1 Note ed esercizi risolti a ricevimento

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1 1 Note ed esercizi risolti a ricevimento Nota 1. Il polinomio di Taylor della funzione f x, y) due variabili), del secondo ordine, nel punto x 0, y 0 ), è P 2 x, y) = f x 0, y 0 ) + f x x 0, y 0 ) x x 0 ) + f y x 0, y 0 ) y y 0 ) f xx x 0, y 0 ) x x 0 ) f yy x 0, y 0 ) y y 0 ) 2 + f xy x 0, y 0 ) x x 0 ) y y 0 ). Nota 2. Ricordiamo che una curva si dice cartesiana se il suo sostegno è grafico di una funzione. Supponiamo di partire da una funzione y = f x). Il su grafico è il sostegno di una curva, che si può parametrizzare con γ t) = t, f t)). Se la funzione è della forma x = g y), la curva si può parametrizzare con γ t) = g t), t). Viceversa, una curva parametrica della forma γ t) = t, f t)) ha come sostegno il grafico della funzione y = f x). Analogamente per γ t) = g t), t). Nota. Ricordiamo che la retta tangente ad una curva γ t) nel punto γ t 0 ) ha equazione r t) = γ t 0 ) + γ t 0 ) t t 0 ). Se la curva è cartesiana, della forma γ t) = t, f t)), la retta tangente nel punto x 0, f x 0 )) si trova anche con gli strumenti noti dell Analisi I: in forma cartesiana è y = f x 0 ) + f x 0 ) x x 0 ). Esercizio teorico. Riconoscere che i due procedimenti portano alla stessa retta. Exercise 1 Dire quali dei seguenti insiemi del piano sono aperti: A = { x, y) : x 2 + y 2 < 1 }, B = { x, y) : x 2 + y 2 = 1 } C = { x, y) : x 2 y 2 }, D = { x, y) : x + y 2 > 1 }. Dire qual è la frontiera per ciascuno degli insiemi precedenti. Dire quali sono i punti di accumulazione di tali insiemi. Soluzione. A è aperto, la sua frontiera A è B, l insieme dei punti di accumulazione è {x, y) : x 2 + y 2 1}. B è chiuso, B = B, l insieme dei punti di accumulazione è B stesso. 1

2 C è chiuso, C = {x, y) : x 2 y = 2}, l insieme dei punti di accumulazione è C stesso. D è aperto, D = {x, y) : x + y 2 = 1}, l insieme dei punti di accumulazione è {x, y) : x + y 2 1}. Exercise 2 Immaginare il grafico della funzione f x, y) = 1+x 4 +y 2 esaminando la funzione ristretta alle rette passanti per l origine. Nota. Si devono sostituire le rette y = αx, esaminando quindi le funzioni di una variabile g α x) = 1 + x 4 + α 2 x 2, al variare del parametro α. Inoltre si deve sostituire la retta x = 0, studiando la funzione g x, y) = 1 + y 2. Si osservi che le curve g α somigliano tutte, salvo con una lieve differenza nei casi α = 0, α =. Exercise Trovare il dominio della funzione fx, y) = log arctan xy, raffigurarlo e riconoscere che sul dominio è continua. Capire se c è il limite anche infinito) agli estremi finiti di tale dominio. Soluzione. Dev essere arctan xy > 0, ovvero xy > 0, ovvero x e y concordi e non nulli: primo e terzo quadrante, assi esclusi. Gli estremi finiti del dominio sono tutti i punti degli assi cartesiani. Sia x 0, y 0 ) un tale punto o x 0 o y 0 è nullo, o entrambi). Quando x, y) x 0, y 0 ), la funzione xy tende a zero essendo continua), quindi la funzione composta arctan xy 0, quindi log arctan xy. Exercise 4 Studiare lim x,y) 0,0) sin xy x,y). Soluzione. L intuizione dice che, essendo sin t t per t 0, sin xy è un infinitesimo di ordine 2, superiore a x 2 + y 2 che è di ordine uno. Formalizziamo col criterio del confronto: 0 da cui segue lim x,y) 0,0) sin xy x, y) sin xy x,y) = 0. xy x2 + y 2 x Exercise 5 più difficile) Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità in tutto il dominio per la funzione { x 2 y 2 per x, y) 0, 0) f x, y) = x 2 +y 2 0 per x, y) = 0, 0). 2

