Dinamica del Corpo Rigido

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1 Dinamica del Corpo Rigido ESERCIZI Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.1 Si determini il numero di atomi contenuti in un blocchetto di rame di volume V = 1 cm 3, sapendo che la densità del rame è ρ Cu = 8, 96 g/cm 3 e la sua massa atomica è M Cu = g/mol. Si ricordi che il numero di Avogadro vale N A = 6, mol 1.

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.2 Calcolare il centro di massa di una bacchetta rettilinea di lunghezza l e densità lineare costante ρ l. 0 l x

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.3 Calcolare il centro di massa di un semianello rigido omogeneo di raggio R e densità lineare costante ρ l. y O θ R u r x

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un disco omogeneo di massa M e raggio r che può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro. Il momento d inerzia del disco vale I = 1/2 Mr 2. Sul bordo del filo è avvolto un filo inestensibile che non slitta rispetto al disco e sostiene un punto materiale di massa m. Si calcolino: Le equazioni del moto del sistema; Esercizio 7.4 L espressione della tensione del filo. r M m

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.5 Si consideri un blocco di massa M 1 = 400 g appeso e collegato tramite una fune inestensibile ad un blocco M 2 = 200 g poggiato su un piano orizzontale liscio. La fune è avvolta su una carrucola reale di raggio R = 2. 5 cm e momento d inerzia I = kg m Calcolare l accelerazione con sui si muovono i blocchi. M 2 M 1

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si calcoli il momento d inerzia di un asta sottile omogenea, di massa m e lunghezza d, rispetto ad un asse z ortogonale passante per: Il suo centro O; Un suo estremo O. Esercizio 7.6 z z O O

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.7 Si calcoli il momento d inerzia di un anello omogeneo, di massa m e raggio R, rispetto ad un asse z passante per il centro dell anello e ortogonale al piano dell anello. Si estenda il calcolo ad un guscio cilindrico sottile.

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.8 Si calcoli il momento d inerzia di un disco sottile omogeneo, di massa m e raggio R, rispetto ad un asse z passante per il centro del disco e ortogonale al piano del disco. Si estenda il calcolo ad un cilindro pieno.

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.9 Si consideri un sistema composto da due sfere di massa M, connesse da un asta omogenea di lunghezza d e massa M. 1. Calcolare il momento d inerzia totale del sistema rispetto ad un asse passante per il centro dell asta e a questa ortogonale.

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.10 Si valutino le velocità dei punti A e B in figura. r A A B ω r B r C C

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.11 Si consideri un disco rigido di massa m = 5 kg e raggio r = 0. 2 m che rotola senza strisciare su un piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico vale μ s = Al CM del disco è applicata una forza F = 21 N, nella direzione del moto. Si calcolino: 1. Il valore del momento costante che bisogna applicare all asse del disco per avere la stessa accelerazione del CM; 2. Il valore della forza di attrito statico nel caso con e senza momento applicato.

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un asta rigida di massa m = 2. 4 kg e lunghezza d = 0. 4 m, posata sopra un piano orizzontale liscio e collegata in un estremo ad un asse verticale. In un intervallo di tempo Δt = 0. 2 s viene applicato all asse un momento e l asta entra in rotazione, descrivendo un giro completo in un tempo T = 10 s. Si calcolino: 1. L impulso angolare; 2. Il valor medio del momentoapplicato nel tempo Δt; 3. L impulso della forza. Esercizio 7.12

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.13 Si consideri un anello di massa M e raggio R che ruota senza strisciare lungo un piano inclinato con θ = Determinare l espressione dell accelerazione del corpo rigido.

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.14 Si consideri un anello di massa M e raggio R che ruota senza strisciare fino alla base di un piano inclinato, partendo da fermo alla quota h = 20 cm. 1. Determinare la velocità finale dell anello, adottando un approccio «energetico».

