Esercitazione 8. Soluzione Il rendimento di una macchina di Carnot in funzione delle temperature è: η = 1 T 2 T 1 = = 60%

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1 Esercitazione 8 Esercizio 1 - Macchina di arnot Una macchina di arnot assorbe una certa quantità di calore Q 1 da una sorgente a temperatura T 1 e cede calore Q 2 ad una seconda sorgente a temperatura T 2 = 40%T 1. Determinare il rendimento η della macchina, il lavoro compiuto durante il ciclo e il calore ceduto. Il rendimento di una macchina di arnot in funzione delle temperature è: η = 1 T 2 T 1 = = 60% Il lavoro compiuto nel ciclo è L = ηq 1 ; il calore assorbito è Q 2 = Q 1 (1 η). Esercizio 2 - Isocora irreversibile Una mole di gas perfetto monoatomico compie un ciclo tra gli stati ABA, secondo le seguenti trasformazioni: A B isoterma reversibile, B isobara reversibile e A isocora irreversibile, durante la quale il sistema viene riportato nello stato A mediante il solo scambio di calore Q A (L A = 0 J). Disegnare il ciclo nel piano PV, calcolare il calore scambiato in ciascuna trasformazione e il calore totale (in modulo e segno), calcolare il lavoro compiuto in ciascuna trasformazione e il lavoro totale (in modulo e segno). Dati: V A = 5 l, V B = 10 l, P A = 1 atm, P B = 0.5 atm. Le quantità richieste sono espresse dalle relazioni: A B : Q AB = L AB = nrt A ln V B = P A V A ln V B B : Q B = nc P (T T B ) = nc P (T T A ) L B = P B (V V B ) = P B (V A V B ) A : L A = 0 Q A = nc V (T A T ) = P A V A ln 2 = J Dove, utilizzando l equazione di stato dei gas perfetti nello stato A e imponendo T V nella trasformazione B : = cost. Quindi: { TA = P AV A nr = K V T = T V B VB = T A A VB = 1 2 T A A B : Q AB = J L AB = J B : Q B = J L B = J A : Q A = J L A = 0 ciclo ABA : Q tot = J L tot = J Nota bene: Q tot =L tot, infatti in un ciclo U tot =0J.

2 Esercizio 3 - iclo reversibile Una mole di gas perfetto monoatomico compie il seguente ciclo: A B isoterma reversibile, B isocora reversibile, A compressione adiabatica reversibile. Disegnare il ciclo nel piano PV, calcolare il calore totale scambiato e il rendimento η del ciclo. Dati: T A = 400 K, V B = 2V A. La temperatura T si ricava utilizzando l adiabatica A: T V γ 1 ( ) γ 1 = T A V γ 1 A T = T A = V Il calore totale scambiato in ciascuna trasformazione è: Q AB = L AB = nrt A ln V B = nrt A ln 2 Q B = nc V (T T B ) = nc V (T T A ) Q A = 0 ( ) 2/3 1 T A = K 2 Quindi il calore totale scambiato è Q tot = Q AB + Q B + Q A = 459 J. Infine il rendimento del ciclo è: η = L Q ass = Q tot Q AB =20%

3 Esercizio 4 - Trasformazioni reversibili Una mole di gas perfetto monoatomico è nello stato A (T A = 300 K, V A = 1 l). Il gas compie le seguenti trasformazioni reversibili: A B isoterma fino a V B = 3V A, B isocora fino a T = K e D compressione adiabatica fino a V D = V A. Disegnare le trasformazioni nel piano PV, determinare P (atm), V (l) e T (K) in ognuno dei 4 stati e determinare, in modulo e segno, il calore scambiato, il lavoro compiuto e la variazione di energia interna di ogni trasformazione. Se inoltre D A, calcolare il rendimento η del ciclo. Stato A: Stato B: T A = 300 K; V A = 1 l; P A = nrt A V A = Pa Stato : Stato D: T B = T A = 300 K; V B = 3V A = 3 l; P B = nrt B V B T = K; V = 3V A = 3 l; P = nrt V = P A 3 = Pa = Pa T D V γ 1 A = T (3V A ) γ 1 T D = 3 2/3 T = 300 K; = T A ; V D = V A = 1 l; P D = P A quindi lo stato D A. alori scambiati: Lavori compiuti: Q AB = L AB = nrt A ln V B = J Q B = nc V (T T B ) = nc V (T T A ) = J Q A = 0 L AB = Q AB = J L B = 0 J L A = U A = nc V (T T A ) = Q B = J Variazioni di energia interna: U AB = 0 J U B = Q B = J U A = Q B = J Nota bene: U tot = 0 (ciclo). Il rendimento del ciclo è: η = L Q ass = Q tot Q AB = 1 Q B Q AB = 29%

