Argomenti delle singole lezioni del corso di Analisi Matematica 1 (Laurea triennale di Matematica, A.A )

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1 Argomenti delle singole lezioni del corso di Analisi Matematica 1 (Laurea triennale di Matematica, A.A ) NB. Le indicazioni bibliografiche si riferiscono al libro di testo. Lezione nr. 1, 1/10/2018. Numeri naturali come concetto primitivo. Numeri interi. Numeri razionali (paragrafo 2.1). Non esiste un numero razionale positivo x tale che x 2 = 2 (paragrafo 2.2; il concetto di dimostrazione per assurdo ). Assiomi algebrici per i numeri razionali (paragrafo 2.3). I numeri reali: l assioma di continuità in termini di successioni di intervalli dimezzati (paragrafo 2.5). Cenno alla costruzione di R a partire delle semirette razionali (aperte). Lezione nr. 2, 3/10/2018. Cenno alla costruzione di R a partire delle semirette razionali (paragrafo 2.7). Gli assiomi di Peano per i numeri naturali e il collegamento con il principio di induzione (dimostrazione per induzione); sottoinsieme induttivo di R; N introdotto come il sottoinsieme induttivo più piccolo di R (paragrafo 2.6). Maggioranti di un insiemi E R; insieme limitato superiormente; definizione di max E e di sup E (paragrafo 2.8). Lezione nr. 3, 4/10/2018. Unicità di max E e di sup E; esistenza di sup E se E e se E è limitato superiormente (paragrafo 2.8). Proprietà di Archimede (paragrafo 2.5). Definizione delle potenze (innanzitutto di 2 = 2 1/2. Concetti di base della teoria degli insiemi (legge di De Morgan ecc; paragrafi 1.1, 1.2, 1.3 del Capitolo 1). Tutoraggio, 5/10/2018. Esercizi su: l assioma di continuità e la proprietà dell estremo superiore; logica elementare (paragrafi 1.4 e 1.6); risoluzione di disuguaglianze (paragrafo 1.5); principio di induzione (paragrafo 1.7: disuguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton, n!, i coefficienti binomiali). Lezione nr. 4, 8/10/2018. I numeri complessi: Definizione dell insieme C dei numeri complessi e delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Parte reale e parte immaginaria, piano complesso, interpretazione geometrica dell addizione, sottrazione e divisione, complesso coniugato, modulo, argomento. Proprietà elementari. Rappresentazione trigonometrica e esponenziale. Interpretazione geometrica della moltiplicazione. Lezione nr. 5, 10/10/2018. I numeri complessi: Le soluzioni complesse di z n = w (n N, w C). Formula per la soluzioni complesse di az 2 + bz + c = 0 (a, b, c C). Primi esercizi sui numeri complessi. 1

2 2 Lezione nr. 6, 11/10/2018. Introduzione alla topologia di R (Cap 3): Distanza tra due elementi di un insieme, spazio metrico, distanza euclidea in R e in C. Intorni di un punto. Punti interni/esterni ad un insieme E R, punti di frontiera di E. Esempi (in particolare E = Q [0, 1]). Insiemi aperti e chiusi, l unione di aperti è un insieme aperto, l intersezione di un numero finito di aperti è un insieme aperto (con un contro-esempio nel caso dell intersezione di infiniti aperti), i teoremi analoghi per gli insiemi chiusi. Tutoraggio, 12/10/2018. Esercizi sui numeri complessi. Lezione nr. 7, 15/10/2018. I numeri complessi: Ogni intervallo aperto e non vuoto contiene infiniti punti razionali e irrazionali. Punti di accumulazione. Caratterizzazione dei chiusi. Bolzano-Weierstrass. La frontiera di un sottoinsieme proprio di R (cioè E R) e non vuoto, non è vuota. Tutoraggio, 17/10/2018. Esercizi vari. Lezione nr. 8, 18/10/2018. I numeri complessi: Funzioni, (co-)dominio, dominio naturale. Funzioni suriettive, iniettive e biiettive. La funzione inversa di una funzione iniettiva. Funzioni composte. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni (strettamente) monotone, funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche). La funzione caratteristica di un insieme, la funzione segno, Lezione nr. 9, 19/10/2018. La restrizione di una funzione. Definizione di arcsin x, arccos x e arctan x. La relazione arccos x = 1 2 π arcsin x per x [ 1, 1]. Definizione sup D f, max D f, inf D f, min D f. Definizione di sup D f = +, inf D f =. Successioni. Sottosuccessioni. Insiemi numerabili. Teoremi fondamentali sugli insiemi numerabili. Q è numerabile, ma R non lo è. Definizione dei numeri algebrici e trascendenti. Numerabilità dell insieme dei numeri algebrici. Tutoraggio, 22/10/2018. Esercizi vari. Lezione nr. 10, 23/10/2018. Definizione di lim x x0 f(x) = L con x 0, L R. Proprietà fondamentali: unicità del limite, l algebra dei limiti, permanenza del segno, teorema del confronto. Primi esempi di limiti.

