Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo ANALISI ARMONICA

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1 Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo ANALISI ARMONICA Luigi Biagiotti DEIS-Università di Bologna Tel lbiagiotti@deis.unibo.it

2 Analisi armonica di sistemi dinamici Analisi nel dominio del tempo. Studio del comportamento dinamico di un sistema (soluzione delle equazioni differenziali lineari, p.e. basata sulla trasformazione di Laplace). Deduzione della risposta dei sistemi lineari ad eccitazioni tipiche. Tale procedura di analisi viene comunemente detta analisi nel dominio del tempo. y(t) Tempo (t) Analisi armonica. Un altro metodo per lo studio dei sistemi di controllo lineari è l'analisi nel dominio della frequenza o analisi armonica. Diverso modello matematico dei sistemi lineari: la funzione di risposta armonica. Magnitude (db) Diagrammi di Bode Phase (deg) Frequency (rad/sec) AnArm -- 2

3 Analisi armonica La funzione di risposta armonica costituisce una rappresentazione dei sistemi lineari stazionari strettamente legata alla funzione di trasferimento e pertanto equivalente alle equazioni differenziali (con sistemi inizialmente in quiete). Spesso è però più vantaggiosa per alcune sue caratteristiche, principale fra le quali è l'attitudine ad essere rilevata sperimentalmente: la funzione di risposta armonica rappresenta, rispetto all'equazione differenziale, un modello matematico di più agevole identificazione a partire da dati sperimentali. Verranno di seguito: analizzate le proprietà delle funzioni di risposta armonica dei sistemi del primo e del secondo ordine; presentati metodi per la deduzione e la rappresentazione delle funzioni di risposta armonica più generali, come: i diagrammi di Bode, i diagrammi polari (di Nyquist), i diagrammi di Nichols, che rivestono un ruolo fondamentale nella progettazione dei dispositivi per modificare e migliorare il comportamento dinamico dei sistemi in retroazione. AnArm -- 3

4 La definizione della funzione di risposta armonica si fonda su una proprietà caratteristica dei sistemi lineari stazionari: se si applica a un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile il segnale di ingresso x(t) = X sin(ω t) esaurito il transitorio (in condizione di regime stazionario periodico) l'uscita varia pure con legge sinusoidale caratterizzata dalla stessa pulsazione ω e può pertanto essere espressa con la relazione y(t) = Y(ω) sin(ω t + φ(ω)) G(s) AnArm -- 4

5 Si studia la risposta di un sistema ad un ingresso sinusoidale in quanto si può dimostrare che qualsiasi segnale periodico f(t) può essere espresso come una combinazione lineare di segnali sinusoidali: Risultato fondamentale: Una qualunque funzione periodica di periodo può essere rappresentata mediante la serie di Fourier Formulazioni alternative: Forma esponenziale Relazione tra i coefficienti delle formulazioni: Forma trigonometrica AnArm -- 5

6 Calcolo dei coefficienti: Dato che per ogni t o, n > 0 (integrale sul periodo di funzione periodiche), si ha che Quindi Ovvero: AnArm -- 6

7 Definizioni: componente continua armoniche 1 a armonica (fondamentale): k a armonica: peso del modulo della k a armonica sfasamento della k a armonica AnArm -- 7

8 Se il segnale f(t) non fosse periodico, si può ricorrere alla TRASFORMATA DI FOURIER Data una funzione (a valori reali o complessi) si definisce Trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come AnArm -- 8

9 Trasformata inversa: complessa reale Coniugata di AnArm -- 9

10 La relazione tra f(t) e F(j ω) risulta biunivoca e quindi le due rappresentazioni hanno lo stesso contenuto informativo La funzione F(j ω) viene detta anche spettro di f(t) F(j ω) è detto spettro di ampiezza arg{f(j ω) } è detto spettro di fase La relazione mette in evidenza come il segnale f(t) sia scomponibile in una infinità non numerabile di componenti sinusoidali dette armoniche La trasformata di Fourier rappresenta una estensione ai segnali non periodici del risultato ottenuto per segnali periodici con lo sviluppo in serie di Fourier AnArm -- 10

11 Relazione tra Trasformata di Fourier e Trasformata di Laplace Nella condizioni di convergenza della trasformata di Laplace (ovvero funzione temporale nulla per tempi negativi ed ascissa di convergenza di F(s) a valori negativi), le due trasformate soddisfano la relazione Si può verificare che i coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici si possono ottenere campionando la relativa trasformata di Fourier alle pulsazioni n ω 0 AnArm -- 11

12 Ha quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali r n cos(n ω 0 t + φ n ) y(t) =??? G(s) Ipotesi: G(s) asintoticamente stabile (poli della funzione tutti a parte reale negativa) Si può dimostrare che un sistema lineare asintoticamente stabile se sollecitato con un ingresso sinusoidale a regime presenta un uscita avente la stessa frequenza AnArm -- 12

