Dinamica. Obbiettivo: prevedere il moto dei corpi una volta note le condizioni iniziali e le interazioni con l'ambiente

Transcript

1 Dinamica Obbiettivo: prevedere il moto dei corpi una volta note le condizioni iniziali e le interazioni con l'ambiente Tratteremo la Dinamica Classica, valida solo per corpi per i quali v << c (3*10 8 m/s) Fenomeni naturali: moto di un corpo --> conseguente alla interazione con altri corpi (ambiente): - interazione diminuisce con distanza - si considereranno solo i corpi più vicini: approssimazione da confrontare con precisione di misura (ex. Interazione con la Terra senza considerare quella con il Sole)

2 FORZE Interazione con ambiente quantificata attraverso l'introduzione delle Forze Forze Leggi del moto Caratteristiche delle Forze a) si presentano in coppie (azione reazione) b) caratterizzate da intensità, direzione orientata e regione di applicazione c) possono produrre variazioni nello stato di moto dei corpi sui quali agiscono d) possono deformare i corpi su cui agiscono e) si possono compensare assicurando l'equilibrio dei corpi soggetti a molteplici interazioni con altri corpi (ex: corpo poggiato su tavolo reazione vincolare da parte del tavolo vincolo liscio --> solo componente normale a superficie di contatto vincolo scabro > anche componente tangenziale, attrito) Esistono due tipologie di forze: a) a contatto (associate macroscopicamente ad un contatto tra i corpi che interagiscono) b) a distanza (si manifestano anche se i corpi non sono in contatto)

3 Primo Principio della Dinamica Quando un punto materiale non è soggetto a forze ha velocità costante (eventualmente nulla) (Principio di inerzia, sperimentale, Galileo) Ma... - moto rettilineo uniforme in un dato SdR può apparire curvo e accelerato in altro SdR (Principio di inerzia valido solo in uno dei due SdR) - sulla Terra; corpo libero (non sottoposto a forze) percorre una traiettoria curvilinea Quindi. - necessità di individuare un SdR inerziale : sistema delle stelle fisse S S con origine nel Sole (in realtà non perfettamente inerziale, sostituito di recente dal sistema nel quale la radiazione di fondo è omogenea; rispetto ad esso S S si muove con v = (370 ± 10) km/s e a m/s 2 ) Primo Principio della Dinamica Esistono infiniti sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali ogni punto materiale libero ha velocità costante Sistema terrestre: a 3.4*10-2 m/s 2 a << g accelerazione gravitazionale (9.8 m/s 2 ) e quindi Sistema terrestre inerziale

4 Secondo Principio della Dinamica Le forze determinano un cambiamento del moto dei corpi --> v --> a 0 Ricerca della relazione funzionale tra forza e accelerazione Esperienze in cui sono presenti forze costanti 1) Piano inclinato: forza costante lungo il piano modifica il modulo della velocità del punto materiale 2) Moto circolare uniforme: vincolo (filo con molla) applica forza costante che modifica direzione della velocità lasciandone invariato il modulo 3) Due forze agenti su un punto materiale, aventi direzioni diverse tra loro: accelerazione a = a 1 + a 2 con a 1 e a 2 accelerazioni che avrebbe il punto materiale se su di esso avesse agito solo la forza f 1 oppure f 2 (principio di sovrapposizione valido anche in condizioni dinamiche) In tutti i casi ---> f = k a Tale risultato vale, sperimentalmente e istante per istante, anche in presenza di forze variabili con il tempo e quindi potremo scrivere Σ f i i (t) = m a(t) con m massa inerziale In un sistema di riferimento inerziale, ogni volta che un corpo ha un moto accelerato esiste (almeno) una forza responsabile di tale accelerazione; tra forza risultante e accelerazione esiste in ogni istante la relazione f(t) = m a(t) (Newton)

5 Secondo Principio della Dinamica Dalla relazione f(t) = m a(t) è possibile determinare, nota f(t) e note le condizioni iniziali, l'equazione vettoriale del moto. Nell'ambito della Meccanica classica le masse inerziali sono additive e costanti durante il moto (proprietà non valide nella Relatività) Prima applicazione: il peso di un corpo posizionato nelle vicinanze della superficie terrestre può essere espresso come w = m g con g che varia da luogo a luogo mentre la massa inerziale del corpo in esame rimane invariata (e per questo è stata scelta come grandezza fondamentale della Meccanica)

6 Principio di azione e reazione E' evidenza sperimentale che ogni volta che un corpo subisce l'azione di una forza f 1 da parte di un secondo corpo, anche quest'ultimo è soggetto a una forza f 2 per effetto del primo. Newton arrivò alla conclusione che f 1 = - f 2 (1) Attenzione!!!! f 1 e f 2 agiscono su due corpi diversi!!!! Nota: il fatto che la (1) valga istante per istante implica --> propagazione istantanea delle interazioni (Principio di azione a distanza). Ma tale propagazione non può avvenire a velocità superiore di quella della luce nel vuoto e quindi il Principio vale solo nell'approssimazione della Meccanica classica.

