Scelta di portafoglio

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1 Scelta di portafoglio Appunti per il corso di conomia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/2003 duardo Rossi Università di Pavia 1 Scelta di portafoglio Individuo avverso al rischio con funzione di utilità strettamente ³ crescente. Se l individuo investe a j euro nel j esimo titolo rischioso e W 0 P j a j nel titolo non rischioso. La ricchezza incerta alla fine del periodo è Ã = W 0 X! a j (1 + r f )+ X a j (1 + er j ) j j = W 0 (1 + r f )+ X j a j (er j r f ) W 0, ricchezza iniziale. r f, tasso di rendimento sul titolo senza rischio. er j tassodirendimentostocasticosulj-esimo titolo. a j, investimento sul j-esimo titolo. Il problema individuale è " Ã h i max u = u W 0 (1 + r f )+ X!# a j (er j r f ) a j j Assumiamo che esista una soluzione al problema di max. Poichè u ( ) è concava, le condizioni del primo ordine sono anche condizioni necessarie e sufficienti hu 0 (er j r f ) =0 j 1

2 Poichè u è strettamente crescente la condizione del primo ordine implica che Pr (er j r f > 0) > 0. Un individuo avverso al rischio e che preferisce più a meno investirà in attività rischioseseeesoloseiltassodirendimentosualmenountitolorischioso eccede il tasso d interesse senza rischio. Perchè un individuo non investa o venda il titolo rischioso come scelta ottimale, è necessario che le condizioni del primo ordine valutate in corrispondenza del titolo non rischioso siano non positive: [u 0 (W 0 (1 + r f )) (er j r f )] 0 j equivalentemente u 0 (W 0 (1 + r f )) [er j r f ] 0 j con l assunzione u 0 ( ) > 0, questo è equivalente a a j 0 j solo se [er j r f ] 0 j un individuo con funzione di utilità strettamente crescente e concava eviterà ogni investimento rischioso solo se nessuno dei titoli rischiosi ha un premio al rischio strettamente positivo. Al contrario, un individuo con le caratteristiche citate investirà in titoli rischiosi se j : a j > 0 se j 0 : [er j 0 r f ] > 0 cioè se uno o più titoli rischiosi hanno un premio al rischio strettamente crescente. Attenzione: j 0 potrebbe non essere uguale a j perchè quando c è più di un titolo rischioso, [er j r f ] > 0 non implica a j > 0. 2 Scelta di portafoglio con 1 titolo rischioso ed 1 non rischioso Individuo strettamente avverso al rischio con funzione di utilità crescente. 2

3 Il premio al rischio del titolo rischioso è strettamente positivo. Qual è il premio al rischio minimo che è richiesto per indurre l individuo ad investire tutta la sua ricchezza nel titolo rischioso? er: rendimento titolo rischioso a: ammontare di ricchezza iniziale investito nel titolo rischioso. Per investire tutta la ricchezza nel titolo rischioso deve essere: [u 0 (W 0 (1 + er)) (er r f )] 0 spansione in serie di Taylor. Assumiamo che esistano le derivate della funzione f (x) fino all ordine n+1 e siano continue in un intorno di x 0.Ilteorema di Taylor affermacheilvaloredellaf (x) è dato da: df (x) f (x) = f (x 0 )+ dx x=x 0 (x x 0 )+ 1 d 2 f (x) 2 dx 2 x=x0 (x x 0 ) 2 nx 1 d k + k! dx f (x) k x=x 0 (x x 0 ) k + R n ((x x 0 ),x) k=3 R n ((x x 0 ),x)= 1 d n+1 (n +1)! dx f (x) n+1 x=x 0 (x x 0 ) n+1 R n ((x x 0 ),x) lim x x 0 (x x 0 ) n =0 spansione in serie di Taylor di u 0 [W 0 (1 + er)] intorno a u 0 [W 0 (1 + r f )]: W 0 (1 + er) W 0 (1 + r f )=W 0 (er r f ) u 0 [W 0 (1 + er)] = u 0 [W 0 (1 + r f )] + u 00 [W 0 (1 + r f )] W 0 (er r f )+resto moltiplichiamo per (er r f ) u 0 [W 0 (1 + er)] (er r f )=u 0 [W 0 (1 + r f )] (er r f )+u 00 [W 0 (1 + r f )] (er r f ) 2 W 0 + resto prendiamone il valore atteso: {u 0 [W 0 (1 + er)] (er r f )} = {u 0 [W 0 (1 + r f )] (er r f )} + u 00 [W 0 (1 + r f )] (er r f ) 2ª W 0 +o (er r f ) 2 3

4 dove o (er r f ) 2 indica i termini di dimensione più piccola di (er r f ) 2. Il rischio è piccolo quando (er r f ) 2 è piccolo ed i termini che coinvolgono (er r f ) 3 e gli ordini superiori possono essere ignorati. 4

5 Il premio al rischio minimo richiesto per indurre il pieno investimento nel titolo rischioso può essere determinato ponendo uguale a zero il membro di destra, tralasciando il resto: {u 0 [W 0 (1 + r f )] (er r f )} + {u 00 [W 0 (1 + r f )] (er r f )} W 0 =0 u 0 [W 0 (1 + r f )] (er r f )= u 00 [W 0 (1 + r f )] (er r f ) 2 W 0 (er r f )= u00 [W 0 (1 + r f )] u 0 [W 0 (1 + r f )] (er r f ) 2 W 0 ρ a = u00 [W 0 (1 + r f )] u 0 [W 0 (1 + r f )] è la misura di Avversione al Rischio Assoluta (ARA) (Arrow (1970), Pratt (1964)). Più alta è l avversione al rischio, maggiore è ilpremio al rischio minimo rischiesto per indurre l investimento rischioso. L ARA è una misura della curvatura della funzione di utilità individuale. La curvatura della funzione di utilità individuale è collegata al premio al rischio minimo richiesto per indurre investimento nel titolo rischioso. La funzione di utilità VNM è unica a meno di una trasformazione affine positiva (eu = au + b, a > 0). Quindi la derivata seconda non può essere usata per caratterizzare l intensità dell avversione al rischio. La misura di avversione al rischio assoluta (ρ a ) è invariante ad una trasformazione affine strettamente positiva della funzione di utilità individuale. 5

