ESERCITAZIONI N. 3 corso di statistica

Transcript

1 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 1/18 ESERCITAZIONI N. 3 corso di statistica Marco Picone Università Roma Tre

2 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 2/18 Introduzione Media e Varianza Covarianza e Correlazione Retta di regressione

3 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 3/18 Media e Varianza Caratteri qualitativi quantitativi sconnessi/ordinati discreti/continui Uguaglianza/disuguaglianza si si Ordinamento no/si si Addizione e sottrazione no si Data la distribuzione unitaria di una variabile quantitativa X x 1...x i...x n,

4 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 4/18 Media e Varianza La media aritmetica di X è data dal rapporto tra il totale n x i e il numero n delle unità rilevate: x = 1 n x i, mentre la varianza di X è la media dei residui quadratici dalla media aritmetica s 2 = 1 (x i x) 2.

5 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 5/18 Media e Varianza Altri risultati da ricordare sono: n (x i x) = 0 n (x i a) 2 = n (x i x) 2 +n( x a) 2 se Y = a+bx, allora ȳ = a+b x e s 2 y = b 2 s 2 x la variabile z i = x i x s x è definita variabile standardizzata ed ha media 0 e varianza 1. proprietà associativa: se A è la composizione di X (n elementi) e Y (m elementi) allora ā = n x+mȳ n+m

6 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 6/18 Media e Varianza Nel caso i dati sono disponibili attraverso una distribuzione di frequenze assolute o relative, si ha s 2 = 1 x = 1 n K k=1 K x k n k = k=1 K x k f k k=1 (x k x) 2 n k = n K (x k x) 2 f k k=1

7 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 7/18 Media e Varianza In alternativa, la varianza puo essere calcolata attraverso la formula ( ) s 2 = n 1 x 2 i x 2 n nel caso di una distribuzione unitaria o, piu in generale, nel caso di una distribuzione di frequenze s 2 = n ( 1 n ) K x 2 k n k x 2 k=1 = n ( K ) x 2 k f k x 2. Nel caso in cui una variabile e stata suddivisa in classi, media e varianza verrano calcolate sostituendo ad ogni classe il suo valore centrale. La radice quadrata della varianza si chiama deviazione standard. k=1

8 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 8/18 Esercizio 1 Si calcoli media e varianza della variabile X nelle tre seguenti situazioni con n = 24: x k n k x k f k classi [ 3, 2) [ 2, 0.5) [0.5, 2) [2, 5] 0.15 f k

9 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 9/18 Esercizio 1 - Soluzione Caso 1 x = 1 K n k=1 x kn k = 1.58 ( s 2 = n 1 ) K n k=1 x2 k n k x 2 Caso 2 x = K k=1 x kf k = 5.40 ( K k=1 x2 k f k x 2 ) s 2 = n Caso 3 x = K k=1 x kf k = 0.51 s 2 = n ( K k=1 x2 k f k x 2 ) = = = 3.15

10 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 10/18 Esercizio 2 Se la durata media delle telefonate che facciamo giornalmente è di 5 minuti, con una deviazione standard di 3 minuti, quanto sarà il costo medio delle telefonate e la sua deviazione standard se paghiamo 5 cent al minuto con 10 cents di scatto alla risposta? Soluzione. Dato t = 5,s t = 3, i costi sono espressi dalla relazione lineare c = 10+5t. Quindi il costo medio sarà : c = 10+5 t = 35; e poichè s 2 c = 5 2 s 2 t = 225, la deviazione standard sarà : s c = 225 = 15

11 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 11/18 Covarianza, correlazione, regressione Caratteri qualitativi quantitativi sconnessi/ordinati discreti/continui Uguaglianza/disuguaglianza si si Ordinamento no/si si Addizione e sottrazione no si Data la distribuzione unitaria di due variabili quantitative X e Y X Y x 1 y 1.. x i. x n y i. y n

12 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 12/18 Covarianza Diagramma a dispersione/scatterplot: associa ad ogni profilo riga (x i,y i ) un punto di ascissa x i e ordinata y i. Y X La covarianza tra X e Y misura il grado di dipendenza lineare tra le due variabili s xy = 1 (x i x)(y i ȳ) = n ( 1 n ) x i y i xȳ

13 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 13/18 Covarianza s x s y s xy s x s y dove quando sxy = s x s y i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza negativa quando sxy = s x s y i punti del diagramma a dispersione giacciono su una retta con pendenza positiva Standardizzando la covarianza si ottiene l indice di correlazione lineare di Bravais-Pearson r xy = s xy s x s y

14 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 14/18 Covarianza Nel caso in cui i dati siano disponibili attraverso una distribuzione di frequenze assolute si ha s xy = n ( 1 n ) H K (x h x)(y k ȳ)n hk h=1k=1 = n ( 1 n ) H K x h y k n hk xȳ h=1k=1

15 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 15/18 Retta di regressione E sempre possibile interpolare una distribuzione unitaria con una retta y = a + bx che minimizza la somma della differenza (residuo) al quadrato tra i punti (x i,y i ) osservati e le loro proiezioni sulla retta (x i,a+bx i ) (y i a bx i ) 2 = e 2 i Tale retta, detta retta di regressione o dei minimi quadrati, è univocamente individuata dai coefficienti ˆb = s xy s 2 x â = ȳ ˆb x = ȳ s xy s 2 x x

16 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 16/18 Retta di regressione - decomposizione della devianza devianza residua n e2 i = (1 r2 xy) n (y i ȳ) 2 devianza spiegata n (ŷ i ȳ) 2 = r 2 xy n (y i ȳ) 2 devianza totale (y i ȳ) 2 = (1 rxy) 2 (y i ȳ) 2 +rxy 2 (y i ȳ) 2 Bontà di adattamento della retta r 2 xy = dev.spiegata dev.totale

17 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 17/18 Esercizio 3 Data la seguente distribuzione doppia X Y X Y Disegnare il diagramma a dispersione dei punti e calcolare la covarianza tra X e Y la correlazione tra X e Y intercetta e coefficiente angolare della retta di regressione la proiezione di Y corrispondente a x = 4.1 la devianza dei residui la devianza spiegata dalla retta di regressione verificare la decomposizione della devianza totale di y

18 ESERCITAZIONI N. 3corso di statistica p. 18/18 Esercizio 4 Data la seguente distribuzione doppia Calcolare la covarianza tra X e Y la correlazione tra X e Y X/Y intercetta e coefficiente angolare della retta di regressione la devianza residua la devianza spiegata dalla retta di regressione