7 Principio di azione e razione Applicazione Corpo appeso a supporto fisso tramite filo e molla Esaminiamo le forze agenti sui singoli sistemi 1) corpo di massa m Peso w --> reazione applicata alla Terra Trazione dal filo f FC --> reazione applicata al filo Per equilibrio --> f FC = - w 2) filo di massa trascurabile rispetto a m Trazione dal corpo f CF --> f CF = - f FC = w Trazione da molla f MF --> reazione applicata alla molla Per equilibrio --> f MF = - f CF = - w 3) molla di massa trascurabile rispetto a m Trazione dal filo f FM --> f FM = - f MF = w Trazione da supporto f SM --> reazione applicata al supporto Per equilibrio --> f SM = - f FM = - w 4) supporto Trazione dalla molla f MS --> f MS = - f SM = w Concludendo a) sul supporto agisce forza pari al peso del corpo b) agli estremi della molla agiscono forze opposte di modulo w (dette tensione della molla ) c) agli estremi del filo agiscono forze opposte di modulo w (dette tensione del filo )

8 Quantità di moto e impulso Corpo (puntiforme) di massa m e velocità v (ad un istante t) si definisce il vettore q = mv --> quantità di moto del corpo all'istante t Primo principio: Esistono infiniti sistemi di riferimento, detti inerziali, nei quali ogni punto materiale libero ha quantità di moto costante Se invece sul corpo agiscono forze non bilanciate allora dq/dt =d(mv)/dt = ma + (dm/dt) v (1) Secondo principio: In un sistema di riferimento inerziale, ogni volta che un corpo cambia la propria quantità di moto, esiste (almeno) una forza responsabile di tale cambiamento: fra forza risultante e quantità di moto vale in ogni istante la relazione f = dq/dt [coincidente con la (1) se m è costante] Nota f si definisce impulso della forza f nell'intervallo di tempo (t 1,t 2 ) il vettore J = t1 f dt --> J = u x t1 f x dt + u y t1 f y dt + u z t1 f z dt Nel caso di più forze f i agenti sul punto materiale avremo J = t1 f dt = t1 i f dt = i i t1 f dt = J i i i Dalla (1) segue J = t1 f dt = t1 dq = q 2 q 1 = Δq Teorema della quantità di moto (o dell'impulso): L'impulso della forza risultante agente su un punto materiale durante un intervallo di tempo Δt è uguale alla variazione della quantità di moto nel Δt

9 Momento angolare Si definisce momento di un vettore w (applicato in A) rispetto ad un punto Ω (polo o centro di riduzione) il vettore M = r x w con r = ΩA M Il vettore M è al piano di r e w ed ha modulo M = rwsen(θ) = dw w con θ angolo tra le direzioni di r e w d (braccio) distanza del polo dalla retta di azione di w. Si definisce momento assiale di w rispetto ad un asse di versore u la grandezza scalare M u = (r x w) u con r = ΩA dove Ω è un qualsiasi punto dell'asse Se v = q (quantità di moto del punto materiale) si ricava p Ω = (r - r Ω ) x q = r ' x q con r ' vettore che congiunge il polo Ω con il punto materiale Derivando rispetto al tempo dp Ω /dt = d(r - r Ω ) x q + (r - r Ω ) x dq/dt = (v - v Ω ) x q + (r r Ω ) x f = - v Ω x q + (r - r Ω ) x f = - v Ω x q + M Ω Se si sceglie come polo Ω un punto fisso allora dp Ω /dt = M Ω

10 Momento angolare Integrando la relazione dp Ω /dt = M Ω rispetto al tempo si ha Δp Ω = t1 M Ω dt (Teorema del momento dell'impulso) Inoltre, se M Ω = 0 p Ω = costante corpo puntiforme soggetto a una forza centrale, ovvero forza diretta lungo la retta congiungente la posizione del punto materiale con un dato punto (ex: forza gravitazionale) Quindi per forze centrali il momento angolare rispetto al centro di forza si conserva (conservazione del momento angolare). Altre caratteristiche dei moti centrali: 1) sono piani da p Ω = costante r x v = costante il piano individuato da r e v rimane invariato nel tempo 2) avvengono con velocità areolare costante velocità areolare = vettore con direzione al piano del moto, verso tale da vedere r ruotare in senso antiorario e modulo dato dalla rapidità con la quale il vettore r spazza il piano In un intervallo infinitesimo dt, si ha dr = v dt e quindi l'area da spazzata da r è data, a meno di infinitesimi di ordine superiore da = r x dr /2 = r x v dt/2 Per il modulo della velocità areolare σ si ha quindi σ = da/dt = r x v /2 = p/2m e quindi σ = p/2m Infine p Ω = costante σ = costante