Ingegneria dei Sistemi Elettrici_5a

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1 Ingegneria dei istemi Elettrici_5a Campi magnetici statici n stati studiati i campi elettrstatici nel vut dvuti a cariche elettriche fisse (a rips), per i quali l intensità del camp elettrstatic E è l unica grandezza fndamentale di camp vettriale, richiesta per l studi della elettrstatica. In un mezz materiale è cnveniente definire una secnda grandezza di camp vettriale, densità di fluss elettric ( spstament elettric) D per tener cnt degli effetti della plarizzazine M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 1

2 Le seguenti due equazini cstituiscn la base del mdell elettrstatic: D = ρ E = 0 Le prprietà elettriche del mezz determinan le relazini tra D e E e il mezz è lineare ed istrp, si ha la semplice relazine cstitutiva: D = ε E dve la permettività ε è un scalare. Quand una piccla carica test q è psta in un camp elettric E, questa è sttpsta ad una frza elettrica, che dipende dalla psizine della carica q: F e F e = qe [N]. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 2

3 e la carica è in mviment ccrre fare altre cnsiderazini per tener cnt di tutti i fenmeni fisici del camp assciat. Infatti il mt delle cariche in equilibri dinamic é caratterizzat: nn sl dalla densità di carica ρ ma anche dal vettre velcità delle cariche v. Inltre ccrre tener cnt che il mt delle cariche in equilibri dinamic é gvernat dalla: equazine fndamentale di cntinuità che sddisfa il principi di cnservazine della carica. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 3

4 Equazine fndamentale di cntinuità che sddisfa il principi di cnservazine della carica. Cnservazine della carica elettrica La carica elettrica è una grandezza fisica cnservativa, ciè la carica elettrica ttale di un sistema fisic islat rimane cstante. Quest è un assima fisic, che si suppne legge fndamentale della natura, in quant nn è mai stat sservat il cas ppst. Un altr assunt è che la cnservazine sia lcale, ssia valga il terema di Nether (v. anche legge della cnservazine). Essa viene csì espressa matematicamente: la variazine della densità spaziale di carica ρ entr un vlume V èpari al fluss della crrente J attravers la superficie che limita il dett vlume V(ssia, all'integrale di superficie): d ρdv = J d dt Inltre, la carica elettrica ttale di un sistema è un'invariante relativistic (ssia il su valre nn dipende dal sistema di riferiment). M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 4 V

5 Quand la carica elettrica è in mviment in presenza di un camp magnetic cn induzine magnetica B, essa è sttpsta ad una frza di natura diversa detta frza magnetica F m csì caratterizzata: ampiezza prprzinale a q, alla cmpnente della velcità v nella direzine nrmale alla induzine del camp magnetic nel punt in cui si trva la carica nell istante cnsiderat; B direzine nrmale alla direzine della velcità v della carica test e alla direzine del camp B determinata in quel punt e vers definit dall peratre vettriale: F m = q v B i sttlinea cme tale frza nn è legata ai vettri D ed E. q Fm B v M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 5

6 Un camp magnetic può essere generat: da un magnete permanente ppure da crrenti elettriche. La limatura di ferr piccli pezzi di ferr sparsi su un fgli di carta pssn essere usati per rilevare la presenza di effetti magnetici (ssia frze magnetiche) in prssimità di un magnete permanente, dve la limatura si distribuisce secnd linee che vann da un pl all altr del magnete di un fil percrs da crrente elettrica, dve la limatura si dispne secnd linee cncentriche circlari, perpendiclari alla direzine del cnduttre. In entrambi i casi la distribuzine della limatura indica la presenza di un camp magnetic e suggerisce la frma delle linee del camp magnetic, ssia le linee lung le quali agiscn le frze del camp. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 6

7 F m La frza magnetica può essere espressa cmpletamente attravers la definizine della densità di fluss magnetic B, che specifica sia la direzine del camp che la natura del mezz in cui è presente il camp: F m = q v La frza elettrmagnetica ttale dvuta alla presenza di camp elettrstatic e magnetic, che agisce su una carica q in mviment cn velcità v è quindi: B F m = F e + F m = q ( E + v B) [N] che è l equazine della frza di Lrentz e la sua validità è stata inequivcabilmente stabilita empiricamente. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 7

8 Cme per la definizine di camp elettric è stat utilizzata la relazine: F e E = q analgamente per la definizine della densità di fluss magnetic B è valida la seguente relazine : v B = F q m M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 8

9 Per tener cnt della natura del mezz in cui il camp è generat è stata quindi intrdtta intrdtta la grandezza magnetica B intensità di camp magnetic H =, dve µ permeabilità µ magnetica del mezz. ulla base di dati empirici si può affermare che gni mt di cariche elettriche da lug ad azini magnetiche e che tali fenmeni si verifican anche in assenza di materia ssia nel vut. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 9

10 Le cariche elettriche in mviment, ssia la causa della B generazine di un camp magnetic, H = pssn µ essere di diversa natura, cme: -una crrente che circla in un cnduttre, ma anche -un insieme di elettrni che si muvn nel vut, -una crrente inica che attraversa un elettrlita -un gas inizzat crrenti di qualsiasi natura. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 10

