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1 Pagina 1 di 7 Versione 3/12/99 Posiiziionii nell ttempo Come descrivere il moto di un oggetto? La domanda può avere almeno due risposte: Quali sono le sue posizioni nel tempo; Quali le sue velocità nel tempo. SISTEMI DI RIFERIMENTO Un ciclista si muove lungo una strada rettilinea; come possiamo individuare la posizione del ciclista in un certo istante? Occorre definire un sistema di riferimento, ovvero fissare una unità di misura; un punto origine O; un verso di percorrenza. Nell'esempio considerato, si vede che il ciclista si trova 12 chilometri a destra dell'origine O. Questa affermazione è possibile solo grazie alla presenza di un sistema di riferimento. figura 1 Nella figura 2, ad esempio, lo stesso sistema di riferimento viene usato per determinare la posizione del ciclista in un altro istante; in questo caso la posizione è di 2,5 chilometri a sinistra dell'origine, ovvero di -2,5 chilometri. figura 2 figura 3

2 Pagina 2 di 7 Versione 3/12/99 Il sistema di riferimento rappresentato da un grafico, come in figura 2, non va confuso con il cammino realmente percorso dal ciclista. In figura 3, si vede una rappresentazione del cammino reale percorso, con salite, discese, curve Un grafico come quello di figura 2, al contrario, è uno strumento che consente di rappresentare il sistema di riferimento. A questo punto possiamo affermare che: quando un movimento avviene su una linea, eventualmente curva, la posizione dell'oggetto che si muove può essere descritta da un sistema di riferimento costituito da un asse x, da un punto origine O e da una certa unità di misura. Normalmente la posizione di un corpo in moto è indicata con un asse s su cui si individua una coordinata s (coordinata posizione). figura 4 Un criterio analogo si usa per determinare la posizione di un corpo in un piano. In questo caso si usano due assi, asse x e asse y. In figura 5, ad esempio, i punti P e Q hanno coordinate P(5, 1.5) e Q(3, -4) Per analogia possiamo estendere il metodo individuando una terna di assi, x, y, e z, nello spazio, come in figura 6. figura 5

3 Pagina 3 di 7 Versione 3/12/99 figura 6 UN SISTEMA DI RIFERIMENTO PER IL TEMPO In figura 7 si vede un sistema di riferimento dove l'asse descrive lo scorrere del tempo. Supponiamo di seguire lo sviluppo di una piantina a partire dall'istante in cui il seme si apre. Definiamo tale istante come origine O e stabiliamo che l'unità di misura sia una giornata di 24 ore. Ad ogni divisione dell'asse corrisponde una certa configurazione della piantina. figura 7 Anche nel caso di un asse temporale t, possiamo usare i valori negativi; tali valori corrispondono ad eventi accaduti prima dell'evento da noi definito come iniziale, con decisione arbitraria. Gli istanti con valore negativo, ad esempio, corrispondono alle varie fasi di sviluppo del seme prima dell'apertura. Un asse temporale, quindi, è un vero e proprio "orologio orizzontale" che descrive il passare del tempo. figura 8

4 Pagina 4 di 7 Versione 3/12/99 giorni cm cm giorni figura 9 Un asse dei tempi t può essere combinato con un altro asse ad esso perpendicolare nell'origine, al fine di rappresentare in due dimensioni un certo fenomeno che si evolve nel tempo. In figura 9 l'asse verticale rappresenta l'altezza della piantina nei giorni successivi all'istante iniziale. Le coordinate di ogni punto verde sul grafico (t, altezza) ci forniscono tutte le informazioni necessarie per descrivere l'evolversi della situazione; la stessa funzione può essere svolta, anche se in modo visivamente meno efficace, dalla tabella che si vede a fianco del grafico. STORIA DELLE IDEE Rappresentare con assi cartesiani La possibilità di rappresentare valori di una grandezza su assi cartesiani ha come presupposto che ci siano tanti punti sulla retta quanti valori della grandezza da rappresentare. Questo non era dato per scontato nel mondo greco antico, e di fatto non sarà scontato fino a un secolo fa, per cui il metodo, che noi chiamiamo cartesiano, non aveva avuto sviluppo nel mondo antico. Fino a quasi tutto il Medioevo rappresentare il tempo su un asse è un operazione inusuale. Il primo uso moderno di un riferimento cartesiano applicato a grandezze non solo spaziali, come il tempo, si può far risalire al nome di Nicola di Oresme, attivo a Parigi nel XIV secolo. Ma una sistematica applicazione del metodo delle coordinate è legata al nome di Reneè Descartes (Cartesio) nella Francia del XVI secolo. RAPPRESENTARE POSIZIONI NEL TEMPO: I GRAFICI (T,S) t, s s, m La combinazione di un asse s (posizioni nello spazio a una dimensione) e di un asse t (istanti di tempo) consente di descrivere il variare della posizione al passare del tempo. In figura 10 all'asse di figura 1, si è figura 10

