8π c 3 ν2. dx x 2 /(e x 1) fotoni/m 2 /sec,

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1 Corso di Introduzione alla Fisica Quantistica (f) Prova scritta 8 Giugno 7 - (tre ore a disposizione) Soluzione 1.) Una stazione radio trasmette emettendo una potenza di un kilowatt alla frequenza di 9 khz. Quanti fotoni emette al secondo? (punti: ) Ogni fotone emesso ha un energia = Joule sec] Hz]= Joule. Il numero di fotoni al secondo emessi sarà dunque 1 3 Watt/( Joule) = fotoni / secondo..) Approssimando l emissione di una lampada a filamento da 1 W come emissione da un corpo nero alla temperatura di 4 K, trovare il numero di fotoni emessi al secondo (su metà angolo solido) per unità di superficie irradiante (punti 3) e stimare la frazione di essi emessa nella regione del visibile (si assumano come limiti di tale regione le lunghezze d onda di 4 e 7 nm). (punti: 5) (bonus) Da ultimo calcolare il numero totale di fotoni emessi al secondo (su metà angolo solido) dalla superficie complessiva del filamento (punti 6) La potenza (energia per unità di tempo) emessa dall unità di superficie del filamento per frequenze comprese tra ν ν + dν in metà angolo solido è S ν dν = c 4 u ν dν = c 4 8π c 3 ν e /(K BT ) 1 dν, ed il numero di fotoni emessi nello stesso intervallo è ottenibile dividendo per l energia di un singolo fotone emesso. Così che il numero di fotoni (per unità di superficie emessi in un secondo) sarà dato dall integrale N γ = S ν dν = 4π c ( ) KB T 3 dx x /(e x 1) fotoni/m /sec, h avendo usato dx x /(e x 1) =.4 come suggerito nelle formule utili proposte alla fine del testo (e qui in fondo riportate). Per calcolare il numero di fotoni emessi nella regione del visibile occorrerebbe valutare N γ in tale regione, cioè il valore dell integrale tra le frequenze che la limitano. Una stima può essere fornita assumendo di poter valutare l integrale per mezzo del valore medio della funzione 1

2 x x 1 x f(x) dx = f (x x 1 ) = 1 (f(x 1) + f(x )) (x x 1 )], ovvero x 1 dx x e x 1 = 1 ( ) x + x 1 (x e x 1 e x x 1 ).94 (x x 1 ) = Si noti che x 1 = 5.15 e x = 9.. Quindi la frazione percentuale NγN visibile = 15% γ.4 ovvero solo il 15% (circa) di tutta la radiazione emessa viene emessa nel visibile (un calcolo più preciso fornirebbe un valore dell integrale tale che la frazione sarebbe vicina al %). per il bonus Per trovare il numero totale di fotoni emessi al secondo da tutta la superficie del filamento occore conoscere tale superficie. Per calcolarla occorre far ricorso al valore della potenza totale emessa (1 Watt) e alla legge di Stefan che da la potenza totale emessa, vale S ν dν = σt 4 Area = 1 Watt da cui ovvero Area m e Area = 1, N totale γ = fotoni al secondo. 3.) Una piccola sfera d argento (inizialmente scarica) viene sospesa in una camera a vuoto (le cui pareti sono mantenute a potenziale elettrico costante) e della luce ultravioletta di lunghezza d onda λ = nm viene indirizzata sulla sua superficie. Che differenza di potenziale elettrico acquisterà la sfera rispetto alle pareti che la circondano? (Il lavoro (W ) per estrarre un elettrone dall argento vale 4.7 ev). (punti: 5) I fotoni incidenti hanno energia = hc λ = ev Å Å 6. ev quindi sono in grado di estrarre elettroni dal metallo. Il potenziale elettrico della sfera diverrà man mano positivo rispetto al potenziale (mantenuto