3 3 Lezione nr. 11, 24/10/2018. Limiti notevoli: 1 + x 1 1 x 2, sin x x 1, 1 cos x 1 per x 0. x 2 2 Definizione del numero e (per ora senza dimostrazione). Limite destro e sinistro. Limiti infiniti e limiti all infinito. Esempi. Limiti per eccesso (lim f(x) = L + ) e per difetto (lim f(x) = L ). Lezione nr. 12, 31/10/2018. L algebra dei limiti estesa. Il concetto di forma indeterminata. Ulteriori limiti notevoli (il confronto tra logaritmi, potenze e funzioni esponenziali). Limiti di funzioni monotone. Tutoraggio, 5/11/2018. Esercizi sui limiti. Lezione nr. 13, 7/11/2018. Esercizi sui limiti. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Successioni convergenti e divergenti. Limite di successioni monotone. La definizione di e. Lezione nr. 14, 8/11/2018. Esercizi (limiti, asintoti). Limiti con n!. Lezione nr. 15, 9/11/2018. Esercizi sui limiti. Formula di Stirling. Un primo esempio di convergenza di una successione definite tramite una relazione di ricorrenza. Lezione nr. 16, 12/11/2018. Esercizi vari. Limitatezza di successioni convergenti. Sottosuccessioni convergenti di successioni limitate. Lezione nr. 17, 14/11/2018. Esercizi per l esonero. Successioni di Cauchy, criterio di Cauchy. Lezione nr. 18, 15/11/2018. Esercizi per l esonero. Definizione della continuità di una funzione in un punto del suo dominio. Lezione nr. 19, 16/11/2018. Esercizi per l esonero. Il teorema degli zeri per le funzioni continue e le sue conseguenze: teorema dei valori intermedi; l immagine di una funzione continua in un intervallo è un intervallo.

4 4 Lezione nr. 20, 26/11/2018. Una funzione continua in un intervallo è iniettiva se e solo se è strettamente monotona nell intervallo. Continuità dell inversa di una funzione continua in un intervallo. Continuità di funzioni composte. Il teorema ponte (il legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni). Lezione nr. 21, 28/11/2018. Insiemi compatti per successioni. Caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti di R (gli insiemi chiusi e limitati). Continuità uniforme. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue in un insieme compatto: Il teorema di Weierstrass; continuità uniforme di delle funzioni continue in un insieme compatto. Lezione nr. 22, 30/11/2018. Rapporto incrementale. Derivata. Il concetto di miglior approssimazione lineare. Retta tangente al grafico. Lezione nr. 23, 03/12/2018. Regole di derivazione (in particolare la derivata di funzioni composte e funzioni inverse). Lezione nr. 24, 05/12/2018. Le derivate delle funzioni elementari. Lezione nr. 25, 07/12/2018. Estremi relativi (o locali) e assoluti (o globali). Punti stazionari (o critici). Il legame tra punti di estremo locale e punti critici. Lezione nr. 26, 10/12/2018. I teoremi di Rolle, Lagrange (TVM), e Cauchy. Prime applicazioni: una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante; il legame tra il segno della derivate e la monotonia (stretta) di un funzione in un intervallo. Lezione nr. 27, 12/12/2018. La Regola di De l Hôpital. Lezione nr. 28, 14/12/2018. Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Punto di flesso. Lezione nr. 29, 17/12/2018. Polinomi di Taylor (MacLaurin): il teorema di Peano e le applicazioni al calcolo dei limiti.

5 5 Lezione nr. 30, 19/12/2018. Polinomi di Taylor (MacLaurin): il resto di Lagrange con applicazioni: stima dell errore; il numero e è irrazionale. Lezione nr. 31, 21/12/2018. Il metodo di Newton per approssimare le zero di una funzione; un cenno alla convergenza veloce della successione di approssimanti. Successioni definite tramite una relazione di ricorrenza: un primo approccio formale ai concetti di (in)stabilità dei punti fissi. Lezione nr. 32, 07/01/2019. Esercizi, in particolare sulle successioni definite per ricorrenza. Lezione nr. 33, 09/01/2019. Lezione nr. 34, 11/01/2019. Approfondimento: la rappresentazione binaria e la cardinalità di R. Lezione nr. 35, 14/01/2019. Lezione nr. 36, 16/01/2019. Approfondimento: modulo di continuità, funzioni lipschitziane e hölderiane. Lezione nr. 37, 18/01/2019. Lezione nr. 38, 21/01/2019. Approfondimento: i concetti lim sup e lim inf. Lezione nr. 39, 23/01/2019.