( ) 5x ) che formano il polinomio. x cioè. 5x per il monomio raccolto. x per SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO RACCOGLIMENTO TOTALE.
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- Sergio Vecchi
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1 SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO RACCOGLIMENTO TOTALE Si cerca il MCD dei monomi (che sono 1 x e Il monomio comune da raccogliere è x. 5x ) che formano il polinomio. = x ( si mette in evidenza il monomio trovato e si apre una parentesi = x (1 il 1 si ottiene dividendo il primo monomio del polinomio da scomporre 1 x per il monomio raccolto x cioè 1 x : x = x (1 + 5x analogamente il 5 x si ottiene dividendo il secondo monomio del polinomio da scomporre ( 1 + x) 5x per il monomio raccolto = x 5 si chiude la parentesi x cioè 5x : x Il polinomio è scomposto come prodotto di x per 1 + 5x 4 1x y + x yz 9x y 1x y Si cerca il MCD dei monomi che formano il polinomio. Il monomio comune da raccogliere è x y 4 1x y + x yz 9x y 1x y= x y 4+ xz xy 4x ( ) RACCOGLIMENTO PARZIALE 1 ax+ 1bx+ay+by
2 1 ax+ 1bx+ay+by Non esiste un monomio (di grado almeno 1) comune a tutti i monomi da poter raccogliere. Si cerca quindi un monomio comune ai primi due monomi e un monomio comune al terzo e al quarto monomio. 1 ax+ 1bx+ay+by 1 x y Si cerca quindi un monomio comune ai primi due monomi e un monomio comune al terzo e al quarto monomio. Il monomio comune ai primi due monomi è 1 x e il monomio comune agli ultimi due è y 1x ( a + b) + y( a + b) Si raccoglie 1 x tra i primi due e y tra il terzo e il quarto. Si può andare avanti perché i polinomi ottenuti tra parentesi sono identici. ( a + b)(1x + y) si raccoglie a + b e si ottiene la scomposizione. PRODOTTI NOTEVOLI Contare i monomi che formano il polinomio. Due monomi: Differenza di quadrati: A B = ( A B)( A+ B) Si cercano i monomi che elevati al quadrato danno A e B Si scrive (A B)(A+ B) 4 9x 1y 4 I quadrati sono 9x e 1 y quindi i monomi sono 4 Quindi 9x 1 y = ( x 4y)( x + 4y) A = x B = 4 y
3 Somma di cubi: A + B = ( A+ B)( A AB + B ) Si cercano i termini che elevati al cubo danno A e B Si scrive (A+ B)(A AB + B ) 7x + 8y I cubi sono 7x e 8 y quindi i monomi sono A= x 4 x+ y 9x xy + 4y = ( )( ) B = y Differenza di cubi: A B = ( A B)( A + AB + B ) Si cercano i termini che elevati al cubo danno A e B Si scrive (A B)(A + AB + B ) I cubi sono 8x e Tre monomi: 8x y A = x B = y 4 x y 4x + x y + y y quindi i monomi sono = ( )( ) Quadrato di binomio: ( A+ B) = A + AB + B ( ) A B = A AB + B Si cercano i due quadrati A e B Si ricavano i monomi che elevati al quadrato danno A e B Si calcola il doppio prodotto AB e si verifica se coincide con quello del polinomio da scomporre Se il doppio prodotto AB è positivo scrive ( A + B) Se il doppio prodotto AB è negativo si scrive ( A B) o ( B A) 4 4x 4xy + y I due quadrati sono A = 4x e 4 B = y I monomi che elevati al quadrato danno A e B sono A= x e B = y Il doppio prodotto AB = 4xy che è, a meno del segno, uguale a quello del testo Il doppio prodotto negativo quindi si può scrivere ( x ) 4 4x 4xy + y = y
4 x Trinomio speciale: + sx+ p = x... x... Si cercano due numeri da mettere al posto dei puntini tali che il prodotto è uguale al termine noto e la somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado. x + 5x + x + 5x+ = x... x... I due numeri sono e Quindi x ( x + )( + ) + 5x+ = x Trinomio speciale di secondo tipo: ax + sx + p =...x... ( )(...x...) dove a è un numero diverso da 1 Si cercano due numeri tali che il prodotto è uguale al prodotto del termine di secondo grado per il termine noto e la somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado. Si scrive il termine di primo grado come somma dei due numeri trovati e si applica il raccoglimento parziale. x 10x + 8 I due numeri tali che la loro somma è -10 e il loro prodotto è 4 sono - e -4 x 10x + 8 =x x 4x + 8= = x (x ) 4(x ) = (x 4)(x ) Quattro monomi: Cubo di binomio: ( A+ B) = A + A B + AB + B Si cercano i due cubi A e Si ricavano i monomi che elevati al cubo danno B A e B
5 Si calcolano A B e AB e si verifica se coincidono con quelli del polinomio da scomporre 7x + 7x y 9xy + y I due cubi sono A = 7x I monomi che elevati al cubo danno e B = y A e B sono A= x e B = y A B = ( x) y = 7x y e AB = ( x) y = 9xy che sono proprio uguali a quelli del testo Essendo A negativo e B positivo scrivo: = ( x + y) Sei monomi: Quadrato di trinomio: ( A+ B + C) = A + B + C + AB + AC + BC Si cercano i tre quadrati A B e C Si ricavano i monomi che elevati al quadrato danno A B e C Si calcolano i doppi prodotti AB AC e BC e si verifica se coincidono con quelli del polinomio da scomporre. Si ragiona sui segni e si scrive il risultato ( A + B + C) I tre quadrati sono 4 4x + 9y + x z 1xy 4x z + xy z A = 4x 4 B = 9y e I monomi che elevati al quadrato danno C A, = x B e z C sono A= x, B = y e I doppi prodotti AB = x y = 1xy AC = x xz = 4x z e BC = y xz = xy z che, a meno del segno, sono uguali a quelli del polinomio da scomporre. Per quanto riguarda i segni possiamo notare che AB e AC sono negativi mentre BC è positivo. Quindi A e B hanno segni diversi e anche A e C hanno segni diversi mentre B e C hanno lo stesso segno. Si può prendere A positivo, quindi B negativo (perché AB deve essere negativo) e C negativo (perché AC deve essere negativo). + x y xz = ( ) In alternativa se si prende A negativo, quindi B positivo (perché AB deve essere negativo) e C positivo (perché AC deve essere negativo). x + y + xz = ( ) xz
( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =
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SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI BINOMIO RACCOGLIMENTO ax + bx = x ( a + b ) a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ) CUBI a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2
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2 xab ; a2 x 3 y. 3a; 4b 2 ; 0,75y 3 z
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