Esercitazione n 2. Morganti Nicola Matr Molla ad elica cicilindrica

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1 ar olla ad elica cicilindrica Eserciazione n 9 In figura è rappresenao un basameno sospeso anivibrane di una macchina nella quale viene originaa una forza perurbane alernaa sinusoidale di inensià massima F di frequenza n direa vericalmene. La sospensione è realizzaa mediane una piasra alla quale è ancoraa rigidamene la macchina, appoggiaa su quaro molle di orsione ad elica cilindrica. Con le ipoesi che la vibrazione ecciaa sia solo di raslazione vericale, che il carico si riparisca uniformemene sulle quaro molle uguali e che il basameno sia sabile senza l inerveno di guide laerali, si dimensioni il sisema (massa sospesa, rigidezza delle molle) in modo che l inensià massima della perurbazione F rasmessa al erreno sia uguale a F /η e che la semiampiezza del moo vibraorio del sisema sia X. Eseguire il dimensionameno di massima delle molle, scegliendo un maeriale ra quelli proposi, con le segueni ipoesi: - le molle possano chiudersi a pacco senza superare la ensione ammissibile di snervameno (τ amm,sn τ lim,sn /1.5); - per effeo del carico saico applicao la fraccia sia uguale a.7 la freccia massima a pacco; - il rapporo caraerisico sia uguale a c D/d sia compreso ra 4 (minore ingombro diamerale) e 7 (minore ingombro assiale). Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

2 ar Dai 1 Inensià massima della forza perurbane F 453 N Frequenza della forzane n 8 cicli/min Semiampiezza del moo della macchina η 15 Rapporo di rasmissione della perurbazione X.16 mm aeriali (UNI ) 48 Si 7 R m 13 Pa R p. 11 Pa A 6 % 5 SiCrNi 5 R m 14 Pa R p. 1 Pa A 5 % 6 SiCr 8 R m 145 Pa R p. 15 Pa A 5 % Simboli d D R p α v P i L πri Diamero del file della molla Diamero del cilindro sul quale è avvolo l asse del filo della molla Passo della molla scarica Angolo di avvolgimeno Spazio inerspira a molla scarica Forza sulla molla (sull asse) Numero di spire (e frazioni di spira) aive Lunghezza del filo Norme UNI di riferimeno UNI UNI UNI UNI (aeriali) (aeriali) (Calcolo molle a compressione) (Caraerisiche cosruive molle ad elica cilindrica a compressione) Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

3 ar Svolgimeno 11 Dao il nosro sisema scriviamone l equilibrio dinamico: & x&+ 4Kx F sin( ω) Dove è la massa sospesa, K la rigidezza delle molle, x la coordinaa vericale con origine sulla mezzeria del basameno e rivola verso il basso, F l inensià massima della forza perurbane e ω la frequenza della forzane (in rad/s). La soluzione dell equazione differenziale è formaa dalla soluzione dovua all inegrale generale e da quella dovua all inegrale paricolare. Poiché le oscillazioni dovue all inegrale generale (oscillazioni libere) vengono smorzae, noi considereremo solo l inegrale paricolare, ovvero quelle oscillazioni che sono sempre preseni a solleciare la nosra sruura (oscillazioni forzae). Soluzione dell equazione sarà quindi: x p X sin( ω) Sosiuendo nell equazione d equilibrio dinamico oeniamo quindi: F 1 X con 4K ω 1 Ω dove Ω è la frequenza propria del nosro sisema. Si può dimosrare (ma noi non lo faremo) che: Ω 4K η ω 1 Ω Sosiuendo quesa espressione, in quella precedene, ricaviamo la prima equazione di nosro ineresse che ci permee di deerminare la rigidezza delle molle, ovvero: K F 4X η Sfruando ancora l equazione di equilibrio dinamico, possiamo ricavarci l equazione che ci permee di rovare il valore della massa sospesa del nosro sisema: 4K ω ( η 1) + Adesso passiamo al dimensionameno saico. Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

