Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2
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- Beniamino Ferrante
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1 Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 [1] Metodo di Bisezione gli estremi a e b di un intervallo reale trovi uno zero della funzione f(x) nell intervallo [a, b] usando il metodo di Bisezione. Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle seguenti condizioni sia soddisfatta l ampiezza dell intervallo al passo corrente [a k, b k ] è inferiore a TOL il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. f(x) = x 2 7 con [a, b] = [0, 5], TOL= e NMAX=200. Si facciano calcolare gli errori ad ogni passo e se ne commenti l andamento. [2] Metodo di Newton E k = x k 7 1 (derivata di f) un punto iniziale x 0 trovi uno zero della funzione f(x) usando il metodo di Newton x k+1 = x k f(x k) f (x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle seguenti condizioni sia soddisfatta il modulo della differenza tra il valore x k calcolato nel passo corrente e il valore x k 1 calcolato nel passo precedente è inferiore a TOL 1
2 il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. f(x) = x 2 7 con x 0 = 10, TOL= e NMAX=200. Si facciano calcolare gli errori ad ogni passo E k = x k 7 e se ne commenti l andamento. Valutare inoltre i rapporti E k+1 E k e E k+1 E 2 k f(x) = sin (x 2 ) con x 0 = 1/2, TOL=10 12, NMAX=200. Si facciano calcolare gli errori ad ogni passo E k = x k e si commenti il risultato. Applicare poi alla stessa funzione e con gli stessi parametri x 0, TOL, NMAX il metodo corretto e commentare i risultati. [3] Metodo di punto fisso x k+1 = x k 2 f(x k) f (x k ) una funzione g una funzione g1 (derivata di g) un punto iniziale x 0 trovi un punto fisso della funzione g(x) tramite il ciclo iterativo visto a lezione x k+1 = g(x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle due seguenti condizioni sia soddisfatta La stima dell errore è soddisfacente, cioè accade che g (x k ) < 1 e inoltre 2 x k+1 x k < TOL (1) 1 g (x k )
3 il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. Si applichi il metodo alle funzioni g 1 (x) = log (x) + 2 e g 2 (x) = e x 2, per i punti iniziali x 0 =..., TOL= 10 12, NMAX=200. In quali casi converge? Nei casi in cui c è convergenza, valutare i rapporti x k+1 α x k α Convergono a un qualche valore? Si sa dire a cosa corrisponde tale valore? Si applichi poi il metodo alle funzioni g 1 (x) = (1 p)x + 1 e g 2 (x) = x(2 px) p (0, 1), le quali hanno lo stesso punto fisso 1/p. La prima funzione ha un bacino di convergenza più grande (tutta la retta reale), ma la convergenza è solo lineare; la seconda funzione ha viceversa un bacino di convergenza più piccolo (l intervallo (0, 2/p)), ma la convergenza è quadratica. Per testare questo, applicare il programma ad entrambe le funzioni con entrambi i punti iniziali x 0 = 4/p e x 0 = 1/2p (TOL=10 12, NMAX=200). Confrontare i risultati. Converge? Quante iterazioni sono state necessarie? Confrontare inoltre ad ogni passo l errore stimato definito in (1) con l errore vero x k α, con α punto fisso verso cui si ha convergenza e commentare. [4] Combinazione di bisezione e Newton un intervallo [a,b] 1 (derivata di f) un numero massimo di iterazioni NMAX, cerca uno zero della funzione f(x) in [a, b] usando il metodo di bisezione, e si fermi qualora b k a k < TOL. Applicare sia il metodo di bisezione (con la scelta di intervallo [ 15, 20]) che il metodo di Newton (con punto iniziale 20), entrambi con TOL = 10 14, alla seguente funzione f(x) = arctg(x). (2) 3
4 Commentare i risultati. Sono soddifacenti in entrambi i casi? Cercare di ideare un terzo metodo numerico, che combini bisezione e Newton per ottenere un risultato migliore di quelli sopra. Tale metodo dovrebbe ideare un metodo che applichi bisezione un certo numero di volte per avvicinarsi, e poi utilizzi Newton (quando abbastanza vicini) per convergere rapidamente. Testarlo applicandolo al caso sopra indicato. Un possibile metodo è: Implementare un metodo di bisezione Sia x k = (a k + b k )/2 il punto medio calcolato ad ogni passo del metodo di bisezione. Il nuovo metodo calcola, ad ogni passo, anche s 0 = x k, s 1 = s 0 f(s 0 )/f (s 0 ), s 2 = s 1 f(s 1 )/f (s 1 ), dove f rappresenta la derivata di f. Se si verifica s 2 s 1 < θ s 1 s 0, con θ fissato pari a 1, si considera il metodo di Newton (con punto iniziale x k ) come potenzialmente convergente. In tal caso, si termina la bisezione e si itera un metodo di Newton come gia implementato, con punto iniziale s 2. Si osservi che questo metodo non è infallibile in quanto la valutazione al punto precedente potrebbe considerare il metodo di Newton come convergente anche qualora non lo sia. Si può scegliere una costante θ più piccola per avere una maggior sicurezza (ma una minore rapidità di convergenza). [5] Un problema di matematica finanziaria. La funzione f(x) = B(1 + x) n R (1 + x)n 1, x > 0 x rappresenta il prestito rimanente quando si è ricevuto un prestito iniziale B, sono passati n anni ed è stato applicato un tasso di interesse x (dunque x [0, 1]), restituendo R alla fine di ogni anno. Il valore x tale che f(x ) = 0 rappresenta il tasso di interesse che vorremmo fosse applicato affinchè dopo n anni si estingua il debito. Risolvere l equazione con il metodo di Newton. Applicare il metodo usando i dati B = , R = 12000, n = 10, in altre parole simulando il caso di un prestito di euro, con restituzione di euro alla fine di ogni anno per 10 anni. Utilizzare TOL = e un punto iniziale x 0 intelligente. [6] Equazione di stato dei gas. Il volume occupato da un gas V a una temperatura T e pressione p obbedisce alla legge: [ p + a ( ) ] 2 N (V Nb) = knt V 4
5 a, b= coefficienti caratteristici del gas considerato N= numero delle molecole nel volume V k = JouleK 1 costante di Boltzman Esempio: per l anidride carbonica a = 0.401Pa m 6, b = m 3. Si applichi il metodo di Newton con test di arresto per calcolare il volume (in m 3 ) di N = 1000 molecole di anidride carbonica a temperatura T = 300K e pressione p =
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