11 In generale si può affermare che la presenza di una crrente di un magnete permanente, mdifica l stat fisic dell spazi circstante. Ciò induce a definire una grandezza di camp per ciascun punt della regine d azine di ess, in grad di quantificare l entità delle azini magnetiche, ssia il camp magnetic H. Per esempi, nel cas di un cnduttre attraversat da una crrente cstante I: I R P Definizine di camp magnetic H P punt in cui si valuta il camp R distanza del punt dal cnduttre nel quale circla la crrente I M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 11

12 i definisce camp magnetic H un vettre la cui intensità in un punt del camp P, è -prprzinale alla intensità di crrente I, -inversamente prprzinale alla distanza R del punt P dal cnduttre -direzine tangente alla circnferenza di raggi R in P -vers legat alla direzine della crrente definit dalla regla della vite destrgira (il vers è quell cn cui deve rutare una vite destrrsa per farla avanzare nel sens della crrente). I I + H H M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 12

13 Legge di Bit avart ulla base delle prve sperimentali si può descrivere l esistenza di un Camp Magnetic attravers l applicazine della legge di Bit-avart. L intensità degli effetti elettrmagnetici è uguale in tutti i punti equidistanti dal cnduttre (linee di frza); essa è prprzinale al rapprt fra la crrente I e la distanza R dal cnduttre e indipendente dalla natura del mezz: H H= I 2πR m H varia cn legge iperblica al variare di R. R M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 13

14 Tali risultati sperimentali pssn essere espressi analiticamente dalla seguente relazine, che tiene cnt della natura del mezz: I R P B B = µ I 2πR Nella frmula l influenza della natura del mezz é indicata dalla grandezza µ, ssia dalla permeabilità magnetica del mezz. Il fattre 1/2π é utilizzat per ttenere frmule semplificate dette razinalizzate. Il camp magnetic in gni punt sarà: H = B µ in mdul H = B µ = I 2πR M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 14

15 Magnetstatica nel vut Per l studi della magnetstatica (campi magnetici statici) nel vut è necessari cnsiderare sl il vettre densità di fluss magnetic B, i due pstulati fndamentali della magnetstatica sn: B = 0 B = µ J dve J è la densità di crrente e µ = 4π 10 dve è la permeabilità dell spazi liber: µ 7 H m M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 15

16 Piché la divergenza del rtre di un qualunque vettre e uguale a zer: ( ) 0 dalla ultima espressine si ttiene: J = 0 che è cerente cn le equazini precedentemente determinate per le crrenti stazinarie. Il cnfrnt della relazine: B = 0 cn l analga equazine per l elettrstatica nell spazi liber: ρ E = ε fa vedere cme nn ci sia alcuna analgia magnetica, ssia alcuna grandezza magnetica analga, per la densità di carica elettrica ρ. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 16 0 ( B) = µ J = 0

17 1) La frma integrale del prim pstulat delle magnetstatica si ttiene facend l integrale vlumic della relazine B = 0 e applicand il terema della divergenza si ha: V B dv = B d s = 0 dve la superficie di integrazine è la superficie che delimita il vlume arbitrari di integrazine. Cnfrntand questa relazine cn l espressine della legge di Gauss: Q E d s = ε si verifica anche analiticamente la nn esistenza di cariche magnetiche islate. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 17

18 Nn esistn srgenti di fluss magnetic, e le linee di fluss magnetic si richiudn sempre su se stesse. Inltre l equazine : B d s = é anche una espressine della legge della cnservazine del fluss magnetic, perché essa afferma che il fluss ttale uscente attravers una superficie chiusa è null. 0 La tradizinale definizine dei pli nrd e sud in una barretta di materiale magnetic permanente nn implica che esista una carica magnetica psitiva islata nel pl nrd e una carica negativa islata nel pl sud. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 18

19 Infatti se il magnete viene tagliat in due parti cmpain in ciascun element un pl nrd e un pl sud, ttenend csì due nuvi magneti più piccli. Quest prcess si ptrebbe ripetere sin a che i magneti assumn dimensini atmiche, per cui si può cncludere che i pli magnetici nn pssn essere islati, ma ciascun magnete infinitamente piccl ha ancra un pl nrd e un sud. N N N N N N N M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 19

20 Le linee di fluss magnetic segun percrsi chiusi, da una estremità del magnete all altra estremità, all estern del magnete e quindi prsegun all intern del magnete richiudendsi vers l estremità di partenza. N M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 20

21 La definizine di pl nrd e sud é cerente cn il fenmen fisic, verificabile empiricamente, per il quale una barretta magnetica liberamente sspesa stt l effett del camp magnetic terrestre, tende a disprsi secnd la direzine nrd sud. N Pl Nrd Precisamente il pl magnetic nrd della barretta punta nella direzine del nrd gegrafic. N Pl ud Il pl magnetic terrestre nella regine artica (pl nrd) deve essere un pl magnetic sud. Il pl magnetic terrestre nella zna antartica (pl sud) deve essere un pl magnetic nrd. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 21

