Algebra di Boole e reti logiche. 6 ottobre 2017

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1 Algebra di Boole e reti logiche 6 ottobre 2017

2 Punto della situazione Abbiamo visto le varie rappresentazioni dei numeri in binario e in altre basi e la loro aritmetica Adesso vedremo la logica digitale usata dal calcolatore nell ottica di costruire le reti logiche basate sulle porte logiche AND, OR, NOT per Costruire l ALU, Unità Logica Aritmetica, e altri moduli combinatorici (unità di controllo, ) L ALU è usata da quasi tutti i tipi di istruzioni dell architettura che studieremo

3 Il nostro processore

4 Componenti di un processore All interno di un processore abbiamo due tipi di componenti : combinatorie (senza memoria) sequenziali (con memoria). Adesso ci occuperemo delle componenti combinatorie o blocchi logici.

5 Blocchi logici Un blocco logico (o circuito combinatorio o rete combinatoria) ha alcuni fili di input e alcuni fili di output sui quali viaggiano i segnali elettrici Segnali elettrici: alto, ovvero 1, basso ovvero 0 i 0 i i m-1 out 0 out out n-1 Ogni blocco logico quindi realizza 1 o più funzioni logiche di m variabili in {0,1} a valori in {0,1} f : {0,1} m {0,1}

6 Esempio L addizionatore a b c in s c out Realizza le due funzioni Somma(a, b, c in )= s Riporto(a, b, c in )= c out Con variabili a, b, c in in {0,1} e valori s, c out in {0,1}. Esempio: Somma(0,0,1)=1 e Riporto (0,0,1)=0

7 Operatori logici Una funzione di variabili binarie e a valore binario viene detta funzione logica o di commutazione. Ogni funzione logica può essere definita in termini di semplici operatori logici di 1 o 2 variabili: AND, OR, NOT. Esistono però degli altri operatori logici importanti: XOR, NAND, NOR.

8 Obiettivo Trovare una metodologia per progettare una rete combinatoria che realizzi una funzione data, avendo a disposizione dei dispositivi speciali di base: Porte NOT / Invertitori Porte AND Porte OR Vedremo che: è possibile realizzare QUALSIASI funzione logica utilizzando solo queste 3 porte!!!

9 Ogni funzione logica f : {0,1} m {0,1} Tavole di verità ha un dominio finito (un numero finito di valori per le variabili), quindi possiamo definirla semplicemente elencando i valori della funzione per ogni valore delle variabili, in una tabella detta tavola di verità. Esempio: f : {0,1} 2 {0,1} x y f(x,y)

10 Esempio Funzione di 3 variabili Somma(a, b, c in )= s a b c in s

11 Algebra di Boole Il funzionamento dei circuiti elettronici può essere modellato tramite l Algebra di Boole, algebra in cui Le variabili possono assumere solo i valori Vero, ovvero 1, e Falso ovvero 0 Gli operatori ammessi sono AND, OR, NOT

12 AND ovvero il prodotto AND(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se entrambe le variabili sono poste a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 AND(x,y) corrisponde al prodotto x y. AND(F,F) = F AND(F,V) = F AND(V,F) = F AND(V,V) = V 0 0 = = = = 1 x y x y Tavola di verità

13 OR ovvero la somma OR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se almeno una variabile è posta a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 OR(x,y) corrisponde alla somma x + y, in cui 1+1 = 1. OR(F,F) = F OR(F,V) = V OR(V,F) = V OR(V,V) = V = = = = 1 x y x + y Tavola di verità

14 XOR o OR esclusivo XOR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se una variabile è posta a Vero, ma non entrambe, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 XOR(x,y) corrisponde a x y + x y = x y XOR(F,F) = F XOR(F,V) = V XOR(V,F) = V XOR(V,V) = F 0 0 = = = = 0 x y x y

15 NOT ovvero la negazione NOT(x) con x variabile che può assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se la variabile è posta a Falso; Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 NOT(x) corrisponde alla negazione. NOT(V) = F NOT(F) = V 0 = 1 1 = 0 x x

16 Espressioni booleane Una variabile booleana è una variabile che può assumere solo i valori 1 e 0, ovvero Vero o Falso. Gli operatori di somma, prodotto, negazione sono detti operatori booleani. Un espressione booleana è una combinazione di variabili booleane e operatori booleani. Un espressione booleana denota una funzione logica. Esempio: x y + x y è un espressione booleana che denota la funzione XOR(x,y).

