SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI
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- Antonio Barbieri
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1 SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI BINOMIO RACCOGLIMENTO ax + bx = x ( a + b ) a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ) CUBI a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 ab + b 2 ) POT.(ESP. PARI) a 2n b 2n = ( a n + b n ) ( a n b n ) = ecc.. POT.(ESP. DISPARI) a n b n = ( a - b ) (a n-1 +a n-2 b+ a n-3 b 2 +b n-1 ) SOMMA DI POTENZE (N DISPARI) a n + b n = ( a + b ) (a n-1 -a n-2 b+ a n-3 b 2 +b n-1 ) SOMMA DI POTENZE (N PARI) a n + b n NON È SCOMPONIBILE RUFFINI se P(a) = 0 P(x) = (x-a) (.. ) TRINOMIO RACCOGLIMENTO TOTALE a 3 + a 2 b a = a ( a 2 + ab -1 ) QUADRATO DI UN BINOMIO a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b ) 2 TRINOMIO PARTICOLARE x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) TRINOMIO PARTICOLARE (A 0) ax 2 + bx + c = ax 2 + b 1 x + b 2 x + c = E POI RACCOGLIMENTO PARZIALE Ruffini se P(a) = 0 P(x) = (x-a) (.. ) b 1 + b 2 = b b 1 b 2 = a c QUADRINOMIO RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO PARZIALE ax+ay+bx+by = a(x + y)+b(x + y) = (x + y)(a + b) CUBO DI UN BINOMIO a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = ( a ± b ) 2 (3+1) (a 2 ± 2ab + b 2 ) - c 2 = (a ± b +c ) (a ± b - c ) RUFFINI se P(a) = 0 P(x) = (x-a) (.. ) 6 MONOMI RACCOGLIMENTO TOTALE OPPURE OPPURE 3-3 QUADRATO DI UN TRINOMIO a 2 + b 2 + c 2 + 2ab +2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 RACCOGLIMENTO PARZIALE 2 / 2 / 2 oppure 3 / 3
2 RUFFINI SCOMPONI IN FATTORI IL POLINOMIO P(x) = 2x3 5 x2 x + 6 I DIVISORI DI 6 ( TERMINE NOTO) SONO ± 1, I DIVISORI DI 2 (COEFFICIENTE DEL TERMINE DI GRADO MASSIMO) SONO LE POSSIBILI FRAZIONI ( APPLICHIAMO IL TEOREMA DEL RESTO ± 2, ± 3, ± 6, (N) ± 1, ± 2, (D) 1 3 ) SONO ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±, ±, 2 2 P(+1) = 2(+1)3 5 (+1)2 (+1) + 6 = = 2 0 P( 1) = 2( 1)3 5 ( 1)2 ( 1) + 6 = = 0 X 1 NON È DIVISORE X + 1 È DIVISORE IL POLINOMIO P(X) È DIVISIBILE PER ( X + 1 ) ESEGUIAMO LA DIVISIONE UTILIZZANDO LA REGOLA DI RUFFINI. NELLA PRIMA RIGA SCRIVI TUTTI I COEFFICIENTI DEL POLINOMIO P(X), AVENDO CURA DI INDICARE CON UNO ZERO IL COEFFICIENTE DEGLI EVENTUALI TERMINI MANCANTI OTTENENDO LA SCOMPOSIZIONE
3 6 MONOMI 4 MONOMI 3 MONOMI 2 MONOMI esp. PARI P n (x) POLINOMIO DI GRADO n a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ) a 2n b 2n = ( a n + b n ) ( a n b n ) =... a n + b n IRRIDUCIBILE SOMMA DI RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE ax + ay = a(x + y) n DISPARI a 3 b 3 = ( a b ) ( a 2 ab + b 2 ) a n b n = ( a b ) (a n-1 a n-2 b + a n-3 b 2 + b n-1 ) SOMMA O DIFFERENZA DI CUBI SOMMA O DIFFERENZA DI POTENZE RUFFINI P n (x) = (x x 0 ) P n-1 (x) se P n (x 0 ) = 0 a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b ) 2 x 2 + sx + p = (x + a) (x + b) se s = a + b p = a b QUADRATO