Definizione del problema (1/2)

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1 Casi di studio

2 Definizione del problema (1/2) Si consideri il consueto schema di controllo r Kr y des + e u + d y C(s) F(s) + 2(s +.1) con: F(s) =, C(s) = K 2 c, Kr = 1 s(s +.2s + 1)(s + 1) Controllore statico da progettare 2

3 Definizione del problema (2/2) Si consideri il consueto schema di controllo r Kr y des + e u + d y C(s) F(s) + con: 2(s +.1) F(s) =, C(s) = K, K = 1 2 s(s +.2s + 1)(s + 1) c r Trovare l intervallo di valori di K c per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa. Determinare i margini di stabilità e M r per un particolare valore di K c scelto all interno di tale intervallo 3

4 Applicazione del criterio di Nyquist (1/5) Per determinare l intervallo di valori di K c per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa, è sufficiente tracciare il DdN di F(jω) ed applicare il criterio di Nyquist a G a (jω) = K c F(jω), considerando il punto critico variabile (-1/K c, ) Ottenuto con il comando nyquist(f) con l aggiunta manuale del semicerchio di raggio infinito e dello zoom Imaginary Axis (-13.24,) A Nyquist Diagram n i,a = Real Axis 4

5 Applicazione del criterio di Nyquist (2/5) Per determinare l intervallo di valori di K c per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa, è sufficiente tracciare il DdN di F(jω) ed applicare il criterio di Nyquist a G a (jω) = K c F(jω), considerando il punto critico variabile (-1/K c, ) (-1/K c, ) per <K c <.76 Imaginary Axis (-13.24,) Nyquist Diagram n i,a = N = ni,c = -1-2 A Real Axis 5

6 Applicazione del criterio di Nyquist (3/5) Per determinare l intervallo di valori di K c per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa, è sufficiente tracciare il DdN di F(jω) ed applicare il criterio di Nyquist a G a (jω) = K c F(jω), considerando il punto critico variabile (-1/K c, ) (-1/K c, ) per K c >.76 Imaginary Axis (-13.24,) Nyquist Diagram n i,a = N = 2 ni,c = A Real Axis 6

7 Applicazione del criterio di Nyquist (4/5) Per determinare l intervallo di valori di K c per cui si ha asintotica stabilità in catena chiusa, è sufficiente tracciare il DdN di F(jω) ed applicare il criterio di Nyquist a G a (jω) = K c F(jω), considerando il punto critico variabile (-1/K c, ) (-1/K c, ) per K c < Imaginary Axis (-13.24,) Nyquist Diagram n i,a = N = 1 ni,c = A Real Axis 7

8 Applicazione del criterio di Nyquist (5/5) Il sistema in catena chiusa risulta pertanto asintoticamente stabile per <K c <.76 Si osserva in particolare che per K c = 1 (cioè chiudendo semplicemente F(jω) in retroazione negativa unitaria) si ottiene un sistema instabile in catena chiusa 8

9 Scelta di Kc e verifica della stabilità Il valore prescelto di K c è.15 Si può verificare l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa calcolandone i poli con Matlab: Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -2.32e-2 1.e+ 2.32e e e+i 6.47e e e e+i 6.47e e+ -1.e+1 1.e+ 1.e+1 9

10 Valutazione dei margini di stabilità sul DdN Sul DdN della fdt d anello G a (jω) = K c F(jω), per K c =.15, si individuano i margini di stabilità 2 m 5 G m 36 ϕ o (-.199,) Imaginary Axis m ϕ A -.5 C 1/m G Real Axis 1

11 Lettura dei margini di stabilità sul DdB Sui DdB della fdt d anello G a (jω) = K c F(jω) si possono leggere più accuratamente i margini 5 C m G,dB = 13.7 db Ottenuti con il comando bode(ga) Magnitude (db) Phase (deg) m ϕ = 35.7 o A Frequency (rad/sec) 11

12 Lettura dei margini di stabilità sul DdB Sul DdB della fdt d anello G a (jω) = K c F(jω) si possono leggere più accuratamente i margini 5 C m G,dB = 13.7 db Verificare la correttezza della risposta ottenuta dal comando margin(ga) Magnitude (db) Phase (deg) m ϕ = 35.7 o A Frequency (rad/sec) 12

13 Lettura dei margini di stabilità sul DdNic Sul DdNic della fdt d anello G a (jω) = K c F(jω) si possono ritrovare i margini letti sui DdB db 3.25 db.5 db 2 1 db -1 db Open-Loop Gain (db) 1 3 db 6 db m ϕ -3 db -6 db -1 m G,dB -12 db -2-2 db Open-Loop Phase (deg) 13

14 Stima di M r dalla carta di Nichols Sovrapponendo la carta di Nichols al DdNic della fdt d anello G a (jω) si può stimare il picco di risonanza M r in catena chiusa Il picco di risonanza M r è stimato fra 3 e 6 db La carta di Nichols è semplicemente generata dal comando grid Open-Loop Gain (db) db.25 db.5 db 1 db -1 db 3 db -3 db 6 db -6 db -12 db -2 db Open-Loop Phase (deg) 14

15 Stima di M r dai luoghi a M costante M r può essere valutato anche sul piano complesso, sovrapponendo i luoghi a modulo M costante al DdN della fdt d anello G a (jω) Il picco di risonanza M r è stimato fra 4 e 6 db Anche i cerchi M sono generati semplicemente dal comando grid Imaginary Axis db db -2 db 4 db -4 db 6 db -6 db 1 db -1 db 2 db -2 db Real Axis 15

16 Lettura di M r sul DdB di W y (jω) Sui DdB della fdt in catena chiusa W y (jω) si può leggere accuratamente il valore di M r 2-2 Ottenuti con il comando bode(w), avendo calcolato W con il comando feedback Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 16

17 Lettura di M r sul DdB di W y (jω) Sul DdB della fdt in catena chiusa W y (jω) si può leggere accuratamente il valore di M r 2 Letto da Matlab come Peak Response fra le caratteristiche del sistema Magnitude (db) Phase (deg) System: Wy Peak gain (db): 5.6 At frequency (rad/sec): Frequency (rad/sec) 17