ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

Transcript

1 ISTITUTO SAN GABRIELE CLASSI 4 S - 4 SA PROF. ANDREA PUGLIESE GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

2 GEOMETRIA NELLO SPAZIO Gli enti fondamentali sono punto, retta, piano, e spazio. Con le lettere maiuscole (A,B,C,...) si indicano i punti, con le lettere minuscole si indicano le rette (a,b,c,...), con le lettere greche minuscole (α,β,γ,...) si indicano i piani. Le figure solide o solidi sono figure formate da punti che non appartengono tutti allo stesso piano.

3 POLIEDRI I poligoni sono detti facce del poliedro I lati del poligono sono detti spigoli del poliedro I vertici del poligono sono detti vertici del poliedro. Una diagonale del poliedro è un segmento che unisce due vertici che non appartengono alla stessa faccia.

4 RELAZIONE DI EULERO Consideriamo ad esempio una piramide a base quadrata. Dalla figura risulta evidente che la figura ha 5 facce, 8 spigoli e 5 vertici. E infatti risulta che = 2

5 IL PRISMA Dati un poligono ed una retta r non appartenente al piano del poligono si chiama prisma indefinito l insieme delle rette parallele ad r e passanti per i punti del poligono. Le rette parallele ad r e passanti per i vertici del poligono costituiscono gli spigoli del prisma. Un prisma definito, o semplicemente prisma, è la parte di prisma indefinito compresa tra due piani paralleli che lo intersecano.

6 IL PRISMA Un prisma retto è un prisma in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. N.B. In un prisma retto le facce laterali sono rettangoli e l altezza coincide con gli spigoli laterali. Un parallelepipedo è un prisma retto le cui basi sono parallelogrammi. Le facce opposte (che non hanno vertici in comune) di un parallelepipedo sono congruenti e parallele. Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in un punto che le divide in due segmenti congruenti. Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli. Le lunghezze degli spigoli uscenti da uno stesso vertice si chiamano dimensioni. Un cubo è un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni uguali.

7 ANGOLOIDI E TRIEDRI Dato un poligono convesso ed un punto V non appartenente al suo piano si chiama angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono. Le semirette passanti per i vertici del poligono sono gli spigoli, l origine V delle semirette è il vertice, gli angoli di vertice V e lati due spigoli dell angolo de sono le facce. Un triedro è un angoloide con tre spigoli. In ogni angoloide di vertice V la somma degli angoli in V delle facce è minore di un angolo giro. In ogni angoloide l angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle rimanenti. In ogni triedro l angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre due.

8 LA PIRAMIDE La piramide è la parte di angoloide tra il vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli. Il vertice dell angoloide si chiama vertice della piramide. Il poligono di intersezione tra il piano e gli spigoli dell angoloide si chiama base della piramide. La distanza tra il vertice e la base della piramide si chiama altezza. La piramide, oltre che dalla base, è delimitata da dei triangoli detti facce laterali. Gli spigoli della base si chiamano spigoli di base mentre gli spigoli delle facce laterali si chiamano spigoli laterali.

9 LA PIRAMIDE Una piramide si dice retta se nella sua base è possibile inscrivere una circonferenza il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice sul piano contenente la base. In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano tutte per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti. Una qualunque di queste altezze si chiama apotema. Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare. La facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli tra loro congruenti.

10 POLIEDRI REGOLARI Un poliedro regolare è un poliedro in cui le facce sono poligoni regolari congruenti, gli angoloidi sono tutti congruenti e anche i diedri sono congruenti. Si chiama diedro del poliedro il diedro individuato da uno spigolo e le due facce del poliedro che contengono lo spigolo. Si chiama angoloide del poliedro l angoloide individuato da un vertice e dagli spigoli che escono da quel vertice.

11 SOLIDI DI ROTAZIONE Un solido di rotazione è un solido ottenuto dalla rotazione di una figura piana P intorno ad una retta r secondo un angolo α. Se α è un angolo giro si dice che la rotazione è completa.

12 SOLIDI DI ROTAZIONE IL CILINDRO E IL CONO Il cilindro è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Il lato attorno al quale avviene la rotazione si chiama altezza mentre gli altri due sono i raggi delle basi. Un cilindro è equilatero se l altezza e il diametro della base sono uguali. Il cono è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti. Il cateto attorno al quale avviene la rotazione si chiama altezza, l altro cateto è il raggio della base e l ipotenusa è l apotema. Un cono è equilatero se l altezza e il diametro della base sono uguali.

13 SOLIDI DI ROTAZIONE L A SFERA E LE SUE PARTI La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. Il centro del semicerchio è il centro della sfera e il raggio del semicerchio è il raggio della sfera. La calotta sferica e il segmento sferico a una base sono le parti di superficie sferica e di sfera in cui una superficie sferica e una sfera vengono divise da un piano secante. La zona sferica e il segmento sferico a due basi sono le parti di superficie sferica e di sfera comprese tra due piani paralleli secanti. Il fuso sferico e lo spicchio sferico sono le parti in cui una superficie sferica e una sfera vengono divise da due semipiani aventi come origine una retta passante per il centro della sfera.