4 Esercizio 5 - Entropia Una mole di gas perfetto monoatomico compie un ciclo formato dall isoterma AB (V B = 5V A ), da un isocora B e da un adiabatica A. Disegnare il ciclo nel piano PV e determinare la variazione di entropia lungo l isocora B. Il ciclo è reversibile, dunque S tot = 0; inoltre essendo S A = 0 (adiabatica): S tot = S AB + S B = 0 S B = S AB Infine: B δq A S B = A T = dl B T = nr dv V B V = R ln 5 Esercizio 6 - Entropia e trasformazione irreversibile Tre moli di un gas perfetto monoatomico si trovano alla pressione P A e alla temperatura T A. In seguito ad una trasformazione irreversibile, il gas si porta in una nuova situazione di equilibrio B, nella quale il volume è raddoppiato e la temperatura è pari a 3 2 T A. alcolare la variazione di entropia del gas. L entropia è una funzione di stato, dunque la sua variazione non dipende dal tipo di trasformazione che connette lo stato iniziale allo stato finale. Poiché la trasformazione irreversibile non ci consente di utilizzare l integrale di lausius per il calcolo della S, supponiamo che i due stati A e B siano connessi dalle seguenti trasformazioni reversibili (vedi figura): A adiabatica (isoentropica) e A isocora. La temperatura dello stato si ottiene dall adiabatica A : T A V γ 1 A La variazione di entropia è allora: S AB = S B = B δq T = B = T V γ 1 T = 2 2/3 T A du T = nc V TB T dt T = nc V ln T B = 9 [ ] 3 T 2 R ln = J/K 2 1/3

5 Esercizio 7 - Entropia e trasformazione irreversibile Una mole di H 2 (gas perfetto) in equilibrio termodinamico alla temperatura T 1 = 100 K occupa il volume V 1 = 10 l. Tale sistema subisce una trasformazione che lo porta ad uno stato finale caratterizzato dalla temperatura T 2 = 600 K e dal volume V 2 = 100 l. alcolare la variazione di entropia dell ambiente nei seguenti casi: a. la trasformazione è reversibile; b. la trasformazione è irreversibile e viene effettuata mettendo a contatto il gas con una sorgente termica a temperatura = 750 K e lasciando espandere il gas contro una pressione esterna P 0 = 0.49 atm. a. Se la trasformazione è reversibile la variazione di entropia dell universo è nulla, quindi le variazioni di entropia di ambiente e gas sono uguali e opposte: Infine, utilizzando il primo principio: S U = S a + S g = 0 S a = S g 2 δq 1 S a = 1 T = pdv + nc V dt 2 T 1 dv = nr 2 V + nc V 1 2 dt T = J/K b. Se la trasformazione è irreversibile non è possibile utilizzare l integrale di lausius; tuttavia, poiché l ambiente è costituito da un serbatoio: S a = Q a = Q g = P 0 V + nc V T = J/K

6 Esercizio 8 - Gas reale Un gas reale di massa m = 15 g, c P = cal/g, γ = 1.31 esegue il seguente ciclo di trasformazioni reversibili a partire da = 20 : isocora 0 1 fino a T 1 = 300, isobara 1 2 fino a T 2 = 500, adiabatica 2 3 e isoterma 3 0. Disegnare il ciclo nel piano PV e calcolare il rendimento η ed il lavoro durante il ciclo. Il rendimento del ciclo è: Il calore assorbito è: η =1 Q c Q a =1 Q 30 Q 01 + Q 12 Q 01 = U 01 = mc V (T 1 ) = m c P γ (T 1 ) = cal Q 12 = mc P (T 2 T 1 ) = 630 cal Per il calcolo del calore ceduto Q 30 si può utilizzare l integrale di lausius (il ciclo è reversibile), sapendo che S = 0 in un ciclo: da cui S = 0 = 1 Il rendimento è quindi η = δq 2 T + δq 1 T + Q 30 = m c P γ ln Q 30 = mc P ln [ T1 ] + mc P ln [ ] T γ 1 1 T 2 T γ = cal 0 [ T2 T 1 ] + Q 30 Il lavoro è pari al calore totale scambiato durante il ciclo ( U = 0 in un ciclo): L = Q tot = Q 01 + Q 12 + Q 30 = cal NB: Nei calcoli la temperatura va espressa in K.

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