4 ar Definiamo carico saico la quanià 1 P g 4 e f la sua corrispondene freccia saica. Se la nosra molla è sooposa ad un carico P avremo all inerno di essa degli sforzi dovui alle azioni inerne preseni. In paricolare se l angolo di avvolgimeno è piccolo (e in una molla è sempre minore di 6 ) quese divenano ue rascurabili ranne il aglio T ed momeno orcene. Inolre, essendo le τ dovue al momeno orcene molo maggiori rispeo a quelle dovue al aglio, possiamo rascurare il conribuo di ques ulimo e quindi calcolarci il solo momeno orcene che sarà pari a PD/. Passiamo ora predimensionare la nosra molla, ricordandoci che la richiesa è che le molle possano chiudersi a pacco senza superare la ensione ammissibile di snervameno. Ricaviamo quindi la τ max che, soo l ipoesi di piccola curvaura, per un corpo a sezione cicolare è: 16 τ max ymax J πd p 3 eiamoci ora nella condizione peggiore ovvero che la nosra τ max sia uguale alla τ amm,sn e ricaviamo il valore del diamero come d 8P c,7πτ amm, sn dove c è il rapporo caraerisico scelo da noi, P il carico saico e la τ amm,sn (dipendene dal maeriale uilizzao) la calcoliamo araverso la seguene norma UNI τ lim, sn τ amm, sn con τ lim, sn, 58R p. 1,5 Il valore del diamero così oenuo va arroondao all inero successivo, in quano le indusrie ci forniscono solo diameri ineri (rispeo al mm). Il valore di D lo ricavo ramie c una vola calcolao d. Adesso dobbiamo calcolare il numero di avvolgimeni (o spire), indicao con la leera i. Per far queso dobbiamo scrivere l uguaglianza ra lavoro eserno ed inerno dovuo al momeno orcene causao dal carico P sul ondino del filo della molla. Se indichiamo con ϕ l angolo di orsione sul ondino possiamo scrivere: 1 Pf 1 ϕ ed essendo ϕ GJ geomeriche, che: p L, dove L è lunghezza del filo, ricaviamo con semplici considerazioni Gd 8c K i 3 Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

5 ar La nosra molla è ora compleamene dimensionaa. Per compleezza ricaviamo anche v, lo spazio inerspira a molla scarica, h, l alezza della molla scarica, p, il passo a molla scarica e α l angolo di avvolgimeno f max v i p v + d h ip p α arcan D Rimuovendo le ipoesi iniziali di aglio rascurabile e curvaura piccola, noiamo che la nuova τ T,C è proporzionale alla nosra τ ramie un coefficiene K sperimenale dao dalla formula: K 4c ( c 1) c + Poichè τ T,C indica un valore piu realisico dello sforzo agene sulla molla, non resa che rapporarla alla τ amm,sn dovua al maeriale da noi scelo, ricavando così un valore, che per noi è indice di sicurezza (o da un alro puno di visa di cedimeno del maeriale) e deve rimanere superiore a circa 1,15. Qui di seguio vengono riporai i risulai oenui su foglio eleronico per ue le scele possibili di c e per ui i maeriali proposi. I faori di sicurezza colorai in rosso indicano una siuazione di cedimeno del maeriale Dai Valore Unià Conversione in F 453 N n 8 cicli/min 83, rad/s X,16 mm,16 m η 15 G 793,7693 Pa K 555,8333 N/m 55,58333 N/mm 33,7595 Kg P 5714, N f, m, mm P max 8163, N f max, m 31, mm Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

6 ar aeriale 48 Si 7 R p. 111 Pa CD/d d [mm] D [mm] I v [mm] p [mm] L [mm] α [rad] , , , ,638, , ,43978, ,888, , , , ,898, , , , ,953, h [mm] TAU T [Pa] K TAU T,C [Pa] TAU lim [Pa] Faore Sicurezza 15, , , , ,8 1, ,381 46,66 1,315 53, ,8 1, , , ,55 48, ,8 1, ,741 43, , , ,8 1, aeriale 5 SiCrNi 5 R p. 1 Pa CD/d d [mm] D [mm] I v [mm] p [mm] L [mm] α [rad] , , , ,638, , ,869 1, ,898, , ,4734 7, ,5135, , , , ,149, h [mm] TAU T [Pa] K TAU T,C [Pa] TAU lim [Pa] Faore Sicurezza 15, , , , ,6 1, , , ,315 65, ,6 1, , ,5919 1,55 54, ,6 1, , , , , ,6 1, aeriale 6 SiCr 8 R p. 15 Pa CD/d d [mm] D [mm] i v [mm] p [mm] L [mm] α [rad] , , , ,638, , ,869 1, ,898, , ,4734 7, ,5135, , , , ,149, h [mm] TAU T [Pa] K TAU T,C [Pa] TAU lim [Pa] Faore Sicurezza 15, , , , , , , ,315 65, , , ,5919 1,55 54, , , , , , , Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3

7 ar Variazione del Faore di Sicurezza 1, , , , Faore di sicurezza 1, , , , , , , , CD/d 48 Si 7 5 SiCrNi 5 6 SiCr 8 Qui sopra è riporao l andameno del faore di sicurezza al variare di c per ui i maeriali proposi Eserciazioni di Cosruzione di acchine A.A. /3