13 L'ampiezza dell'uscita e l'angolo di fase rispetto all'ingresso sono in generale funzioni della pulsazione ω del segnale di ingresso. 5 x(t), y(t), ω=1 0 transitorio x(t), y(t), ω= y(t) -1 x(t) Tempo (sec) regime AnArm -- 13

14 Si definisce funzione di risposta armonica la funzione F(ω), di variabile reale e a valori complessi: Tale funzione, in virtù della linearità del sistema, è indipendente da X Essa descrive completamente il comportamento del sistema in condizione di regime periodico alle varie frequenze ed è definita nel dominio 0 < ω <. AnArm -- 14

15 In relazione alla funzione di risposta armonica vale il seguente teorema. Teorema (regime sinusoidale dei sistemi lineari stazionari) Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte reale negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione. La funzione di risposta armonica F(ω) è legata alla funzione di trasferimento G(s) dalla relazione AnArm -- 15

16 Dimostrazione: Avendo i poli a parte reale negativa, il sistema è asintoticamente stabile, cioè la sua risposta ad ogni perturbazione tende ad annullarsi per t tendente all'infinito. La trasformata di Laplace del segnale d ingresso x(t) = X sen(ω t) è mentre quella del segnale di uscita, a partire da una condizione iniziale di quiete, è data dalla relazione I poli della funzione a secondo membro sono gli stessi della funzione di trasferimento G(s), più quelli corrispondenti al segnale di ingresso: p 1 = j ω e p 2 = -jω. Nell'antitrasformata i primi corrispondono a un termine transitorio y 0 (t) e gli altri a un termine permanente y p (t) che, come si verificherà, è sinusoidale. AnArm -- 16

17 Da Si può scrivere in cui K 1 e K 2 sono i residui corrispondenti ai poli p 1 e p 2 : Poichè vale la relazione F(s ) = F (s), si può scrivere in cui è φ(ω) = arg G(jω). Data l'ipotesi di stabilità asintotica, per t sufficientemente elevato si può trascurare il termine transitorio y 0 (t). AnArm -- 17

18 Da Si ottiene infine da cui la definizione (già vista) di funzione di risposta armonica Funzione complessa di variabile reale ω: il modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza ω; l argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita AnArm -- 18

19 Si hanno le seguenti due fondamentali proprietà: 1) Dato che la risposta all'impulso e la funzione di trasferimento si corrispondono biunivocamente attraverso le operazioni di trasformazione e antitrasformazione secondo Laplace, si ha che: La risposta all'impulso di un sistema lineare asintoticamente stabile determina univocamente la sua risposta armonica. AnArm -- 19

20 2) Poiché tutti i poli di un sistema lineare asintoticamente stabile si trovano nel semipiano sinistro del piano complesso, l'ascissa di assoluta convergenza della funzione di trasferimento è non positiva. Quindi l'integrale di inversione per σ 0 = 0, esiste ed è uguale a g(t). Poiché la relazione G(-jω) = G (jω) permette di estendere la definizione della funzione di risposta armonica alle pulsazioni negative, è possibile il calcolo dell'integrale. Si ha pertanto: La risposta armonica di un sistema lineare asintoticamente stabile determina univocamente la sua risposta all'impulso. AnArm -- 20

21 Osservazione importante: il legame tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica assume un grande significato pensando che quest ultima si presta ad una identificazione sperimentale (analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali) lineare stazionario asint. stabile ?? * * Valore del modulo e argomento di alla frequenza AnArm -- 21

22 Modellistica fisica Sperimentazione Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica?? Vedremo, studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento AnArm -- 22

23 Deduzione della risposta armonica dalla risposta all'impulso e viceversa Si è precedentemente notato che in un sistema asintoticamente stabile (in cui l'ascissa di convergenza della funzione di trasferimento è negativa) si ottengono le relazioni che definiscono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier rispettivamente delle funzioni g(t) e G(jω). Si noti che la funzione data dal primo integrale è complessa: indicandone con R(ω) e I(ω) le parti reale e immaginaria, si ha e quindi il calcolo dell'integrale si può ricondurre a quello di due integrali reali. AnArm -- 23

24 Deduzione della risposta armonica dalla risposta all'impulso e viceversa Anche per il secondo integrale ci si può ricondurre a un integrale di funzione reale usando la proprietà G(-jω) =G (jω). Infatti vale la relazione Il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari è una funzione pari, mentre il prodotto di una funzione pari per una funzione dispari è una funzione dispari. L'integrale da - a + di una funzione pari è uguale al doppio dell'integrale da 0 a + della stessa funzione; l'integrale da - a + di una funzione dispari è nullo. AnArm -- 24

25 Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Analisi Armonica FINE Luigi Biagiotti DEIS-Università di Bologna Tel lbiagiotti@deis.unibo.it