SOLUZIONI Data la funzione. = x. a) scrivi qual è il dominio di f

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1 . Data la funzione a) scrivi qual è il dominio di f SOLUZIONI f ) ( b) scrivi quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni con gli assi d) studia il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio, determinando eventuali asintoti e) calcola la derivata prima e scrivi quali sono gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente, determinando eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale f) calcola la derivata seconda e scrivi quali sono gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l alto e quelli in cui la concavità è verso il basso, determinando eventuali flessi g) disegna un grafico approssimativo in un opportuno sistema di riferimento a) Il dominio è dato dagli per i quali 0, cioè tutti i numeri reali tranne e -. Quindi D R {,-}. b) Si tratta di studiare quando > 0. Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Il numeratore è positivo per < - oppure >, negativo per - < <. Il denominatore è positivo per < - oppure >, negativo per - < < Di conseguenza: f() > 0 per < - oppure - < < oppure > ; f() < 0 per - < < - oppure < <. c) Le intersezioni con l asse sono determinate dalle soluzioni del sistema y y 0 Sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene 0, da cui si ottengono i valori e. Dunque vi sono due intersezioni, date dai punti A(,0) e B(-,0). Le intersezioni con l asse y sono determinate dalle soluzioni del sistema

2 y 0 Sostituendo la seconda equazione nella prima, si ottiene y. Dunque vi è un unica intersezione, data dal punto C(0,). d) Dobbiamo calcolare i seguenti sei iti: f( ), f( ), f ( ), f ( ), f ( ), f( ) I primi due iti danno luogo alla forma indeterminata /, che risolviamo come segue: e La retta y è dunque un asintoto orizzontale. Inoltre, + perché il numeratore tende ad un numero finito, il denominatore tende a 0 e la funzione è positiva a sinistra di -; + perché il numeratore tende ad un numero finito, il denominatore tende a 0 e la funzione è negativa a destra di -; perché il numeratore tende ad un numero finito, il denominatore tende a 0 e la funzione è negativa a sinistra di ; + + perché il numeratore tende ad un numero finito, il denominatore tende a 0 e la funzione è positiva a destra di. Dunque le rette - e sono asintoti verticali. e) La derivata è data da ( f ( ) ) ( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ( ) ) 8 ( )

3 Di conseguenza, f ( ) > 0 se e solo se -8 > 0, cioè < 0. Quindi la funzione è crescente nell insieme (, ) (,0 ) e decrescente in ( 0,) (, + ). Nel punto di ascissa 0 (e quindi ordinata y f(0) ) vi è un massimo relativo. f) La derivata seconda è data da 8 ( f ( ) 8( ) ( 8 ( ( ) )( ( ) + ) 8( )) 8( )(3 ( ) + ). ) ( + 3 ( ) Dato che i termini 8(3 + ) e ( ) sono sempre positivi (all interno del dominio), si ha che f ( ) > 0 se e solo se > 0, cioè < - oppure >. Quindi il grafico della funzione rivolge la concavità verso l alto negli intervalli (, ) e (, + ) e verso il basso nell intervallo (-,). Comunque i punti di ascissa - e non sono flessi perché non appartengono al dominio della funzione. g) )

4 . In un laboratorio viene osservata la crescita di una colonia di batteri sottoposta ad un certo medicinale. Si nota che ad una prima rilevazione il numero di batteri è cresciuto del 30% ed a una successiva rilevazione di un ulteriore 0% rispetto alla precedente. a) Calcola la percentuale di crescita media dei batteri (cioè la percentuale di crescita che, se applicata sia alla prima che alla seconda rilevazione, restituirebbe lo stesso numero finale di batteri). b) Supponendo che alla fine dell esperimento la colonia consiste in, 0 batteri, dire quanti batteri vi erano all inizio dell esperimento. a) Per calcolare la percentuale media di crescita dei batteri calcoliamo la media geometrica degli incrementi. Il primo incremento è dato da,3 ed il secondo da,. La media geometrica è dunque data da M g,3,,08, che dunque corrisponde ad un aumento medio del, %. b) Poniamo quantità iniziale di batteri. Dopo la prima rilevazione il numero di batteri è cresciuto a R batteri ed alla seconda rilevazione il numero di batteri diventa R R +,, Ora la traccia ci dice che R, 0 e quindi da cui quindi 3 milioni di batteri.,,3, 0, 0,,3 3 0,

5 3. Data la funzione f ( ) + cos( ), a) trova l equazione della retta r tangente al suo grafico nel punto di ascissa 0, b) trova l equazione della retta s parallela ad r e passante per il punto A(,). a) La retta r ha coefficiente angolare dato da m f (0). Troviamo quindi la derivata di f: f ( ) (( + ) ( + ) / ) cos( cos( + ) + ( + ) cos( ) + (cos( ) + + sen( + ( sen( ) )) )) Dunque m f (0) cos(0 ) sen(0 ). 0 + Pertanto la retta avrà equazione y + q, con q da determinare imponendo che r passi per il punto del grafico della funzione di ascissa 0. Ci serve trovare l ordinata di tale punto, che è data da f(0) 0 + cos(0 ). Sostituendo le coordinate di tale punto nell equazione della retta si ottiene 0 + q, da cui q. Quindi l equazione della retta è y +. b) La retta s ha come coefficiente angolare lo stesso di quello di r, in quanto le due rette sono parallele. Quindi s ha equazione della forma y + q. Per determinare l intercetta, dobbiamo imporre che la retta passi per il punto A(,), cioè + q da cui q 0.

6 . Negli ultimi anni si è assistito ad una diminuzione del numero delle immatricolazioni alle università. C è chi ritiene che tale diminuzione possa dipendere dai tagli all università operati dai precedenti governi, che hanno causato una riduzione del numero dei docenti universitari e quindi della qualità del servizio. Nella tabella è riportato il numero (espresso in migliaia) di docenti e di studenti immatricolati in ciascuno degli anni dal 00 al 0. docenti studenti 00, , , , , , 80 a) Verificare che vi è correlazione tra le due variabili b) Dire qual è il numero di studenti che è ragionevole prevedere qualora il numero di docenti diminuisca ulteriormente a 55 mila unità. a) Denotiamo con la variabile numero di docenti e con y la variabile numero di studenti. Un semplice calcolo mostra che la media dei valori delle è data da 0, 3 e la media dei valori delle y è data da y 9. Per capire se vi è correlazione tra le due variabili, calcoliamo il coefficiente di correlazione. A tal fine organizziamo i dati nella seguente tabella: i y i y ( i ) ( y i y ) ( i ) ( y i y ),7,9 0,,, 7,8,5 -,3-5,0 0, 0, 0, -, -,7 3 5,5-3,9-5, 5, somma: 3,0 somma: 5 somma:, Il coefficiente di correlazione è dunque dato da ( i )( yi y ) i,, r 0,8. 3,0 5 38, ( ) ( y y ) i i i i Vi è dunque una buona correlazione tra le due variabili. b) Al fine di rispondere all ultima domanda calcoliamo l equazione della retta di regressione. Essa ha equazione y m + q, dove ( i )( yi y ) i, m 3,3. 3,0 ( ) i i Determiniamo q imponendo il passaggio per il baricentro M (, y ) : y m + q, da cui q y m 9 3,3 0,3 97,0. Dunque l equazione della retta di regressione è

7 y 3, Tale retta esprime una relazione lineare tra le due variabili. Utilizzando tale relazione funzionale, possiamo estrapolare un possibile valore del numero degli studenti qualora il numero dei docenti scendesse a 55 mila: Quindi studenti. f(55) 3, ,5.