LEZIONE 2.6. corso di statistica. Francesco Lagona Università Roma Tre. LEZIONE 2.6 p. 1/15

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1 LEZIONE 2.6 p. 1/15 LEZIONE 2.6 corso di statistica Francesco Lagona Università Roma Tre

2 LEZIONE 2.6 p. 2/15 variabili aleatorie continue consideriamo la distribuzione del fatturato mensile in una popolazione di aziende redditi (migliaia di euro) il reddito x di un individuo estratto casualmente da tale popolazione (sotto l ipotesi che tutti gli individui hanno la stessa probabilità di essere estratti) è la determinazione di una variabile aleatoria continua X con di probabilità f(x) = 0 x < x < x < x < 20 0 x 20

3 LEZIONE 2.6 p. 3/15 dalla alla probabilità redditi (migliaia di euro) redditi (migliaia di euro) P(5 < X < 7) = P(7 < X < 14) = f(x)dx = (7 5) = f(x)dx = (10 7) (14 10) = 0.686

4 LEZIONE 2.6 p. 4/15 dalla funzione di ripartizione alla probabilità F(x) x F(x) = x f(x)dx = P(X x)

5 LEZIONE 2.6 p. 5/15 valore atteso e varianza EX = σ 2 = = xf(x)dx =EX 2 E 2 X (x EX) 2 f(x)dx x 2 f(x)dx E 2 X P( X EX > ε) σ2 ε 2 P( X EX ε) 1 σ2 ε 2

6 dall istogramma alla normale 4 classi x 20 classi x 10 classi x classi x LEZIONE 2.6 p. 6/15

7 LEZIONE 2.6 p. 7/15 variabile aleatoria normale diciamo che una variabile aleatoria continua X a valori sulla retta reale (, + ) si distribuisce come una normale di parametri µ e σ 2, e scriviamo X N(µ,σ 2 ) se, comunque preso un intervallo della retta (a,b) la probabilitaà di osservare l evento (a < X < b) è data da P(a < X < b) = b a f(x;µ,σ 2 )dx dove f(x;µ,σ 2 ) = 1 2πσ 2 e 1 2σ 2 (x µ) 2 è una funzione di normale di parametri µ e σ 2

8 LEZIONE 2.6 p. 8/15 la normale N(µ, σ 2 ) di probabilità µ σ µ µ + σ la normale di parametri µ e σ 2 è una curva di forma campanulare con punto di massimo assoluto in x = µ punti di flesso in x = µ±σ se X N(µ,σ 2 ) allora il valore atteso e la varianza di X sono rispettivamenti dati da µ e σ 2

9 la normale al variare della varianza al variare della media LEZIONE 2.6 p. 9/15 di probabilità di probabilità

10 LEZIONE 2.6 p. 10/15 la normale standardizzata ponendo µ = 0 e σ 2 = 1 si ottiene la normale standardizzata N(0,1): f(z) = 1 2π e z2 2 la funzione di ripartizione della normale standardizzata è data da Φ(z) = P(Z < z) = z 1 2π e 1 2 z2 dz N(0,1) Φ(z) z 0 z

11 LEZIONE 2.6 p. 11/15 probabilità sotto N(0,1) le tavole della normale contengono i valori di Φ(z) per z > 0 per la simmetria della normale N(0,1) si ha che: Φ( z) = 1 Φ(z) N(0,1) N(0,1) z z 0 quindi le tavole della normale consentono di conoscere i valori di Φ(z) per qualunque valore di z se Z N(0,1), allora P(a < Z < b) = P(Z < b) P(Z < a) = Φ(b) Φ(a)

12 LEZIONE 2.6 p. 12/15 uso della normale standardizzata teorema: se X N(µ,σ 2 ) allora la variabilez ottenuta standardizzando la variabile aleatoria X Z = X µ N(0,1) σ si distribuisce secondo una normale standardizzata possiamo utilizzare questo risultato per trasformare le aree sotto una qualunque normale in aree equivalenti sotto la normale standardizzata: X N(µ,σ 2 ) Z N(0,1) P(a < X < b) =P( a µ < X µ < b µ σ σ σ ) = P(a µ σ ( ) ( ) b µ a µ =Φ Φ σ σ < Z < b µ σ )

13 LEZIONE 2.6 p. 13/15 esempio supponiamo che X N(10,4) la probabilità P(8 < X < 12) =P( 8 10 < Z < ) = P( 1 < Z < 1) 2 2 =Φ(1) Φ( 1) = Φ(1) (1 Φ(1)) = 2Φ(1) 1 = = N(0,1) N(0,1)

14 approssimazione della binomiale supponiamo che X Bin(n,p) allora, quando n è molto alto, Bin(n,p) N(np,np(1 p)) quindi P(a < X < b) b+0.5 a πnp(1 p) e 1 2 ( ) u np np(1 p) du xxx LEZIONE 2.6 p. 14/15

15 LEZIONE 2.6 p. 15/15 esempio si estraggono con ripetizione n = 100 palline da un un urna contenente per il 30% palline blu qual è la probabilità di ottenere tra 30 e 40 palline blu? X Bin(100,0.3) U N( , ) P(30 X 40) = 40 k= ( 100 ) 0.3 k k k 29.5 ( ) 1 e 1 u du 2π P(29.5 < U < 40.5) = P ( < Z < )

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