5 Pagina 5 di 7 Versione 3/12/99 unito un asse temporale perpendicolare. Si ottiene un sistema di riferimento piano le cui coordinate ci informano sull'evoluzione del movimento. Il punto (12, 7), ad esempio ci informa che al tempo 7 ore il ciclista si trova al chilometro 12. s, m t, s Per ragioni che saranno più chiare in seguito, l'asse temporale t si pone come asse orizzontale, mentre l'asse s delle posizioni si dispone come asse verticale. Utilizzando questi criteri, la figura 10 si trasforma nella figura 11. figura 11 STRUMENTI Il piano (t,s) Il piano cartesiano (t,s) è diverso da quello reale che rappresenta ad esempio una carta geografica, la pianta di una città o la planimetria di una casa. Infatti nel piano (t,s): - Ogni punto non è un punto dello spazio, ma uno stato, cioè l insieme di due cose: una posizione assunta da un oggetto, un istante di tempo in cui assume quella posizione. s s s 0 O A t 0 t=t-t 0 B t s=s-s 0 t La lettera D La lettera (delta maiuscola dell alfabeto greco) è spesso usata in matematica e in fisica con il significato di incremento, cioè di differenza tra un valore finale e uno iniziale di una grandezza qualunque. Così, se T 1 è la temperatura delle ore 6 e T 2 quella delle 18, T vale T 2-T 1 e sta per l incremento di temperatura tra le 6 e le 18. Ad esempio in figura il punto A=(t 0,s 0 ) è lo stato iniziale di un moto, in cui l oggetto si trovava sulla retta in posizione s 0 all istante t 0 ; mentre B=(t,s) è lo stato finale, in cui l oggetto si trova nella posizione s all istante t. - Ogni distanza orizzontale rappresenta un intervallo di tempo che chiameremo t (leggi: «delta t») e che, con riferimento alla figura, vale t=t-t 0. - Ogni distanza verticale rappresenta uno spazio percorso che chiameremo s e che, con riferimento alla figura, vale s=s-s 0. - Una linea o un segmento che congiunge due stati (punti) è un movimento. Cosa rappresenta una retta verticale? Se pensiamo che essa congiunge tutti gli stati caratterizzati dallo stesso istante di tempo, possiamo rispondere che una retta verticale rappresenta un preciso istante temporale in tutto lo spazio.

6 Pagina 6 di 7 Versione 3/12/99 Cosa rappresenta una retta orizzontale? Se pensiamo che essa congiunge tutti gli stati caratterizzati dalla stessa posizione spaziale, possiamo dire che una retta orizzontale rappresenta un preciso luogo in tutti gli istanti, passati, presenti e futuri. I grafici (t, s) sono uno strumento molto efficace di rappresentazione e visualizzazione; il grafico di figura 12, ad esempio, descrive in modo sintetico il comportamento abbastanza complesso di un corpo in movimento: 1) dall'istante iniziale t=0 all'istante t 0, il corpo è fermo nella posizione s 0 ; 2) dall'istante t 0 all'istante t 1 il corpo avanza e raggiunge il punto s 1 ; 3) dall'istante t 1 all'istante t 2 il corpo si muove arretrando fino a tornare nel punto s 0. Esempio. Data una serie di coppie (t,s), rappresentarle graficamente e tracciare la linea spezzata che li congiunge. figura 12 Tempo,s Posizione, m Posizione, m Tempo, s Riassumendo Le posizioni nel tempo di un oggetto sono definite: - nello spazio, rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali (x, y, z). In questo modo la posizione è una terna di coordinate (x P, y P, z P ) che rappresenta un punto P dello spazio, riferito all origine O. - nel piano, rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali (x, y). In questo modo la posizione è una coppia di coordinate (x P, y P ) che rappresenta un punto P del piano, riferito all origine O. - su una linea (retta o curva), rispetto a un asse x (eventualmente curvo). In questo modo la posizione P è un numero reale x P che rappresenta un punto della linea.

7 Pagina 7 di 7 Versione 3/12/99 La terna di assi (x, y, z), la coppia di assi (x, y) o l asse x, rispetto ai quali si determinano le posizioni, si chiamano sistemi di riferimento rispettivamente a tre, a due e a una dimensione. Noi per ora considereremo solo sistemi di riferimento a una dimensione per movimenti su linee rette. Dunque la posizione sarà indicata da una sola variabile che per chiarezza chiameremo s e misureremo, se non specificato, in metri. Anche il tempo, come lo spazio, può essere riportato su una retta e quindi su un grafico cartesiano. In tal modo si possono seguire i fenomeni variabili col tempo nella descrizione grafica. L insieme di due assi cartesiani per la rappresentazione del tempo sulle ascisse e della posizione sulle ordinate costituisce il piano (t, s). I grafici nel piano (t, s) con i loro punti descrivono gli stati di un oggetto. Oltre che con i grafici nel piano (t, s) il moto di un corpo è descritto dalla sua legge oraria. Una funzione di primo grado s(t) = vt, ad esempio, descrive il moto rettilineo uniforme. Oltre alle posizioni nel tempo, le linee contengono informazioni sulla velocità, che è la pendenza delle curve. Un oggetto che si muove con velocità costante è rappresentato da una linea retta e la sua velocità è la pendenza della retta. Anche la velocità in un istante di un movimento può essere descritta graficamente: essa è rappresentata dalla pendenza della tangente alla curva nel grafico (t, s). Se associamo all asse dei tempi un asse che rappresenti le velocità di un oggetto abbiamo il piano (t, v), nel quale si possono studiare più agevolmente i moti non uniformi, nei quali la velocità varia. I grafici nei piani (t, v) infatti permettono di trovare lo spazio percorso in un moto, equivalente all area sotto la curva.