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.15 Si consideri uno yo-yo (approssimabile ad un disco di massa M e raggio R), tirato da un cordino di tensione T. 1. Calcolare l accelerazione del CM. T P

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un cilindro pieno di massa m 1 = 20 kg e raggio r = m, che rotola senza strisciare su un piano orizzontale. All asse del cilindro è applicato un momento costante M = 30Nm ed è appeso, tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile passante per una carrucola ideale, un corpo di massa m 2 = 10 kg. Si calcolino: 1. L accelerazione del CM; 2. La tensione del filo; Esercizio Il minimo valore ammesso per il coefficiente di attrito.

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.17 Una piattaforma costituita da un disco di massa m = 200 kg e raggio R = 2 m ruota senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il centro. Una persona di massa m = 60 kg si muove dal bordo verso il centro in direzione radiale. Quando la persona è sul bordo ω = 5 rad/s. 1. Calcolare la velocità angolare quando l uomo si trova ad una distanza r = R/4 dal centro.

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.18 Si consideri un pendolo composto, costituito da un asta di lunghezza l e massa m, libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo O. Inizialmente l asta è ferma in posizione verticale. 1. Determinare l espressione per l impulso, ortogonale all asta, che si deve applicare a distanza r l da O, in modo da dar compiere all asta una rotazione di 90. O ԦJ

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.19 Un asta di massa m = 4. 2 kg e lunghezza l = 0. 8 m è posta in posizione verticale. Ad un certo momento l asta cade, ruotando attorno all estremo C (che non si muove) in contatto con il pavimento. Si calcolino: 1. La velocità del punto P al momento dell urto; 2. L accelerazione dell estremo P opposto a C dell asta.

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.20 Una scala da pompieri di lunghezza L = 12 m e massa m = 45 kg è appoggiata con l estremo B ad un muro ad altezza h = 9. 3 m., e con l altro estremo A al suolo. L attrtito sul muro in B è nullo, mentre in A c è attrito. Il CM della scala si trova a 1/3 della sua lunghezza (dal basso). Un vigile di massa M = 72 kg si arrampica sulla scala sino a metà percorso. 1. Determinare le forze che agiscono sul muro e sul pavimento se la scala non si muove.

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri una cassaforte di massa M = 430 kg, sospesa ad una fune fissata all estremità della struttura in figura. Tale struttura, avente dimensioni a = 1. 9 m, b = 2. 5 m, è formata da una barra omogenea di massa m = 85 kg, incernierata in O ad una parete verticale e tenuta inclinata da un cavo di acciaio lungo b e di massa trascurabile. Si calcolino: La tensione T 2 della fune; Esercizio 7.21 La forza complessiva agente sul vincolo O.

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.22 Si consideri un asta di legno lunghezza L = 5 m e massa M = 5 kg, appoggiata su un basamento per 2/3 della sua lunghezza. Sopra l asse si muove un uomo di massa m = 70 kg. Calcolare la massima posizione dove può posizionarsi l uomo senza che si ribalti l asse.

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.23 Si consideri una sbarra metallica di lunghezza L = 3 m e peso P 1 = 200 N incernierata in un muro. Sulla sbarra è posizionato un oggetto di peso P 2 = 300 N, posto a distanza x dal muro. La sbarra è sostenuta da un filo di tensione massima 500 N ed inclinato di 30 rispetto l orizzontale. Si calcolino: 1. Il massimo valore di x affinché non si rompa il filo; 2. La forza agente sul perno nel muro.

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.24 Determinare la condizione d equilibrio per una carrucola sospesa. Si trascurino massa della carrucola e dei fili. T F 1 F 2

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.25 Si consideri un pendolo composto formato da un due aste come in figura di massa e lunghezza rispettivamente m 1, l 1 e m 2, l 2. Il polo O è posto nell estremo della prima asta. 1. Calcolare il periodo per piccole oscillazioni; 2. Si valuti il caso per cui m 1 = m 2 = m e l 1 = l 2 = l. O l 1 l 2

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si considerino due masse m 1 e m 2 (con m 2 > m 1 ) attaccate ad un filo ideale posto attorno ad una carrucola di massa m. Si calcolino: L accelerazione delle masse; La forza che deve sostenere il perno nel centro della carrucola. Esercizio 7.26 m R m 1 m 2

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.27 Calcolare il centro di massa di un corpo rigido bidimensionale omogeneo a forma di triangolo isoscele di base b ed altezza h, con densità superficiale σ, sapendo che l elemento di superficie del triangolo si può esprimere come ds y = l y dy = b/h h y dy.