6 3 Avversione al rischio Assoluta e domanda di titoli rischiosi La caratteristica di un ARA individuale ci permette di determinare se l agente tratta un titolo rischioso come un bene normale quando sceglie fra un singolo titolo rischioso e un titolo senza rischio. 1. ARA decrescente: 2. ARA crescente: 3. ARA costante < 0 > 0 =0 Una funzione di utilità può mostrare più d una delle precedenti caratteristiche per differenti parti del suo dominio. Arrow ha mostrato che: Un ARA decrescente sull intero dominio di ρ a (z) implica che il titolo rischioso sia un bene normale: la domanda per il titolo rischioso aumenta con la ricchezza individuale. < 0 z da dw 0 > 0 W 0 Un ARA crescente implica che il titolo rischioso sia un bene inferiore: > 0 z da dw 0 < 0 W 0 Un ARA costante implica che la domanda per il titolo rischioso sia invariante rispetto alla sua ricchezza iniziale: =0 z da dw 0 =0 W 0 6

7 Un individuo avendo una funzione di utilità con un ARA decrescente potrebbe aumentare, tenere costante, o diminuire la proporzione della sua ricchezza investita nel titolo rischioso quando aumenta la ricchezza. Introduciamo il concetto di Relative Risk Aversion: 1. Quando ρ R (z) =zρ a (z) dρ R (z) > 0 η, l elasticità alla ricchezza della domanda individuale per il titolo rischioso η < 1 la proporzione della ricchezza iniziale investita nel titolo rischioso declinerà con l aumento della ricchezza. 2. Sotto l ipotesi di Constant Relative Risk Aversion: dρ R (z) =0 z η =1 l elasticità alla ricchezza della domanda per titoli rischiosi è Sotto l ipotesi di RRA decrescente: dρ R (z) < 0 z η > 1. 7

8 Dimostriamo questi risultati. L elasticità della domanda per il titolo rischioso può essere espresso come η = da W 0 dw 0 a =1+(da/dW 0) W 0 a a Teorema della funzione implicita (Dini). Se f (x) =k x =(x 1,...,x n ) 0.Laderivatasipuòesprimerecome: x i x j = f/ x j f/ x i i, j =1,...,n. sempio. f (x 1,x 2 )=x x2 2 =9 x 1 x 2 = f/ x 2 f/ x 1 = 2x 2 2x 1 = x 2 x 1. Applicando il teorema della funzione implicita: f (a, W 0 ) [u 0 [(1 + r f ) W 0 + a (er r f )] (er r f )] = 0 f (a, W 0 ) hu 0 (er r f ) =0 Sostituiamo nell espressione: da = f/ W 0 dw 0 f/ a da hu 00 (er r f ) (1 + r f ) = dw 0 hu 00 (er r f ) 2i η =1+ (da/dw 0) W 0 a a 8

9 hu 00 (er r f ) (1 + r f ) W η = 1+ 0 hu 00 (er r f ) 2i a a a hu 00 (er r f ) (1 + r f ) W 0 + a hu 00 (er r f ) 2i = 1+ a hu 00 (er r f ) 2i Il numeratore del secondo termine può essere espresso come hu 00 (er r f ) (1 + r f ) W 0 + a hu 00 (er r f ) 2i = hw 0 (1 + r f ) u 00 (er r f )+au 00 (er r f ) 2i W0 = nu 00 (1 + r f )(er r f )+a (er r f ) 2 o = u00 [W 0 (1 + r f )+a (er r f )] (er r {z } f ) h = u 00 (er rf ) L elasticità può essere scritta come: h u 00 (er rf ) η =1+ a hu 00 (er r f ) 2i Denominatore: a hu 00 ³ (er r f ) 2i > 0 perchè u 00 ( ) < 0 quindi: n h o sign (η 1) = sign u 00 (er rf ) 9

10 sotto l ipotesi di RRA crescente dρr (z) > 0 : ρ R (W 0 (1 + r f )+a (er r f )) ρ R (W 0 (1 + r f )) se er r f (1) ρ R (W 0 (1 + r f )+a (er r f )) < ρ R (W 0 (1 + r f )) se er <r f (2) Ricordando la definizione di RRA: ρ R = W f ρ a = W f u 00 u 0 Moltiplicando entrambi i membri delle (1) edella(2)per u 0 ³ (er r f ): u 00 ³ (er rf ) ρ R (W 0 (1 + r f )) u 0 ³ (er r f ) er r f u 00 ³ (er rf ) < ρ R (W 0 (1 + r f )) u 0 ³ (er r f ) er <r f Prendendo il valore atteso delle ultime diseguaglianze: h u 00 (er rf ) ρ R (W 0 (1 + r f )) hu 0 (er r f ) er r f h u 00 (er rf ) < ρ R (W 0 (1 + r f )) hu 0 (er r f ) er <r f Assumendo che sia soddisfatta la condizione del primo ordine per un massimo: hu 0 (er r f ) =0 segue che: h u 00 (er rf ) < 0 e quindi che η 1 < 0 η < 1. Infine, quando siamo in una situazione caratterizzata da CRRA allora η =1. 10