BATTIMENTI L interferenza di due onde frequenze leggermente diverse (in alto e al centro) dà luogo ad un onda di duplice periodicità (in basso).

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1 INTERFERENZA DIFFRAZIONE BATTIMENTI L interferenza di due onde frequenze leggermente diverse (in alto e al centro) dà luogo ad un onda di duplice periodicità (in basso). 1

2 Infatti, considerando per semplicità l evolversi nel tempo della situazione nel punto x=0, l interferenza di due onde y 1 e y 2, con uguale ampiezza A e pulsazioni ω 1 e ω 2 (con ω 1 ω 2 ), è data da: y = y 1 + y 2 = A ( sinω 1 t + sinω 2 t ) = 2A cos( ω 1 ω 2 2 ω 1 + ω 2 ω = ω 2 medio ω 1 ω 2 ; 1 ω 2 = ω 2 mod t ) sin( ω 1 +ω 2 t ) 2 2π T medio = ω medio ( onda por tante) T mod = 2π ω mod ( onda modulante) In un particolare intervallo di frequenze ( Hz) le onde elastiche sono dette SUONI. Esse possono venire generate dalle corde vocali e percepite dall orecchio umano. 2

3 Caratteristiche di un suono Altezza: dipende dalla frequenza fondamentale dell onda (acuto alta frequenza, grave bassa frequenza) Timbro: dipende dal numero di armoniche che compongono l onda e consente l identificazione del suono Intensità: dipende dal quadrato dell ampiezza della vibrazione (debole bassa intensità, forte alta intensità) 3

4 Le onde sonore esterne vengono percepite e raccolte dal padiglione auricolare (orecchio esterno), entrano nel condotto uditivo esterno dove vengono amplificate e colpiscono la membrana timpanica, che vibra. Le vibrazioni vengono convogliate agli ossicini dell'orecchio medio, i quali trasmettono gli impulsi alla chiocciola (o coclea), che è costituta da una delicata struttura a spirale ripiena di un fluido. Gli impulsi giunti all'orecchio interno, viaggiando lungo terminazioni nervose, raggiungono il nervo acustico che li trasporta al cervello, dove vengono riconosciuti come suoni. 4

5 La minima intensità sonora apprezzabile dall orecchio umano è di W/m 2, mentre intensità di circa 1 W/m 2 sono percepite come dolorose. C è dunque un range di ben 12 ordini di grandezza!!! Tuttavia, in questo intervallo di intensità, la percezione del suono non è lineare. La sensazione sonora σ attraverso la relazione: σ = 10 log 10 I I 0 è legata all intensità I (legge di Weber-Fechner) In cui I 0 è l intensità di soglia (10-12 W/m 2 ). L unità di misura di σ è il decibel (db). Il ns orecchio è dunque in grado di percepire (senza danni) suoni per cui σ varia tra 0 e 120 db. E però importante osservare che l intervallo di sensazioni sonore percepibili non è lo stesso per i suoni di tutte le frequenze: il ns orecchio ha una curva di sensibilità: 5

6 Esempio: Un altoparlante produce una sensazione sonora di 40 db alla distanza di 10 m. Quanto vale l intensità in quel punto? Se si affianca un secondo altoparlante uguale al primo, quanto vale la sensazione sonora risultante? I 40 = 10 log I Wm = 104 I = Wm Wm Con 2 altoparlanti Dunque I = Wm 2 σ = 10 log = 43dB Propagazione in mezzi confinati Tutte le onde viste finora si estendevano indefinitamente nello spazio (ONDE PROGRESSIVE). L eq più generale è della forma Y = f (t - x/c) = A sin [ω (t - x/c)] Immaginiamo ora che l onda incontri un ostacolo e sia riflessa: 6