DI BINOMIO TRINOMIO NOTEVOLE Coeff. di x 2 = 1 P(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ax 2 + bx + c = se b = b 1 + b 2 a c = b 1 b 2 ax 2 + b 1 x + b 2 x + c =... poi raccoglimento parziale TRINOMIO NOTEVOLE Coeff. di x 2 1 divisore di a Se esiste un monomio x 0 = 0 divisore di a n tale che P(x 0 ) = 0 P(x) = (x x 0 )( b n-1 x n-1 + b n-2 x n b 1 x + b 0 ) a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = ( a ± b ) 3 a 2 ± 2ab + b 2 - c 2 = (a ± b) 2 - c 2 = ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) CUBO DI BINOMIO RACCOGLIMENTO PARZIALE a n a n a 1 a 0 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 QUADRATO DI TRINOMIO x 0 x 0 a n = c n-1 x 0 b 1- = c 1 x 0 ( b 0 ) = a 0 a n = b n-1 a n-1 + c n-1 = b n-2 b 1 a 1 + c 0 = b 0 0 a 2 ± 2ab + b 2 (x 2 ± 2xy + y 2 ) = ( a ± b ) 2 ( x ± y ) 2 = ax + ay + bx + by + cx + cy = a(x + y) + b(x + y) + c(x + y)= = (x + y)(a + b + c) RACCOGLIMENTO PARZIALE
4 SOMMA DI POTENZE POTENZE SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI BINOMI a n b n = (a n/ 2 + b n/ 2 ) (a n/ 2 b n/ 2 ) n PARI a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ) 9x 2 25y 4 = (3x + 5y 2 ) (3x 5y 2 ) 16a 4 1 = (4a 2 + 1) (4a 2 1) = (4a 2 + 1) (2a + 1) (2a 1) X 6 y 6 = (x 3 y 3 )( x 3 + y 3 ) = n DISPARI a n b n = ( a b ) (a n-1 + a n-2 b + a n-3 b ab n-2 + b n-1 ) a 3 b 3 = ( a b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 5 b 5 = ( a b ) (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 8x 3 1 = ( 2x 1 ) ( 4x 2 + 2x + 1) n PARI a n + b n NON È SCOMPONIBILE a 2 + b 2 16x 4 + 9y 2 a 6 + b 12 a n + b n = ( a + b ) (a n-1 - a n-2 b + a n-3 b ab n-2 + b n-1 ) n DISPARI a 3 + b 3 = ( a + b ) (a 2 -ab+ b 2 ) a 5 + b 5 = ( a + b ) (a 4 -a 3 b+ a 2 b 2 -ab 3 +b 4 ) 27x = ( 3x+1 ) ( 9x 2-3x+1)
5 TRINOMIO DI 2 GRADO (a 1) TRINOMIO DI 2 GRADO a=1 (a=1) QUADRATO DI UN BINOMIO TRINOMI a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b ) 2 Individua 2 quadrati concordi poi verifica che il terzo monomio sia il doppio prodotto.. 4a 2 + 4a + 1 = ( a + 1 ) 2 9x 2-24xy + 16y 2 = ( 3x 4y ) 2 25 a 4 +20a 2 b 4b 2 = - (5a 2 2b) 2 x 2 + sx + p = (x + a) (x + b) s = a + b p = a b Trova 2 monomi che abbiano somma s e prodotto p x 2 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) s = (-3) + (-2) p = (-3) (-2) a 2 ab 12b 2 = (a 4b)(a + 3b) s = ( -4b)+(+3b) p = ( -4b )( +3 b ) ax 2 + bx + c = b = b 1 + b 2 a c = b 1 b 2 ax 2 + b 1 x + b 2 x + c =... poi raccoglimento parziale Trova 2 monomi che abbiano somma b e prodotto ac 2x 2 + 5x 3 = b = (+6 ) + (-1) a c =-6 = (+6 ) (-1 ) = 2x 2 + 6x 1x 3 = 2x (x+3)-1 (x+3) = ( x + 3)(2x 1) raccoglimento parziale 3x 2 7xy + 4y 2 = b = (- 3y) + (- 4y) a c = + 12 = (- 3y ) (- 4y ) = 3x 2 3 x y 4 x y + 4a 2 = 3x (x y) 4 y (x y) = (x y )(3x 4 y) raccoglimento parziale
