Soluzione Esercizi Trasporto Fluidi Incomprimibili

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1 Soluzione Esercizi Trasporto Fluidi Incomprimibili a. 1. La pressione in B vale: p B = gh + p A (1) 3. La velocità del fluido vale: [ ( k v = F ln +.67ν )] F dove F ora è pari a: (11) e dall equazione di Bernoulli avremo: p B p = 2v 2 f L B da questa posso ricavare f: e posto la 3 diventa (2) f = (p B p ) 2v 2 L B (3) (p B p ) 2L B = F 2 () f = F v (5) con F dato da (p B p ) F = = m/s (6) 2L B Inserendo questa espressione all interno [ della formula di Colebrook 1 k = ln f +.67 ] Re f otteniamo: [ ( k v = A ln +.67vν )] = 0.71m/s (7) va Avendo trovato la velocità possiamo calcolare la portata che vale Q = m 3 /s 2. Calcoliamo le perdite di carico tra C e : p C = p + 2v 2 f L C (8) La velocità con cui si muove il fluido vale v = 1.2 m/s, il fattore d attrito è pari a f = 0.00 essendo Reynolds pari a Re = Sostituendo questi valori nell espressione delle perdite di carico otteniamo: p C = v 2 f L C = Pa (9) La differenza di pressione tra B e C vale: p B p C =.7 10 > 0 (10) b. F = [ (pb p ) 2L B ] 1/2 = (12) per cui v = 0.31m/s. La velocità nel ramo B-C sarà pari a: v = = 1.11 m/s (13) Nota v determino la portata Q: Q = π2 v = m 3 /s (1) La potenza della pompa è data da [ Pot = Q 2v 2 f L ] C (p B p C ) (15) con f pari a essendo Reynolds pari a La potenza da fornire alla pompa vale 16. kw. 1. Applicando Bernoulli tra i punti A e B otteniamo: p A + gh A = p B + 2v 2 f L A,B (16) ove p A = p B = p atm. Il valore di f viene calcolato iterativamente mediante la formula di Colebrook trovando che è uguale a f = Pertanto la poratat risulta essere ricavata da: Q = π2 v = m 3 /s (17) 2. Applicando la continuità al nodo N abbiamo: v A,N = v N,B + v N,C (18) Utilizzando Bernoulli tra A e B: essendo p B = , per cui risulta che il fluido scorre da B verso C. gh A = 2v 2 ANf L A,N + 2v2 NBf L N,B (19) marina.campolo@uniud.it

2 Mentre Bernoulli tra B e C: 2v 2 NC f L NC = 2v2 NB f L N,B (20) Risolvendo il sistema costituito dalle tre equazioni scritte in precedenza si ottiene: gh A v NB = 2f(L AN = 0.36m/s (21) + L NB ) c. -ALTERNATIVA 1 Applicando Bernoulli tra A e I: gh A = v 2 2f L Per f viene utilizzata la formula di Blasius: (29) f = 0.079Re 0.25 (30) Mettendo in sistema le due equazioini appenma trovate si ottiene il valore del diametro = 0.335m. I costi relativi a questa alternativa sono: v NC = 0.56m/s (22) C T = K T L = 335milioni (31) -ALTERNATIVA 2 In tal caso verrà applicato Bernoulli tra S e I: v AN = 0.892m/s (23) ω s = v 2 2f L (32) Le portate risultano: Q NB = m 3 /s (2) Q NC = m 3 /s (25) 3. Applicando Bernoulli tra N e B e conoscendo la portata ricaviamo la pressione: p N = p B + v 2 NB(2f L N,B 0.5) = Pa (26) a Bernoulli tra N e C e dalla formula di Colebrook, si ricava mediante iterazione il valore della velocità v NC = 1.06m/s. Utilizzando l espressione della continuità applicata al nodo A si ottiene la velocità v AN = 1.7m/s. Per ricavare la potenza necessaria determiniamo il lavoro: ω s = (p N p A )/ gh A + con f ottenuto con la stesa modalità di prima. Perciò la potenza sarà uguale a: Per i costi abbiamo: P = 6.78,75 (33) C T = K T L + P( K P + K E NH 10 3 ) (3) Minimizzando rispetto a tale espressione si trova il diametro ottimo: ott = 0.337m. (35) che corrispoonde ad un diametro commerciale di comm = 0.35m. I costi totali per questa alternativa sono 102 milioni. Quindi tale alternativa risulta essre la più conveniente tra le due. d. 1. Per determinare il diametro ottimo calcoliamo: P = pq (36) p = 2fv 2 L/ (37) Infine : +2v 2 AN f L A,N = m2 /s 2 (27) P = ω s ω = 1.71kW (28) f = 0.079Re 0.25 (38) Sostituendo opportunamente si otterrà : P = (39) all equazione 7.12 del testo si deriva il costo totale rispetto al diametro ottenendo per il diametro ottimo = 0.27 m. 2

