FAM. Un PM si muove nel piano xy e la sua traiettoria è un arco di cerchio di raggio R.

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1 Serie 9: Meccanica II FAM C. Ferrari Esercizio 1 Moto circolare uniforme (bis) Un PM si muove nel piano xy e la sua traiettoria è un arco di cerchio di raggio R. 1. Parametrizza la traiettoria con l ascissa curvilinea. 2. Determina il vettore τ e. Verifica che τ è normato e che ds ds è ortogonale a τ. 3. Determina il raggio di curvatura della traiettoria. 4. Determina l accelerazione tangenziale e quella normale in funzione di s, ṡ, s. 5. Se per t = 0 il PM si trova ad un angolo θ = 0 (rispetto al cerchio trigonometrico), parametrizza l ascissa curvilinea in funzione del tempo (ossia s(t)) nel caso di un moto uniforme. 6. Nelle condizioni del punto precedente, detemina il vettore velocità, l accelerazione tangenziale e quella normale e le rispettive norme. Confronta con l esercizio sul moto circolare della serie precedente. Esercizio 2 Macchina in curva Una macchina viaggia ad una velocità scalare costante v 0 e abborda una curva circolare di raggio 40m. Qual è la velocità massima permessa se si ammette che l accelerazione non può superare il valore limite di a 0 = 8m/s 2? Qual è l accelerazione di frenata massima (ossia l accelerazione tangenziale massima) se la macchina viaggia ad una velocità di v 0 = 60km/h? Quanto vale la distanza di frenata? Indicazione: Verifica che se s = a τ = cost allora l equazione oraria soddisfa s(t) = s 0 +v 0 t+ 1 2 a τt 2. 1

2 Esercizio 3 Accelerazioni 1. Una Porsche raggiunge i 100km/h in 5,4s. A quale velocità v 0 costante deve viaggiare una 2 CV in una curva di 40m di raggio affinché la sua accelerazione sia uguale a quella della Porsche? 2. I freni della 2 CV sono azionati provocando una frenata di decelerazione costante, dopo un intervallo t la velocità è 1 2 v 0. Determina: l accelerazione di frenata (accelerazione tangenziale), il vettore accelerazione in funzione di τ e n da rappresentare su di un disegno, la norma di a. Esercizio 4 Moto circolare 1. Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 1m con equazione oraria s(t) = 1 2 ct2 con c = 3/4m/s 2. Calcola la velocità scalare, la norma della velocità e dell accelerazione quando esso ha percorso un arco di circonferenza corrispondente ad un angolo θ = 3/2. 2. Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 0,5m con equazione oraria s(t) = s 2 t 2 +s 1 t, dove s 2 = 1m/s 2 e s 1 = 28m/s. All istante t = 15s calcola: la velocità scalare, i vettori τ, ds, i vettori a τ e a n e la norma del vettore accelerazione. Rappresenta su un disegno i vettori accelerazione normale e tangenziale a questo istante. Esercizio 5 Moto su una curva Un PM si muove sulla curva di equazione y(x) = αcosh x α (α > 0). 1. Disegna in modo qualitativo ma accurato la curva data sopra. 2. Esprimi i vettori velocità e accelerazione in funzione di x, ẋ, ẍ. Indicazione: Scrivi i vettori rispetto alla base canonica di R 2 e deriva componente per componente. 3. Si considera l evoluzione definita da ẋ(t) = v 0 = cost, trova i vettori x(t), v(t), a(t). 2

3 L ascissa curvilinea espressa in funzione di x è data da s(x) = αsinh x α. 4. Determina la velocità scalare, l accelerazione normale e quella tangenziale in funzione di x,ẋ,ẍ. 5. Determina il vettore τ in funzione sia di x ( τ(x)) sia di s ( τ(s)), il vettore velocità (in funzione di x,ẋ oppure in funzione di s,ṡ) e. Verifica che ds ds è ortogonale a τ e che τ = Nelle condizioni del punto 3., determina s(t), a n (t) e a τ (t). Determina poi il raggio di curvatura della traiettoria. 7. Si considera l evoluzione definita da ṡ = v 1 = cost. Determina il vettore velocità v(t). Esercizio 6 Moto in 2D Considera un PM che si muove nel piano xy la cui evoluzione temporale è data da { x(t) = ktcosωt (k = 0,5m/s, ω = 2s 1 ). y(t) = ktsinωt 1. Per t = πs determina il vettore velocità e il vettore accelerazione. 2. Per t = π s determina la norma dei vettori accelerazione tangenziale e accelerazione normale e il raggio di curvatura della traiettoria. Indicazione: v = v = ṡ. 3. Determina il vettore forza che agisce sul PM. Esercizio 7 Moto in 2D Considera un PM che si muove nello spazio la cui evoluzione temporale è data da x(t) = acosωt y(t) = bsinωt z(t) = 0 (a b positivi). 1. Disegna la traiettoria. 2. Determina il vettore velocità e il vettore accelerazione. 3. Verifica che il vettore x v = C è una costante del moto. 4. Determina il vettore forza e verifica che F = k x, k = mω 2. Che forza è? 3

4 Esercizio 8 Moto cicloidale Considera unpuntop sulla circonferenza diruotadiraggiorchesi muove avelocità costante v 0 = v 0 e x. Si suppone che la ruota giri senza scivolare. 1. Parametrizza la traiettoria in funzione del tempo e rappresentala nel piano xy. Indicazione: utilizza il disegno. 2. Determina i vettori velocità e accelerazione del punto P e le rispettive norme. 3. Verifica che il vettore accelerazione è sempre diretto verso il centro della ruota. y C v 0 P θ O A x Esercizio 9 Moto nel piano Considera un PM che si muove nel piano xy. La traiettoria del PM è parametrizzata dal tempo (evoluzione temporale) nel modo seguente { x(t) = e λt cosωt λ, ω > 0. y(t) = e λt sinωt Determina: 1. il vettore velocità v(t) e la sua norma; 2. il vettore accelerazione a(t) e la sua norma; 3. la norma del vettore accelerazione tangenziale a τ e del vettore accelerazione nornale a n ; 4. il raggio di curvatura della traiettoria ρ e lim t ρ(t), commenta brevemente; 5. per quali valori di λ il moto è uniforme, in questo caso di che tipo di moto si tratta? Verifica: 6. che l equazione oraria è data da λ2 +ω s(t) = 2 (1 e λt ), λ se si suppone che l orientamento della traiettoria coincide con il verso del moto e A = (1,0) = x(0), spiega il tuo ragionamento. 4

5 Con le informazioni del punto 6., determina in funzione di t: 7. la velocità scalare v; 8. il vettore τ e τ ; e verifica che ds 9. il vettore, ds ds del calcolo della norma di ds è normale a τ (Puoi verificare l esattezza utilizzando uno dei punti precedenti, quale?). Supponendo λ < 1 e ω > λ, rappresenta in modo qualitativo ma accurato: 10. i vettori v, a τ, a n e a ad un istante finito scelto arbitrariamente; 11. la traiettoria, calcolando la sua lunghezza nel caso ω/λ 1. Giustifica sulla base di leggi fisiche conosciute che: 12. ponendo ω = ω 2 0 λ2, con ω 0 > λ, la forza agente sul PM può essere scritta come F = α x β v, dove α e β sono due costanti da determinare. Che forze agiscono sul PM? 5