6 (3+1) RACCOGLIMENTO PARZIALE (2+2) CUBO DI UN BINOMIO QUADRINOMI a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = ( a ± b ) 2 Individua 2 cubi poi verifica che gli altri 2 monomi siano i tripli prodotti. 8a a 2 + 6a + 1 = ( 2a + 1 ) 3 x 3 9x 2 y + 27xy 2 27 y 3 = (x 3y ) 3 27a 6 54 a 4 b +36 a 2 b 2 8b 3 = (3a 2 2b) 3 ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) Esegui un raccoglimento tra binomi poi verifica di poter raccogliere un binomio 10ax 4ay + 15bx 6by = 2a(5x 2y)+3b(5x 2y) = (5x 2y) (2a+3b) a 2 x 2 bx 2 + a 2 b = x 2 (a 2 b) + 1(a 2 b) = (a 2 b)( x 2 +1) 15 a 3 7b 5 a 2 +21ab 2 = 5a 2 (3a 1) +7b 2 (3a 1) = (3a 1)(5a 2 + 7b 2 ) (a 2 ± 2ab + b 2 ) - c 2 = (a ± b + c ) (a ± b c) Individua un quadrato di binomio e verifica che il quarto monomio sia un quadrato di segno opposto a 2 + 6a + 9 x 2 = (a+3) 2 x 2 = (a x ) (a + 3 x) 25y 2 4a 2 + 4ax x 2 = (5y) 2 (2a x ) 2 = (5y + 2a x) (5y 2a + x) -25 a 4 +20a 2 b 4b2+16b 2 = (4b) 2 (5a 2 2b) 2 = (4b+5a 2 2b) (4b-5a 2 + 2b)
7 RUFFINI POLINOMIO P(x) RACCOGLIMENTO TOTALE 25ax a 2 x 2 15a 3 x + 5a 4 = 5a(5x 3 + 6ax 2 3a 2 x + a 3 ) P(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Se esiste un monomio x 0 tale che P(x 0 ) = 0 segue P(x) = (x x 0 )( b n-1 x n-1 + b n-2 x n b 1 x + b 0 ) x 0 = divisore di a 0 divisore di a n a n a n a 1 a 0 x 0 x 0 a n = c n-1.. x 0 b 1- = c 1 x 0 ( b 0 ) =- a 0 a n = b n-1 a n-1 + c n-1 = b n-2 b 1 a 1 + c 0 = b 0 0 P(x) = 2x 3 3 x 2 1x + 4 i possibili numeri tali che P(x) = 0 sono ± 1, ± 2, ± 4, ± 2 1, li sostituiamo a x nel polinomio P(+1) = 2(+1) 3 3 (+1) 2 (+1) + 4 = +2 0 ( x-1) non è divisore P( 1 ) = 2( 1) 3 3( 1) 2 ( 1) + 4 = 0 Il polinomio P(x) è divisibile per (x + 1) Eseguiamo la divisione utilizzando la Regola di Ruffini = -2-1 (-5) = +5-1 (+4) = P(x) = ( x + 1)(2x 2 5x + 4)
( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =
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1.6 esercizi 17 Esercizio 25. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi: 8a 2 + 16ab + 8b 2 4a 4 4a 2 b 2 12a 2 + 12ab Soluzione. Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8a 2 + 16ab + 8b 2 = 8(a 2 + 2ab
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U.D. N 04 I polinomi
Unità Didattica N 0 I polinomi U.D. N 0 I polinomi 0) Monomi 0) Somma algebrica di monomi simili 0) Prodotto di due i più monomi 0) Quoziente di due monomi 05) Potenza di un monomio 06) Massimo comune
Sezione Esercizi 309. e ) a 6 + b 4 + 2a 3 b 2 Sì No f ) 25a 2 + 4b 2 20ab 2 Sì No. g ) 25a b a2 b 2 Sì No
Sezione.6. Esercizi 09.6 Esercizi.6. Esercizi dei singoli paragrafi. - Quadrato di un binomio.. Completa: x y) = x) x)y) y) =................................................ x y) = x) x)y) y) =........................................
14 : : : : 3 15 : 5. 2) Fra le seguenti espressioni indica, motivando la risposta, i monomi:
COMPITI DELLE VACANZE DI MATEMATICA CLASSI PRIME A.F.M. A.S. 0/5 ) Calcola le seguenti espressioni: 5 0 : 7 : 8 : : 5 : 5 5 6 0 : : : : : b) 7 9 5 5 5 7 0 5 9 b) 6 66 :6 :6 :6 : : : : 5 d) 7 : 9 6 7 8
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