22 2) La frma integrale del secnd pstulat della magnetstatica: B = µ J può essere ttenuta integrand su una superficie aperta, entrambi i membri e applicand il terema di tkes al prim membr: ( ) s B d s = µ J d ppure: dve: B d l = µ I C il percrs C per l integrale lineare é il cntrn che delimita la superficie e I é la crrente ttale attravers la superficie. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 22

23 Il sens di percrrenza del cntrn C e il fluss segun la regla della man destra. C B d l = µ I L equazine trvata é una espressine della legge della circuitazine di mpere, che stabilisce che: la circuitazine della densità del fluss magnetic nel vut B lung un percrs chius qualsiasi, é uguale a µ vlte la crrente I ttale che fluisce attravers la superficie delimitata da tale percrs. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 23

24 Riassumend i due pstulati fndamentali della magnetstatica nel vut sn: frma differenziale frma integrale B = 0 B = µ J C B d s = B d l = 0 µ I M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 24

25 Ptenziale vettre magnetic Il pstulat B = 0, garantisce che B sia slenidale. Quindi B, per le prprietà dei vettri, può essere espress cme il rtre di un altr vettre di camp, chiamat, tale che: B = infatti per la II identità nulla: [T] div (rt ()) = ( ) 0 se ( ) = 0 B = ( ) B = ( ) B = 0 e Il vettre csì definit è chiamat ptenziale magnetic vettriale: Wb m M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 25

26 Quindi si può trvare il ptenziale magnetic vettre di una distribuzine di crrente e B può essere ttenut da attravers un peratre differenziale (il rtre). Questa prcedura è del tutt simile alla intrduzine del ptenziale elettric scalare V per il camp elettrstatic E e la pssibilità di ttenere E attravers la relazine: E = V. Infatti per la I identità nulla: rt (grad (V)) = ( V) 0 se E = 0 e ( V) = 0 E = ( V) Tuttavia la definizine del vettre ptenziale magnetic richiede la specificazine sia del rtre che della divergenza, infatti per calclare: B = ccrre cnscere e specificare la sua divergenza. E = V M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 26

27 celta della divergenza di i intende ra determinare una espressine di, che presenti analgie cn l espressine scalare di Pissn valida per l elettrstatica, per la quale sn nte le sluzini analitiche. Dalle relazini: B = µ J = µ B = e ricrdand che il rtre del rtre di un vettre è: 2 ( ) ( ) = = queste equazini pssn essere cnsiderate cme la definizine 2 del Laplacian di :. 2 J M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 27

28 In crdinate cartesiane può essere facilmente verificata attravers una sstituzine diretta, ciè è dimstrabile la validità della relazine : 2 = a x 2 x + a i sttlinea che in crdinate cartesiane il Laplacian del vettre di camp é un altr vettre di camp, le cui cmpnenti sn i Laplaciani (divergenza del gradiente) delle crrispndenti cmpnenti di. Ciò nn è ver per gli altri sistemi di crdinate. y 2 y + a z 2 z M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 28

29 e si sviluppa l equazine: = µ J secnd la relazine: ( ) = 2 si ttiene: ( ) 2 = µ J Per semplificare questa espressine, si sceglie tale che : =0 e si ttiene l equazine vettriale di Pissn, espressa cn il ptenziale vettre magnetic: 2 = µ J M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 29

30 In crdinate cartesiane l equazine vettriale di Pissn equivale a tre equazini scalari: x y z = µ = µ = µ J J J x y z Ciascuna di queste equazini è matematicamente analga alla equazine scalare di Pissn valida per l elettrstatica. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 30

31 Per l analgia cn il mdell elettrstatic nel vut avend 2 ρ l equazine V = la sluzine particlare : ε 0 V = 1 4πε V' ρ dv' R si avrà che: x y z = µ = µ = µ J J J x y z x y z = = = µ 4π µ 4π µ 4π V' V' V' J x R J y R J z R dv' dv' dv' M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 31

32 Cmbinand le tre cmpnenti, si ha la sluzine: µ J Wb = dv' 4π R m V' tale equazine cnsente di determinare il ptenziale magnetic vettre dalla densità di crrente vlumica J. La densità di fluss magnetic B può essere ttenuta da, differenziand in maniera analga a cme fatt per ttenere il camp elettrstatic E dalla relazine E = V. Il ptenziale vettre lega il fluss magnetic Φ attravers una superficie data delimitata da un cntrn C in md semplice, infatti essend: Φ = B d s M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 32

33 Nel I il fluss magnetic Φ si misura in weber [Wb], che è equivalente al tesla per metr quadrat [T m 2 ]. Piché: B =, applicand il terema di tkes, si ha: Φ = B ds = ( ) ds = dl [Wb] C In base a questa relazine, il vettre ptenziale magnetic assume un significat fisic in quant l integrale lineare di lung un qualsiasi percrs chius è uguale al fluss magnetic ttale Φ che attraversa l area delimitata da tale percrs. M.Usai Ingegneria dei istemi Elettrici_5a 33