Sommario. Corso di Statistica Facoltà di Economia. L'Algebra degli Eventi

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1 ommario Corso di tatistica Facoltà di Economia a.a francesco mola L algebra degli eventi Diagrammi di Venn Teoremi fondamentali Probabilità Condizionata ed Indipendenza tocastica Lezione n 16 a.a statistica-francesco mola 2 L'lgebra degli Eventi a) Unione o omma Logica fra due eventi e è quell'evento C che si verifica quando si verifica oppure oppure e contemporaneamente: C ( o ) b) Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi e è quell'evento D che si verifica quando si verifica sia sia contemporaneamente: D ( e ) a.a statistica-francesco mola 3 a.a statistica-francesco mola 4

2 Eventi particolari c) Negazione di un evento è quell'evento E che si verifica allorquando non si verifica: E ( non ) i può anche indicare con Evento Certo I: è l'evento che si verifica sempre; Evento Impossibile O/ : è l'evento che non può mai verificarsi; Evento Incompatibile: O/ a.a statistica-francesco mola 5 a.a statistica-francesco mola 6 Eventi particolari (cont.) lcune definizioni.. Evento Necessario: I Evento Elementare: per ogni si ha E oppure E O/ E pazio Campionario : è l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento. pazio degli Eventi: una classe di eventi ai quali si vuole assegnare una probabilità e che questa classe sia un'algebra, ovvero che contenga e O/ come elementi e sia chiusa rispetto alla complementazione e all'unione. a.a statistica-francesco mola 7 a.a statistica-francesco mola 8

3 lcune definizioni (cont.) Quando è costituito da un numero finito k di elementi, lo spazio degli eventi può essere rappresentato dall'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di ed ha cardinalità 2 k. Esempi lancio di una moneta pazio Campionario : sottoiniem i possibili di : O, / { T,C} {}{} T, C, numero totale di eventi 4 a.a statistica-francesco mola 9 a.a statistica-francesco mola 10 lancio di un dado Esempi Esempi lancio di un dado (cont.) pazio Campionario : { 1,2,3,4,5,6} sottoiniem i possibili di : n eventi 0/ 1 {}{}{} 1, 2, 3, L 6 { }{ } { } 15 sottoiniem i possibili di : n eventi { 1,2,3}{, 1,2,4},{ 1,2,5}, L 20 { 1,2,3,4}{, 1,2,3,5}, L 15 { 1,2,3,4,5}{, 1,2,3,4,6}, L 6 { 1,2,3,4,5,6} 1 1,2, 1,3, 1,4, L numero totale di eventi 64 a.a statistica-francesco mola 11 a.a statistica-francesco mola 12

4 Diagrammi di Venn Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono illustrate su un piano mediante grafici caratteristici detti Diagrammi di Venn nei quali lo spazio campionario viene disegnato come un rettangolo all'interno del quale vengono posti insiemi chiusi che rappresentano gli eventi. Non interessa l'esatto contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di essi e con lo spazio campionario. Diagrammi di venn pazio Campionario a.a statistica-francesco mola 13 a.a statistica-francesco mola 14 C D Diagrammi di venn C D C D O/ I postulati del Calcolo delle Probabilità I. Positività: La Probabilità di un evento è un numero unico maggiore di 0: P() 0. II.Certezza: La Probabilità dell evento certo e quindi dello pazio Campionario è sempre 1: P(I)P()1. III. Unione: e e sono eventi incompatibili, allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di e : O/ P( ) P() + P() a.a statistica-francesco mola 15 a.a statistica-francesco mola 16

5 Modello Probabilistico P(evento) 1 Consiste nell'insieme ipotizzato dei risultati possibili di una prova e nella descrizione delle probabilità assegnate a tali risultati.. D E C Uno spazio campionario al quale viene associata una funzione di probabilità P(.) è chiamato spazio probabilistico. 0 pazio Campionario : E' l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento. a.a statistica-francesco mola 17 Quando l assegnazione delle probabilità ad eventi soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene definita funzione di probabilità. a.a statistica-francesco mola 18 I Teoremi Fondamentali P( O) / 0 P( ) 1- P() I Teoremi Fondamentali (cont.) Generalizzazione al caso di 3 eventi P( C) Teorema delle Probabilità Totali P() + P() + P(C) - P( ) - P( ) P() + P() - P( ) P( C) P( C) + P( C) C C C a.a statistica-francesco mola 19 a.a statistica-francesco mola 20

6 Probabilità Condizionata La probabilità dell'evento, dato che si è verificato l'evento, è il rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di e e la probabilità di, se questa è diversa da zero: P() 0 P( ) P( ) P() Teorema delle Probabilità Composte Indipendenza tocastica Due Eventi e sono tocasticamente Indipendenti se: P( ) P() oppure P( ) P() P() P( ) P( ) P() P() P( ) a.a statistica-francesco mola 21 a.a statistica-francesco mola 22