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Una piastra quadrata ed omogenea, di lato 6d = 6m, ha un ritaglio quadrato di lato 2d e centro posto in (2m, 0m), avendo scelto l origine al centro della piastra. 1. Trovare le coordinate del CM. Esercizio 7.28

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.29 Si calcoli il momento d inerzia di una sfera piena omogenea, di massa m e raggio R, rispetto ad un asse z passante per il centro della sfera (coindcidente con un diametro). Si valuti il calcolo per una sfera cava.

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un disco di massa m = 6 kg e raggio R = 0. 2 m posto in un piano orizzontale che ruota con velocità angolare ω = 12 rad/s attorno ad un asse verticale distante a = 0. 1 m dal suo centro. Si calcolino: 1. La forza che deve essere esercitata dai supporti sull asse per permettere la rotazione; 2. Il momento della forza peso rispetto al punto O per il quale passa l asse di rotazione; 3. L energia cinetica del disco; Esercizio Se, partendo da fermo, il disco deve raggiungere la velocità di regime in 4 s, che momento costante bisogna applicare? 5. Quanto vale l accelerazione tangente del CM durante la fase di accelerazione?

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.31 Si consideri un cilindro omogeneo di massa m e di raggio r in movimento sotto l'azione della forza peso lungo un piano scabro inclinato di un angolo θ rispetto all'orizzontale. Determinare i valori permessi per il coefficiente di attrito statico μ s tra il piano ed il cilindro, affinché questo rotoli senza strisciare. q

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.32 Una sfera di raggio R = 50 cm e massa M = 2 kg rotola senza strisciare su di un piano inclinato di θ = 30. Determinare: 1. L accelerazione del centro di massa; 2. La forza di attrito statico; Sapendo che nella posizione iniziale la sfera possiede un'energia cinetica totale di 35 J, determinare: 3. La velocità iniziale del centro di massa; 4. L energia cinetica della sfera dopo che essa ha percorso un tratto d = 1 m sul piano inclinato.

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.33 Un cilindro di raggio R = 10 cm e massa M = 5 kg è posto su di un piano orizzontale scabro. In corrispondenza del centro del cilindro, è scavata una sottilissima fenditura, in modo tale da ridurre in quella zona il raggio al valore r = 6. 6 cm; si supponga che questo fatto non alteri il momento d inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F 1 e F 2 = N. 1. Determinare il valore di F 1 affinché il cilindro resti in equilibrio. 2. All istante t = 0, F 1 cessa di agire. Nell ipotesi che il cilindro rotoli senza strisciare, determinare il valore della forza di attrito e il minimo valore di μ s che consente il puro rotolamento. F 2 F1 F A r R

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.34 Una molla di costante elastica k = 30 N/m è collegata tramite una staffa di massa trascurabile all asse di un cilindro di massa m e raggio R, mentre l altra estremità è fissata. Tutto il sistema è appoggiato in quiete su un piano orizzontale scabro con la molla allungata di L = m dalla sua posizione di riposo. Si sblocca la molla e il cilindro rotola senza strisciare. 1. Determinare l energia cinetica di traslazione e di rotazione del cilindro, quando la molla raggiunge la posizione di riposo. 2. Una volta scritte le equazioni del moto del cilindro, determinare l espressione della forza di attrito necessaria affinché esso rotoli senza strisciare e del periodo del moto armonico con cui si muove il suo centro di massa. L 0 X

