Proprietà elastiche dei sistemi continui

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1 Proprietà elastiche dei sistemi continui Se ho un cilindro (filo) di lugnhezza L e sezione A e applico una forza F di trazione, il filo si allunga di una quantità L sperimentalmente data da F A = Υ L L La forza per unità di area si chiama sforzo e si misura in N/m 2 = Pa (Pascal) o in MPa. Υ si chiama modulo di Young: quanto più esso è grande tanto più è rigido il materiale Tipicamente, Υ per l osso è paragonabile a quello del legno, intorno a 10 4 MPa, per i vasi sanguigni è un quinto di quello della gomma, circa 0.2 MPa. Quando la deformazione supera circa lo 0,5% le ossa si rompono

2 Forze vincolari Sono generalmente di origine elastica Nella maggior parte dei casi, si possono considerare però i vincoli rigidi La forza vincolare è sempre perpendicolare (normale) al vincolo La forza vincolare può cambiare nel tempo se il corpo si muove o se cambia qualche condizione esterna, in modo da bilanciare esattamente le forze che si oppongono al vincolo

3 Attrito - I Tra un oggetto e il suo supporto (un tavolo, un piano inclinato) si possono formare legami elettrici e microscopici ostacoli metallici l attrito, statico e cinetico, è dovuto a queste cause Se un corpo si muove, la forza di attrito dinamico tende quindi a frenarlo, e si trova che questa è proporzionale alla forza normale F attrito = µ F normale Statico Radente Volvente ferro pietra legno legno metallo metallo teflon teflon gomma asfalto

4 Attrito - II L attrito radente è molto più grande di quello volvente: Cosa c entra con le frenate? Come varia lo spazio di frenata con la velocità? L attrito statico è maggiore o minore di quello radente? L attrito può fare lavoro?

5 Risposte Se l attrito radente (cinetico) fosse minore di quello volvente, premendo il pedale del freno l auto si fermerebbe in un tempo maggiore, perché il freno blocca le ruote Se freno compio un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa. Lo spazio percorso è dato da v 2 f v 2 i = 2a x v f = 0 quando l auto si ferma, da cui vediamo che lo spazio di frenata è proporzionale al quadrato della velocità L attrito statico è definito da F attr µ s F N Se fosse minore di quello cinetico, appena la forza diventasse abbastanza grande da muovere il corpo, l attrito diventerebbe cinetico e il corpo si fermerebbe nuovamente. Perciò µ s µ k

6 Piano inclinato Il moto lungo un piano inclinato senza attrito è aceclerato con accelerazione a = g sin(θ) Se c è attrito la forza normale deve bilanciare la componente del peso perpendicolare al piano F N = mg cos(θ) La forza di attrito cinetico vale quindi F a = µ k mg cos(θ) Il moto è quindi uniformemente accelerato con accelerazione a = g sin(θ) µ k g cos(θ)

7 Attrito cinetico Il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione negativa data dalla forza di attrito F a = µ k m g. La velocità cambia quindi con la legge v = v 0 µ k gt il corpo si ferma quando la sua velocità diventa nulla, quindi al tempo t = v 0 /µ k g Il lavoro fatto dalle forze di attrito è ed è quindi negativo W = F a x = µ k m gv 0 t

8 Viscosità Un oggetto in moto in un fluido è soggetto ad attrito viscoso Lo stesso vale se si muove il fluido e l oggetto è fermo Perché la velocità dei fiumi è maggiore al centro? La legge dell attrito viscoso è fv = kη v R k dipende dal corpo (6πR per una sfera di raggio R) η dipende solo dal liquido L attrito viscoso non dipende quindi dal rapporto fluido-solido, ma dai due in modo indipendente.

9 Conservazione dell energia applicazioni 1 Trovare la velocità di un oggetto che cade da un altezza h in ogni istante, prima che tocchi il terreno 2 Trovare la velocità di fuga dalla Terra 3 trovare la velocità di un corpo attaccato a una molla, in funzione delle cooordinate (e non del tempo) 4 Se una palla perde il 10% della sua energia meccanica rimbalzando, trovare a che altezza può risalire se inizialmente è partita da h

10 Soluzioni Problema 1 La forza che agisce in questo problema è quella di gravità, che è conservativa La forza si può considerare costante, per cui l energia potenziale è mgy L energia meccanica è tutta potenziale alla partenza (y 0 = h, v 0 = 0) mentre, durante il moto, è sia potenziale che cinetica applicando la conservazione del energia: 1 2 mv(t)2 + mgy = mgh per cui 1 2 mv(t)2 = mg(h y) v(t) = 2g(h y)

11 Soluzioni Problema 2 la gravità non può essere considerata costante, perché la sua accelerazione va da g a zero (all infinito) L energia potenziale che si deve usare è quindi U(r) = G M T m r Inizialmente r = R T mentre alla fine r =. La differenza di neenrgia potenziale è perciò U = G M T m R T 0 = G M T m R T La velocità minima v fuga è quella che consente di arrivare all infinito con velocità nulla 1 mv 2 2 fuga + G M T m = R 1mv 2 2GM T 2 = 0 v fuga = 11 km/s T R T

12 Soluzioni Problema 3 So che x(t) = A cos(ωt + ϕ) Ottengo la velocità derivando rispetto al tempo v(t) = dx(t) dt = ωa sin(ωt + ϕ) Voglio ora mettere in relazione v(t) con x(t). Per farlo mi ricordo che sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1 v(t) = ω A 2 A 2 cos 2 (ωt) = ω A 2 x(t) 2

13 Soluzioni Problema 4 Inizialmente l energia potenziale è mgh e l energia cinetica è nulla Un attimo prima del rimbalzo tutta l energia è diventata cinetica e, dato che le forze sono conservative, deve uguagliare l energia potenziale iniziale K = mgh Subito dopo il rimbalzo l energia è ancora tutta cinetica, ma è ridotta del 10%, cioè è il 90 % di quella iniziale K = 0.90 mgh Se risalgo al massimo fino ad un altezza h, in questo punto la velocità deve essere nulla, quindi l energia potenziale nel punto di arrivo deve uguagliare quella cinetica subito dopo il rimbalzo mgh = K = 0.90K = 0.90 mgh h = 0.90 h