7 Avremo la sovrapposizione dell onda incidente e di quella riflessa: y = f (t - x/c) + g (t + x/c) poiché in x=0 si ha y=0, g(t) = -f(t) dunque: y= f( t- x/c ) - f( t +x/c) e quindi y = A (sin ω(t-x/c) - sin ω(t+x/c)) Infine, applicando le formule di trigonometria si ottiene: Y = 2 A cos(ωt) sin (ωx/c) (ONDA STAZIONARIA) In qualunque istante ci sono dei punti che non oscillano, detti NODI, cioè i valori di x per cui sin (ωx/c) = 0, e dei punti che oscillano con ampiezza massima, detti VENTRI. Supponiamo che la corda di lunghezza L sia fissata ai due estremi (es: corda di chitarra) Allora y =0 sia per x=0 sia per x=l: sin (ωl/c) = 0, da cui ωl/c = n π poiché ω = 2 π / T e ct = λ, si ricava che L = n λ/2 La corda può oscillare soltanto con ben determinate frequenze: quelle per cui la sua lunghezza è multipla di mezza lunghezza d onda! 7

8 La frequenza corrispondente a n=1 si chiama fondamentale, quelle corrispondenti ai valori successivi di n sono le armoniche. Fondamentale: (si eccita pizzicando la corda a metà) Prima armonica: (si eccita pizzicando la corda a un quarto), ecc. E anche possibile che nell estremo l oscillazione sia massima (es. canne d organo). In questo caso sin (ωl/c) = 1 e la relazione che deve essere soddisfatta è del tipo: L = (2n - 1) λ /4 Anche in questo caso l onda deve adattarsi esattamente alla lunghezza della corda: SONO PERMESSE SOLTANTO ALCUNE BEN DETERMINATE FREQUENZE 8

9 Solo le onde STAZIONARIE possono raggiungere valori di ampiezza che le rendono percettibili al nostro udito (questo perché solo onde di definita frequenza possono entrare in risonanza con il mezzo in cui si propagano) Quanto visto spiega perché l orecchio umano è particolarmente sensibile intorno ai 3 khz. Infatti il meato acustico è lungo circa 2.5 cm, e si configura come un tubo aperto da un lato e chiuso sul timpano. La lunghezza d onda che corrisponde alla frequenza fondamentale vale: λ = 4 L = 10 cm, per cui: f = c/λ = (cm/s)/10 cm = 3400 Hz Lo stesso risultato si può estendere a cavità di forma complicata: il ns spazio naso-buccale determina le caratteristiche dei suoni che emettiamo, e pronunciamo suoni diversi perché fisicamente mettiamo in oscillazione punti diversi dello spazio, dunque generiamo armoniche diverse Su tali concetti si basa tutta l acustica musicale. Noi percepiamo come piacevoli i suoni emessi contemporaneamente da due corde che hanno lunghezze che stanno tra loro in particolari rapporti (es: 1/2: accordo di ottava; 2/3: accordo di quinta, ecc.) Più sono presenti armoniche più è ricco il timbro del suono, più le armoniche tra due note all unisono sono uguali più il risultato è piacevole (non si hanno battimenti). 9

10 Effetto Doppler (sorgente sonora in moto rispetto all osservatore) Sorgente in quiete (f 0 ) La frequenza percepita dall osservatore (f) è diversa da quella emessa dalla sorgente (f 0 ) Sorgente in avvicinamento (f>f 0 ) Sorgente in allontanamento (f<f 0 ) Effetto Doppler Un osservatore in moto relativo rispetto a una sorgente di onde sonore percepisce il suono con una frequenza f diversa da quella f 0 emessa dalla sorgente. Nel caso di osservatore in quiete e sorgente in moto, lo scostamento in frequenza f = f - f 0, denominato Doppler shift, è dato da: f = ± 2v c f 0 dove c è la velocità del suono nel mezzo e v la velocità relativa della sorgente rispetto all osservatore. Il segno + (frequenza percepita maggiore di quella della sorgente) si ha per sorgente in avvicinamento. Il segno - (frequenza percepita minore di quella della sorgente) si ha per sorgente in allontanamento. 10

11 Se la direzione del movimento relativo non è parallela a quella del percorso acustico, il Doppler shift è dato da: f = 2v c f 0 cosθ dove θ è l angolo tra la direzione del moto ed il percorso acustico θ Direction of sound 11