x cos x. (sin x) 3 (sin x) 3 3 cos x E[αX + βy ] = αe[x] + βe[y ], V [αx + βy ] = α V [X] + β V [Y ] quindi E[3X ] = 3E[X] E[] = 6 = 5, V [3X ] = 3 V [X] + V [] = = 9 E[ 6X] = 0, V [ 6X] = 36

6 7. Evento A, B.C venire dalla zona A, B.C. S prendere l autobus:. (a) si ottiene dalla legge della probabilitá composta: (b) Dalla formula di Bayes P (A) = 0, 5, P (B) = 0, 45, P (C) = 0, 3 P (S/A) = 0,, P (S/B) = 0, 9, P (s/c) = 0, 65 P (S) = P (S/A)P (A) + P (S/B)P (B) + P (S/C)P (C) P (A/S) =. Facendo i conti si ottiene (a) 0, 65 e (b) 0, 04. P (S/A)P (A) P (S/A)P (A) + P (S/B)P (B) + P (S/C)P (C) COMPITI (a) = 3 e (b) =. log x = t, dx t = dt si ottiene: + 3t dt = t dt 3 t t t = arcsin t 3( t ) + C 3. f é definita x si ha x = asintoto verticale a sinistra. lim f(x) = + x ( ) + lim f(x) = 0 x ( ) Inoltre lim f(x) = e e lim f(x) x 0 + x + x = e, la funzione ha asintoti orizzontali a + e a 4. f é definita per x > 0. Calcoliamo la derivata: lim f(x) = 0 x 0 + lim x + f(x) = +. f (x) = (log x) log x)(log x ) f (x) < 0 ( f decrescente) in 0 < x < e e in e < x < e + f > 0 (f crescente) in e < x < e e e + < x. x = e minimo relativo e x = e massimo relativo. 5. Equazione di primo grado lineare: y(x) = e sin x ( e sin x log xe sin x dx + C) poiché segue log dx = x log x x + C y(x) = e sin x (x log x x + C) = Ce sin x + e sin x (x log x x). 6. Procedimento analogo al compito E[X + 3] = 7, V [X + 3] = 4 E[3 4X] = 5, V [3 4X] = 6 7. Procedimento analogo al compito e (a) 0,76 (b) 0,9.