17 Espressione SOP Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale SOP (Sum Of Products) quando è l OR/somma di AND/prodotto di letterali x 1x2x3 x1 x3 x1x3 Mintermine = prodotto di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale SOP è in forma canonica SOP se i suoi termini sono tutti mintermini x 1x2x3 x1x2 x3 x1x2 x3 Scambiando Somma con Prodotto si definiscono le espressioni POS

18 Espressione POS Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale POS (Product Of Sums ) quando è il prodotto (AND) di somme (OR) di letterali ( x2 x3)( x1 x3) Maxtermine = somma di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale POS è in forma canonica POS se i suoi termini sono tutti maxtermini ( x1 x2 x3)( x1 x2 x3)

19 Porte logiche Sono semplici circuiti elettronici di base con cui sono costituiti i componenti del processore. Le principali sono: Porte NOT / Invertitori Porte AND Porte OR Porte XOR Esse realizzano le funzioni di NOT, AND, OR, XOR, rispettivamente.

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22 Circuito per l AND

23 Circuito per l OR

24 Circuito per lo XOR

25 Rete logica Una rete logica è un interconnessione di porte logiche AND, OR, NOT, in cui il valore in uscita dipende solo dai valori in ingresso

26 Valori in uscita x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1

27 Analisi di una rete: dalla rete alla funzione Ogni rete logica calcola una funzione booleana dei suoi ingressi f(x 1,x 2,x 3 ) = x 3 ( x 1 x 2 ) + 1 (x 1 +x 3 )

28 Risultato principale Corrispondenza fra funzioni logiche e reti logiche: Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza e viceversa Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND, OR, NOT. Analisi: data una rete determinare la funzione calcolata Sintesi: data una funzione logica costruire una rete che la calcola

29 Analisi e Sintesi di reti Analisi è abbastanza semplice: Calcola per ogni porta logica di cui sono specificati tutti gli input l espressione booleana associata all output Fino ad ottenere l espressione associata al terminale d uscita della rete Vediamo ora la sintesi di una funzione logica f: 1. Da f alla tavola di verità 2. Dalla tavola di verità all espressione «SOP» 3. Dall espressione «SOP» ad una rete a due stadi: il primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

30 Tavole di verità e mintermini Caso semplice: per ogni mintermine, la tavola di verità ha un solo valore 1. Esempio: se f = x 3 x 2 x 1 allora avrà un solo 1 in corrispondenza di x 3 =0, x 2 =1, x 1 =1. Ricorda: Il prodotto è 1 sse ogni fattore è 1 Viceversa, se la tavola di verità di f ha un solo valore 1 necessariamente f è un mintermine. x 3 x 2 x 1 f f = x 3 x 2 x 1

31 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 0 Se invece la tavola di verità ha più occorrenze di 1: x 3 x 2 x 1 f x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 f ha valore 1 se: x 3 =0, x 2 =1, x 1 =1 oppure x 3 =1, x 2 =0, x 1 =1 Espressione canonica SOP f = x3 x2 x1 + x3 x2 x1 1. Per ogni 1 nella tavola di verità trovare il mintermine corrispondente 2. Sommare i mintermini ottenuti

32 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 1 Supponiamo di avere una funzione f data tramite la sua tavola di verità Espressione canonica SOP

33 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 2 Dalla tavola di verità all espressione SOP Espressione canonica SOP

34 Dall espressione canonica SOP alla rete a due livelli SOP /AND-to-OR: nel primo livello varie porte AND, nel secondo livello solo una porta OR Nota Nota: le porte sono state estese in modo da poter avere più di 2 ingressi

35 Nota Ogni funzione logica può essere denotata da un espressione booleana che usa soltanto gli operatori prodotto, somma, negazione (AND, OR, NOT). Ogni rete logica può essere realizzata soltanto con porte AND, OR, NOT.

36 Riferimenti Appendice B di [PH] «The Basic of Logic Design»: Gates, Truth tables, and Logic Equations: B.1, B.2 Nota: nella III edizione di [PH] è l Appendice C Oppure [P] cap. 3, parr. 4.1, 4.2