3 costante) delle pareti che la circondano. Il flusso di elettroni continuerà finché la sfera acquisterà un valore del potenziale positivo rispetto alle pareti tale da fornire un lavoro che uguagli la differenza tra l energia del fotone incidente ed il lavoro di estrazione (potenziale d arresto), in pratica quando V sfera e = W = 1.5 ev ovvero V sfera = +1.5 Volt rispetto al potenziale costante delle pareti. 4.) Un atomo di massa M emette un fotone a seguito di una transizione interna di energia E. Nel sistema di riferimento solidale con l atomo l energia del fotone emesso risulterà = E (conservazione dell energia). Assumendo che l atomo sia a riposo inizialmente nel laboratorio, si calcoli la correzione alla frequenza del fotone emesso nel laboratorio a causa del rinculo della massa M (si supponga che le variazioni di massa dovute all emissione del fotone siano trascurabili). Si dimostri che 1 ] Mc se Mc. Il risultato è ottenibile sia in cinematica non relativistica (ragionevole nel caso atomico) che relativistica. (punti 6) Nel sistema di laboratorio il fotone ha energia E γ e quantità di moto p γ e l atomo energia cinetica T A e quantità di moto p A. La conservazione dell energia e della quantità di moto si scrive (usando cinematica non relativistica): E = E γ + T A p γ = p A, dove valgono, per il fotone, le relazioni: E γ = p γ c =. Ne deriva: ovvero E = E γ + ( ) Eγ 1 c M A E γ + M A c E γ E M A c =, 3

4 risolvendo la quale otteniamo l unica soluzione fisica che risponde alla condizione E γ { E γ = M A c 1 + E } { M A c 1 M A c 1 + E M A c 1 8 ( ) E 1} M A c dove la seconda uguaglianza vale solo nel limite M A c E e si è utilizzata l espansione 1 + ɛ ɛ 1 8 ɛ (suggerita tra le formule utili). In conclusione la riduzione della formula porta all espressione: ovvero E γ E ( 1 1 ) E M A c = 1 ] Mc come richiesto. Lo stesso risultato può essere ottenuto in maniera diretta trascurando la correzione del rinculo nell energia del fotone emesso in questa approssimazione cioè p A = p γ = c c,. = E c E γ = E T A = E p A M A E ( E) M A c = E (1 1 = 1 ] Mc,, ) E M A c come da dimostrare. Utilizzando una cinematica relativistica si ottiene lo stesso risultato. Infatti (conservazione dell energia) T A = (p A c) + (M A c ) M A c = E E γ, quindi (p A c) + (M A c ) ] = E Eγ + M A c ] 4

5 si ottiene ovvero = Mc Mc E M A c, M A c E γ = E E 1 ] Mc se Mc. 5.) Una particella di massa m, libera, in moto con energia E in una certa direzione (assunta come asse x) incontra una barriera di potenziale V < E posta ad x = (ovvero l energia potenziale vale V = per x < e V = V per x > ). Si scriva l equazione di Schrödinger indipendente dal tempo nelle due zone: x < (zona I) ed x > (zona II) (punti: ). Si dimostri che φ I (x) = A 1 e ikx + B 1 e ikx φ II (x) = A e iαx sono soluzioni e si trovi i valori di k ed α e le loro dimensioni (punti ). Discutere le condizioni fisiche per cui non è stato necessario sommare un termine del tipo B e iαx in φ II (x) (che completerebbe la possibile soluzione da un punto di vista matematico) (punti: ). L equazione di Schrödinger indipendente dal tempo nelle due zone è h d φ(x) = Eφ(x) zona I m dx h d φ(x) + V m dx φ(x) = Eφ(x) zona II. da cui (sostituendo le soluzioni proposte) k = me h > α = m(e V ) h > ; entrambe hanno dimensione di un numero d onda (L 1 ) e sono legati alle rispettive lunghezze d onda da λ I = π k λ II = π α. 5