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.35 Una molla di costante elastica k = 100 N/m è posta su un piano scabro inclinato di 30 rispetto all orizzontale e ha un estremo fissato ad una parete posta alla fine del piano inclinato. L altro estremo della molla è attaccato all asse orizzontale passante per il centro di massa di un disco di massa m = 4 kg e raggio r. Il sistema è inizialmente tenuto fermo con la molla compressa di un tratto Δx = 0. 6 m rispetto alla sua posizione di riposo. Lasciando libero il sistema, si vede che il disco rotola senza strisciare sul piano inclinato. Calcolare: 1. L accelerazione del disco nell istante iniziale; 2. Il valore minimo del coefficiente di attrito affinché il moto del disco sia sin dall inizio di puro rotolamento; 3. Supponendo che la molla cessi di agire nell istante in cui raggiunge la lunghezza di riposo, calcolare la velocità del disco in quell istante. Y F A mg F EL X

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.36 Un cilindro di raggio R e massa M = 2 kg è posto su un piano orizzontale. Attorno al cilindro è avvolto un filo inestensibile, che passa sulla gola di una carrucola ideale ed è collegato ad una massa m = 3 kg come in figura. Inizialmente il sistema è mantenuto fermo. Ad un certo istante la massa m viene lasciata libera di muoversi e il cilindro immediatamente rotola senza strisciare. Determinare: 1. L accelerazione del centro di massa del cilindro; 2. La forza di attrito statico; 3. Il minimo coefficiente di attrito statico che consente il puro rotolamento.

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.37 Una carrucola non omogenea di raggio r = 25 cm è vincolata, con vincolo ideale, a ruotare attorno ad un asse fisso orizzontale coincidente con un suo asse di simmetria e passante per il suo centro di massa. Una corda inestensibile e di massa trascurabile aderisce alla gola della carrucola ed ha appesi agli estremi due punti materiali m A = 1. 6 kg e M B = 1. 7 kg. Se si abbandona il sistema inizialmente in quiete con i due punti A e B alla stessa quota, si osserva che, dopo un tempo t = 2 s, la quota di A supera di h = 80 cm quella di B. Determinare: 1. La differenza di tensione fra i due tratti verticali della corda. 2. Il momento di inerzia della carrucola rispetto all'asse di rotazione. A B

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.38 Una sbarretta uniforme di massa M = 1. 5 kg e lunghezza L = 1 m è libera di ruotare in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale senza attrito passante per un suo estremo. Sulla sbarretta è fissato, a distanza d = L dal perno, un punto materiale di massa m = 0. 2 kg. La sbarretta inizialmente ferma in posizione orizzontale, viene lasciata cadere. Determinare: 1. La posizione del centro di massa del sistema; 2. L accelerazione angolare iniziale del sistema e l accelerazione tangenziale iniziale dell estremità destra della sbarretta; 3. La velocità del centro di massa quando il sistema raggiunge la posizione verticale. O m

40 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.39 Un disco di raggio R = 0. 4 m può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro fissato ad un piano. Sul disco è avvolto un filo ideale che passa nella gola di una carrucola priva di massa, alla cui estremità è appeso un corpo di massa m = 0. 5 kg. Inizialmente il sistema è in quiete; ad un certo punto viene lasciato libero e il corpo scende di 10 m in Δt = 2 s. Determinare: 1. L accelerazione di m; 2. Il numero di giri compiuti dal disco in Δt; 3. La tensione del filo; 4. Il momento di inerzia del disco; 5. L energia cinetica del disco all istante T = 2 s. m

41 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 7.40 Un disco omogeneo di massa M = 4m = 12 kg e raggio R = 0. 2 m può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il suo centro O. Sul bordo del disco è avvolta una fune inestensibile e di massa trascurabile, al cui estremo è collegato un corpo di massa m posto su un piano liscio inclinato di α = 30. Determinare: Il modulo a dell accelerazione con cui scende il corpo di massa m lungo il piano inclinato; La tensione della fune; Il numero di giri compiuto dal disco quando il corpo di massa m ha percorso un tratto x = m, nell ipotesi che il corpo fosse inizialmente fermo. M a