Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI. Concetti di base sulla trasformata zeta

Transcript

1 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Concetti di base sulla trasformata zeta

2 Concetti di base sulla trasformata zeta Definizione e proprietà Principali trasformate Scomposizione in fratti semplici 2

3 Concetti di base sulla trasformata zeta Definizione e proprietà

4 Definizione La trasformata (unilatera) zeta della sequenza di valori reali f (k ) : N R èla funzione della variabile complessa z definita (quando esiste) da: F ( z) f ( k) f ( k) z, z Δ { } = Z = k k = 0 4

5 Proprietà principali (1/4) Linearità Siano f 1 (k ) ed f 2 (k ) due funzioni aventi rispettivamente trasformata zeta F 1 (z ) ed F 2 (z ) e c 1, c 2 due costanti reali. Allora: { } Z cf( k) + cf ( k) = cf( z) + cf( z)

6 Proprietà principali (2/4) Ritardo nel tempo di h passi Siano f (k ) e F (z ) una sequenza e la sua trasformata zeta rispettivamente ed h un intero positivo. Allora: h Z f ( k h) = z F ( z) { } In particolare, se h = 1 Z { } 1 = f ( k 1) z F ( z) 6

7 Proprietà principali (3/4) Anticipo nel tempo di h passi Siano f (k ) e F (z ) una sequenza e la sua trasformata zeta rispettivamente ed h un intero positivo. Allora: Z f k h z F z z f k h h ( + ) = ( ) 1 k ( ) k = 0 { } In particolare, se h = 1 Z { } f ( k + 1) = zf ( z) zf (0) 7

8 Proprietà principali (4/4) Prodotto di convoluzione Siano f 1 (k ) ed f 2 (k ) due sequenze, aventi trasformata zeta F 1 (z ) ed F 2 (z ) rispettivamente. Allora il loro prodotto di convoluzione definito come: f ( k) f ( k) f ( k j) f ( j) f ( j) f ( k j) j = 0 j = 0 ammette trasformata zeta k = = { } Z f ( k) f ( k) = F ( z) F ( z) k 8

9 Teoremi principali (1/2) Teorema del valore finale Sia f(k ) una sequenza con trasformata zeta F(z ). Si supponga che il prodotto: ( z 1) F ( z) non abbia radici del denominatore con modulo maggiore o uguale ad uno, allora lim f ( k) = lim( z 1) F ( z) k z 1 9

10 Teoremi principali (2/2) Teorema del valore iniziale Sia f(k ) una sequenza con trasformata zeta F(z ). Allora: lim f ( k) = lim F ( z) k 0 z 10

11 Concetti di base sulla trasformata zeta Principali trasformate

12 Principali trasformate unilatere (1/2) f ( k ) F ( z) δ ( k ) ε ( k ) k k( k 1) ( k + 1), > 0! 1 z z 1 z ( z 1)

13 Principali trasformate unilatere (2/2) f ( k ) F ( z) z k a z a k z a k, > 0 ( ) z a + 1 z sin( ϑ) sin ( ϑk ), ϑ R 2 z 2cos( ϑ) z + 1 cos ( ϑk ), ϑ R z( z cos( ϑ)) 2 z 2cos( ϑ) z + 1 k n, n A, A R z ( zi A) 1 13

14 Concetti di base sulla trasformata zeta Scomposizione in fratti semplici

15 Scomposizione di funzioni razionali fratte Se F(z ) è una funzione razionale fratta, per la sua antitrasformazione si può procedere con la scomposizione in fratti semplici come nel caso della trasformata di Laplace Tuttavia, come si può osservare dalle tabelle, le trasformate zeta elementari sono caratterizzate dall avere in evidenza a numeratore il termine z Esempi: z 0.1z, z ( z ) 2 15

16 Esempio Consideriamo la funzione z 5 4 F ( z) = = ( z 0.5)( z 0.4) z 0.5 z 0.4 Z Z = z = z 0.4???? 16

17 Esempio: osservazione I termini del tipo R z a non compaiono nelle tabelle delle trasformate zeta 17

18 Procedimento Si può procedere come segue: Si considera dapprima la funzione F ( z) = F ( z) z Si procede alla scomposizione della funzione F ( z ) come nel caso della trasformata di Laplace Si moltiplica la scomposizione ottenuta per z 18

19 Esempio: continuazione Esempio: z F ( z) = ( z 0.5)( z 0.4) F ( z) 1 F ( z) = = = z ( z 0.5)( z 0.4) = z 0.5 z ( ) = z z F z z F ( z) = z 0.5 z

20 Esempio: antitrasformazione F ( z) 10z 10z = z 0.5 z 0.4 A questo punto è possibile antitrasformare ottenendo: 1{ } 1 10z 10z f ( k) = Z F ( z) = Z = z 0.5 z 0.4 ( k k ) = ε ( k ) 20

21 Il caso delle radici complesse coniugate Il calcolo dei residui della decomposizione in fratti semplici è chiaramente identico al caso della trasformata di Laplace L unico accorgimento riguarda la coppia di radici complesse coniugate a = σ +jω, a* = σ jω Anche in questo caso si ha una coppia di fratti: Rz + z-a * R z * z-a Che si antitrasforma complessivamente come k ( ) 2 R a cos ( a)k+ R 21