6 Trovare le costanti (generalmente complesse) B 1 ed A in funzione di A 1 scoprendo così che valgono le relazioni: B 1 A 1 = A A 1 = ( 1 µ 1 + µ ( 1 + µ ) ) dove µ = α/k (punti: 4). Le costanti si trovano imponendo le condizioni al contorno in x =, cioè la continuità della funzione φ e della sua derivata prima φ. φ I () = φ II () A 1 + B 1 = A φ I() = φ II() ik(a 1 B 1 ) = iαa da cui seguono le relazioni richeste. Non è necessario sommare il termine B e iαx in φ II (x) se si assume che la particella proviene dalle regioni ad x < e quindi non ci saranno termini riflessi in x > dove i potenziale resta costante e la particella non incontra altre barriere. In x > solo la soluzione progressiva (onda trasmessa) sarà presente (come risulterà più chiaro dalla successiva discussione sulle correnti di probabilità). Calcolare la corrente di probabilità, j x = h φ φ ] mi x φ φ x nelle due zone ed interpretare i risultati in termini di correnti di probabilità incidenti, riflesse e trasmesse (punti: 3). Dimostrare che la corrente di probabilità incidente risulta la somma di quella riflessa e trasmessa (punti: 3). Scrivere nelle due zone la funzione d onda soluzione dell equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, quali sono le frequenze delle onde nelle due zone? e le lunghezze d onda? (punti 3) La corrente di probabilità nella zona I risulta j x I = h φ φ I I mi x φ φ ] I I = hk x m 6 ( A1 B 1 ) ;

7 interpretabile facilmente come un flusso incidente hk A m 1 con velocità v i = (v i,, ) = ( hk/m,, ) = (p/m,, ) ed un flusso riflesso hk B m 1 con velocità invertita v R = ( v i,, ) = ( hk/m,, ) = ( p/m,, ). Nella zona II j x II = h φ φ II II mi x φ φ ] II II = hα x m A. In virtù delle relazioni tra A 1 e B 1 e A si ha hk m B 1 + hα m A = hk m ( ) 1 µ A 1 + hα 1 + µ m ( ) A 1 = hk 1 + µ m A 1, ovvero la somma del flusso riflesso e trasmesso uguaglia il flusso incidente. La soluzione dipendente dal tempo si scrive ψ I (x, t) = φ I (x) e Ē h t = A 1 e i(kx ωt) + B 1 e i(kx+ωt) (1) ψ II (x, t) = φ II (x) e Ē h t = A e i(kx ωt) ; () e le frequenze nelle due zone sono le stesse ν I = ω/π = ν II = ω/π = E/h, mentre le lunghezze d onda sono diverse come già notato: λ I = π k λ II = π α. (bonus) Potremmo definire (per analogia) un indice di rifrazione del mezzo II che renda conto dell effetto di dipersione in tale mezzo (dove la particella è sottoposta ad un potenziale costante)? (si noti che nella zona I la particella è completamente libera). Dimostrare che la velocità di gruppo in entrambe le zone coincide con la velocità della particella classica. (punti 8) La velocità di fase nelle due zone può essere scritta, usando le (1,), v fase I = ω k = Ē h v fase II = ω α = Ē h h me = E me h m(e V ) = E m(e V ) 7

8 e la velocità di fase nel mezzo sarà (per definizione) la velocità di fase nel vuoto (cioè dove la particella è libera) divso l indice di rifrazione ovvero ovviamente se V =, n = 1. Per le velocità di gruppo v fase II = vfase I n E n = 1 ; E V v gruppo I = dω dk = d E dk h = d hk dk m = hk m = v gruppo II = dω dα = d E dα h = d dα hα m + V h ] E m = p I m = hα m = (E V ) m = p II m. Il valore di alcune costanti: velocità della luce nel vuoto: c = m/sec costante di Planck: h = J sec = ev sec costante di Stefan σ = Joule/(m sec K 4 ) utili conversioni 1 ev = J; h c = J m = ev Å. formule utili: x 3 /(e x 1)dx = π 4 /15 x /(e x 1)dx = ζ(3) =.4 lim ɛ 1 + ɛ ɛ 1 8 ɛ 8