B = Si studi, giustificando sinteticamente le proprie affermazioni, la stabilità del sistema. si A = G(s) = Y f (s) U(s) = 1.

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1 ESERCIZIO 1 Un sistema dinamico lineare invariante e a tempo continuo è descritto dall equazione differenziale che lega l ingresso all uscita:... y (t) + ÿ(t) + 4ẏ(t) + 4y(t) = u(t) 1. Si determinino le quattro matrici (A, B, C, D) della rappresentazione di stato del sistema che si ottiene scegliendo come variabili di stato x 1 = y, x 2 = ẏ e x 3 = ÿ. Scegliendo x 1 = y, x 2 = ẏ e x 3 = ÿ come le tre variabili di stato del sistema, si ottiene: ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t) ẋ 3 (t) = x 3 (t) 4x 2 (t) 4x 1 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) con A = B = 1 C = [ 1 ] D = 2. Si studi, giustificando sinteticamente le proprie affermazioni, la stabilità del sistema. si A = s 1 s s 1 Il polinomio caratteristico associato alla matrice A è quindi: s 3 + s 2 + 4s + 4 = (s + 1)(s 2 + 4) da cui si deduce che il sistema non è asintoticamente stabile ma solo semplicemente stabile per la presenza di un autovalore reale e negativo e di due autovalori sull asse immaginario. In alternativa, per lo studio della stabilità si poteva usare anche il criterio di Routh. 3. Si determini la funzione di trasferimento, G(s), del sistema e se ne individuino guadagno, tipo, poli e zeri. La funzione di trasferimento del sistema si ottiene ad esempio trasformando con Laplace le equazioni di stato con stato iniziale nullo ed è: Il guadagno è: µ =.25 Il tipo è: g = I poli sono: s 1 = 1, s 2 = 2j, s 3 = 2j Non vi sono zeri. G(s) = Y f (s) U(s) = 1 (s + 1)(s 2 + 4) 4. Si consideri la risposa forzata allo scalino unitario del sistema e se ne valutino il valore iniziale, i valori iniziali delle derivate prima e seconda e, se possibile, il valore finale.

2 Per il Teorema del valore iniziale applicato alla funzione e alle sue derivate prima e seconda, y f () =, ẏ f () = e ÿ f () =. Il Teorema del valore finale non è applicabile e infatti la funzione a regime ha un andamento puramente sinusoidale non smorzato.

3 ESERCIZIO 2 Si consideri il seguente schema a blocchi: y o + - L(s) y 1. Si enunci il criterio di Bode, indicando con precisione quali siano le ipotesi di applicabilità dello stesso. Se sussitono le seguenti ipotesi la funzione di trasferimento d anello L(s) non ha poli nel semipiano destro aperto; il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza della funzione di trasferimento d anello L(s) taglia una e una sola volta, dall alto verso il basso, l asse a db. possiamo enunciare il criterio di Bode come segue: il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se il guadagno della funzione di trasferimento d anello L(s) è positivo ed il margine di fase è positivo. 2. Dati i seguenti diagrammi di Bode del modulo e della fase della funzione di trasferimento d anello L(s): 4 Diagramma di Bode - Modulo -8 Diagramma di Bode - Fase db -2 gradi pulsazione pulsazione si spieghi, motivando la risposta, se è applicabile il criterio di Bode. Dall analisi dei diagrammi di Bode del modulo e della fase si osserva che in 1 rad/s è presente un polo a parte reale positiva. Il criterio di Bode non è quindi applicabile. 3. Sempre con riferimento alla funzione di trasferimento d anello del punto precedente, si studi la stabilità del sistema in anello chiuso con il criterio di Nyquist. Il diagramma di Nyquist è riportato in figura:

4 5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis -2 Dall analisi del diagramma di Nyquist si osserva che la curva compie un giro in senso antiorario intorno al punto 1. Dall analisi dei diagrammi di Bode del modulo e della fase si osserva invece che è presente un solo polo nel semipiano destro aperto (in 1 rad/s). Si ha quindi N = P d = 1 e il criterio di Nyquist permette di concludere che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 4. Si scrivano le istruzioni MATLAB necessarie a visualizzare i diagrammi di Bode del modulo e della fase, ed il diagramma di Nyquist di una generica funzione di trasferimento d anello L(s). Le istruzioni MATLAB necessarie per visualizzare i diagrammi di Bode del modulo e della fase, ed il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento d anello L(s) sono: L = tf(...,... ); bode(l), grid nyquist(l), grid

5 ESERCIZIO 3 Si consideri lo schema di controllo in anello chiuso rappresentato in figura y - + e R(s) u G(s) y dove G(s) = 1 s(s + 1). 1. Si progetti un regolatore R(s) in modo che il sistema in anello chiuso soddisfi le seguenti specifiche: (a) sia asintoticamente stabile (b) in presenza di un segnale di riferimento y (t) = ram(t) l errore e(t) = y (t) y(t) sia nullo; (c) il margine di fase sia ϕ m 6 ; (d) la pulsazione critica sia ω c.1 rad/s. Progetto statico: G(s) contiene già un polo nell origine quindi per soddisfare il vincolo sull errore a transitorio esaurito basta introdurre un altro polo nell origine, fornito dal regolatore PI. µ R > rimane quindi un parametro libero da daterminarsi nel progetto dinamico. Progetto dinamico: in figura sono riportati i diagrammi di Bode di: L 1 (s) = 1 s 2 (1 +.1s) 5 Diagramma di Bode - Modulo -5 db pulsazione La pulsazione critica è ω c = 1 rad/s mentre il margine di fase è negativo. Modifichiamo la funzione d anello utilizzando lo zero del regolatore PI, T I = 1, e scegliendo µ R = 5. L(s) = Si ottengono i diagrammi di Bode di figura: 5(1 + s) s 2 (1 +.1s)

6 6 Diagramma di Bode - Modulo 4 2 db pulsazione La pulsazione critica diventa ω c = 4 rad/s mentre il margine di fase cresce, grazie all anticipo di fase dello zero del regolatore, ed arriva a ϕ m = 5, risultando così pienamente sufficiente per soddisfare le specifiche. Il regolatore PI progettato ha quindi fdt: R(s) = 5(1 + s) s

7 2. Si scriva l espressione generale della funzione di sensitività di un sistema di controllo, se ne tracci approssimativamente il diagramma di Bode del modulo asintotico per il presente esercizio e si spieghi tra quali delle variabili rappresentate nello schema a blocchi la funzione di sensitività è la funzione di trasferimento. Q(s) = R(s) 1 + L(s) Il diagramma di Bode del modulo asintotico è riportato in figura:

8 4 Diagramma di Bode - Modulo 2 db pulsazione

9 ESERCIZIO 4 Si consideri il sistema dinamico a tempo discreto di funzione di trasferimento: G(z) = z z 2 z 6 1. Si determinino guadagno e tipo della funzione di trasferimento. 2. Si ricavi lespressione analitica (y(k) = ) della risposta del sistema allo scalino unitario. 3. Con il teorema del valore iniziale, si calcoli il valore per k = della risposta del sistema allo scalino unitario e lo si confronti con il valore che si ottiene dall espressione ricavata al punto precedente.

10 4. Si scriva l espressione della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento G(z) per ϑ = π/2.

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