3 Soluzione. Fuori da 0, 0) la funzione è continua, derivabile, differenziabile, per ovvi motivi. L intuizione basata sugli infinitesimi porta a credere che lim x,y) 0,0) f x, y) = 0, in quanto il numeratore è un infinitesimo di ordine 4 mentre il denominatore è di ordine 2. Verifichiamo rigorosamente questo fatto col teorema del x confronto. Siccome 2 1 in quanto x 2 x 2 + y 2 ), vale 0 x2 y 2 y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 e vale lim x,y) 0,0) y 2 = 0, in quanto y 2 è una funzione continua. Quindi lim x,y) 0,0) f x, y) = 0. Questo dimostra che f è continua in 0, 0). Esaminiamo la derivabilità in 0, 0). Significa studiare se esistono le derivate parziali f x ed f y in 0, 0). Non possiamo applicari i teoremi generali composizione ecc. di funzioni derivabili). Pertanto usiamo la definizione: vediamo se esiste il limite del rapporto incrementale in 0, 0) lungo la direzione x: f ε, 0) f 0, 0) lim. ε 0 ε Siccome tale rapporto incrementale vale 0, il limite esiste ed è nullo. Quindi esiste f x 0, 0) e vale 0. Per simmetria, esiste f y 0, 0) e vale 0. Esaminiamo la differenziabilità in 0, 0). Il teorema del differenziale totale dice che basta verificare che f sia derivabile in un intorno di 0, 0) fatto già verificato) e che le derivate parziali siano continue in 0, 0). Verifichiamo quest ultima condizione. Per x, y) 0, 0) vale f x = 2xy2 x 2 + y 2 ) x 2 y 2 2x x 2 + y 2 ) 2 = 2xy4 x 2 + y 2 ) 2 e vale lim x,y) 0,0) 2xy 4 x 2 +y 2 ) 2 = 0, di nuovo per il teorema del confronto vale 0 2 x y4 x 2 +y 2 ) 2 2 x ). Quindi f x è continua in 0, 0). per simmetria, anche f y è continua in 0, 0). Quindi f è differenziabile in 0, 0). Exercise 6 Trovare gli estremi relativi della funzione fx, y) = x xy 2 + x 2 + y 2. Nota: la risoluzione data nell elenco di esercizi non c entra, si riferisce evidentemente ad un altro esercizio. Soluzione. f x x, y) = x 2 y 2 + 2x = 0 f y x, y) = 2xy + 2y = 0.

4 La seconda equazione si risolve se y = 0 oppure se x = 1. Sostituendo nella prima equazione troviamo le soluzioni 0, 0), 1, ) 5, 1, ) 5. Exercise 7 serve un trucchetto) Trovare gli estremi relativi della funzione fx, y) = x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ). Soluzione. Posto t = x 2 + y 2, si studia l equazione g t) = t t, che ha come massimo relativo t = 1, e come minimo relativo t = 1. Ma essendo t = x 2 + y 2, dobbiamo considerare g solo per t 0. Quindi t = 1 non è nel dominio di interesse. Invece t = 0 è massimo relativo. Allora 0, 0) corrispondente a t = 0) è massimo relativo per f, mentre i punti x, y) tali che x 2 + y 2 = 1 sono di minimo relativo. 2 Curve. Estremi vincolati Exercise Per la funzione f x, y) = x 2 y 2, si consideri il luogo dei punti f x, y) = 1. Scrivere il luogo di punti come insieme di più curve parametriche regolari. Soluzione. Trattandosi del luogo di punti x = ± y 2 + 1, quindi dei grafici delle funzioni x = y e x = y 2 + 1, basta usare le due curve cartesiane ) γ 1 t) = t2 + 1, t, γ 2 t) = ) t 2 + 1, t. Exercise 9 Nei suoi punti di intersezione con la retta x = y, scrivere l equazione della retta tangente. ) Soluzione. I punti d intersezione sono ± 1, si ottiene sostituendo x = y nell equazione x 2 y 2 = 1). Scriviamo l equazione della retta tangente nel punto 1, ), che nella parametrizzazione γ 1 t) corrisponde a t = 1. Seguiamo entrambi gli approcci descritti all inizio di queste note: ) ) 1 1 r t) = γ 1 + γ 1 t 1 ) ) ) 1 1 =, +, 1 t 1 ) 4

5 essendo γ 1 t t) = t )., 1 Usando invece la funzione x = y troviamo la retta 2 +1 y = + 1 x 1 ). Riconoscere che sono la stessa retta. Exercise 10 Determinare la direzione di massima crescita di f x, y) = x 2 y 2 nel punto 1, 1). Com è questa direzione rispetto al luogo degli zeri di f? Soluzione. E f 1, 1), o più precisamente il versore ottenuto normalizzando tale vettore. E ortogonale alla curva di livello f = 0. 5