3 2. ALTERNATIVA 1: Installare una nuova tubazione che sostituisca la precedente. Il diametro del nuovo condotto viene scelto in modo da minimizzare i costi totali dell impianto. Tali costi sono attribuibili ai normali costi di esercizio e all acquisto deille tubazioni che formano la nuova linea. Tutte queste quantità possono essere ricavate in funzione del diametro dei condotti. e. P = pq = p2q (0) Mantenendo la medesima potenza si ricava dalla formula precedente il nuovo diametro che risulta essere uguale a 0. m. Cosıfacendo ci si può ricalcolare dalla 7.12 del testo il costo totale che è pari a 620 milioni di lire. ALTERNATIVA 2 Installare una nuona pompa nella linea esistente. Per calcolare la potenza necessaria per convogliare il nuovo valore di portata si segue una procedura simile al primo punto, utilizando i valori: da cui si calcola v = 2v (1) Re = 2Re (2) f = 0.079Re 0.25 (3) Si ottiene per le perdite distribuite, le uniche che variano con la portata, il nuovo valore: p L () Cosıotteniamo la prevalenza totale richiesta alla pompa p tot a cui corrisponde una potenza: P = p tot Q (5) I costi associati a questa alternativa sono dati dalla somma del costo della nuova pompa da installare (C p ) e dai costi di esercizio (C e ). Il costo totale in questo caso risulterebbe uguale a 530 milioni di lire. ALTERNATIVA 3 Costruire una seconda linea parallela. In questo caso abbiamo che si dovrà realizzare un impianto identico a quello analizzato al punto 1 e quindi con la stessa pompa e le stesse tubazioni. Otteniamo per questa alternativa un costo di 2 milioni di lire e quindi questa risulterà l alternativa più conveniente. 1. Le perdite di carico sono date da: p = 2f L v2 (6) La velocità può essere espressa in funzione della portata, nota, così come il coefficiente d attrito v = Q π 2 (7) f = Re 0.25 (8) essendo Reynolds funzione della portata Re = v µ = Q πν La potenza risulta pari a P = p ( Q Q = L πν ( Q ) 2 Q.75 = π = K.75 = = L equazione dei costi totali è la seguente (9) C TOT () = K T L + K P + K E N H 10 3 P (50) Per determinare il diametro ottimo deriviamo, i costi rispetto al diametro ed uguagliamo a zero opt = = 0 ( ) = 1.80 m (51).75 K K 1 2. Nel caso venga aggiunto il polimero l espressione del coefficiente di attrito risulta: f = 0.1 C α Re 0.5 (52) e la potenza è quindi funzione del diametro della tubazione e della concentrazione del polimero: P(, C) = 2 f L v2 Q = = K new.5 C α I costi totali in questo caso sono dati dai costi della tubazione, da quelli di installazione ed esercizio della pompa e dal costo del polimero che deve essere aggiunto al greggio (proporzionale alla massa utilizzata): C TOT (, C) = + K costi P + K Pol (3600 Q N H ) C (53) 3

4 Il minimo della funzione si determina imponendo che le derivate rispetto ad entrambe le variabili indipendenti siano nulle: da cui si ricavano C = 0 e C = 0 (5) = + K costi P = 0 (55).5 K costi K new C α 5.5 = = K costi P C + K Pol mg = 0 C α 1.5 K P mg = K costi K new α (56) Queste due equazioni costituiscono un sistema che può essere risolto per sostituzione di variabili. Facendo il rapporto tra la 55 la 56 si ottiene K F = C =.5 K Pol mg (57) da cuic = K F (58) Sostituendo nella 55 otteniamo ( opt =.5 K costi K new KF α f. ) α = 1.78 m (59) Il valore di concentrazione del polimero risulta dallac = dalla Applicando Bernoulli tra A e B avremo p atm con e + w s = p atm ( µ con K 1 w s = P w = + gh B + 2f L AB v2 (60) P π 2 v = K v (61) (62) f = Re 0.25 = v 0.25 = K 1 v 0.25 (63) ( K 1 = = = (6) (65) L equazione di Bernoulli risulta in funzione della sola velocità con K A v 1.75 K v + gh B = 0 (66) K A = 2K 1 LAB = 15.8 (67) Risolvendo per tentativi la 66 si ricava v = 0.78m/s e quindi la portata sarà Q = m 3 /s 2. Indichiamo rispettivamente con 1 e 2 i punti in cui i condotti dal serbatoio A e B raggiungono il parallelo. Le velocità nei tratti 1-A e B-1 sono uguali e valgono v A = v B = Q = m/s (68) πd2 visto che è data la portata che va da B ad A. Applicando Bernoulli tra il punto B e il punto 2 avremo: p atm + gh B = p 2 + 2f L B2 v2 B (69) Il coefficiente d attrito in questo tratto è pari a f = La pressione nel punto 2 risulta p 2 = p atm + gh B 2f L B2 v2 B = Applicando Bernoulli tra 1 e A si ha Pa (70) p 1 = p atm + 2f L v2 A (71) da cui si ricava una pressione pari a p 1 = Pa. Per il tratto di parallelocon la pompa, l equazione di Bernoulli è p 1 + P w = p 2 + 2f L v2 sup (72) Sostituendo i valori noti, si ricava con w = π2 v sup (73) la velocità v sup = 0.88 m/s, con un coefficiente d attrito pari a ( f = µ v 0.25 sup (7) La velocità nel tratto inferiore del parallelo (da 2 a 1) sarà pari a v inf = v sup + v A = = = m/s (75)

5 Note le pressioni p 1 e p 2 ai capi del parallelo e la velocità del ramo è possibile calcolare L TOT lunghezza totale corrispondente alle perdite distribuite (L = 600) e concentrate (L eq ). Risulta L TOT = p 2 p 1 da cui 2fv 2 inf = m (76) Sapendo che L eq è definito come L eq = 7500(1 α) (78) il grado di apertura α risulta pari a α = L eq = L TOT 600 = m (77) 5