10. VARIABILI CASUALI MULTIPLE

Transcript

1 . VARIABILI CASUALI MULTIPLE.. Introduzione La definizione di v.c. può essere facilmente estesa al caso in cui a ciascun evento elementare che costituisce è associata una coppia di numeri reali così come schematizzato nella successiva figura. Figura.. Definizione di variaile casuale doppia Considerato lo spazio di proailità ( A P) costituito dallo spazio fondamentale dalla classe degli eventi A e dalla misura di proailità P una v.c. doppia Y è una funzione definita su che associa a ciascuno degli N eventi elementari i (i= N) una coppia di valori reali [( i) Y( i)] = ( l) che rappresenta una determinazione della v.c. Y. Il ricorso a una v.c. doppia è del tutto naturale quando sulle n unità statistiche vengono rilevate contemporaneamente due variaili (come per esempio: reddito e consumi peso e altezza numero dei componenti delle famiglie e numero di mezzi di trasporto posseduti) ma risulta utile anche quando si 97

2 considera un esperimento che consiste nel lancio di due monete o di due dadi oppure nell estrazione di due palline da un urna. In questo caso infatti la v.c. può semplicemente rappresentare il risultato ottenuto nella prima prova mentre la Y può rappresentare il risultato ottenuto nella seconda. L uso di una v.c. doppia può risultare utile in situazioni diverse come per esempio considerato un esperimento che consiste nel lancio di tre monete si può utilizzare una v.c. per contare il numero di teste ottenute e una v.c. Y per contare il numero di variazioni nella sequenza ossia il numero di volte in cui si passa dalla faccia testa alla faccia croce o viceversa. La taella successiva riporta nella prima colonna i =8 possiili eventi connessi con questa particolare prova (in cui la lettera T indica testa e la lettera C indica croce ) mentre nella seconda e terza colonna sono riportati i corrispondenti valori delle due v.c. Taella.. Esempio di v.c. doppia = TTT = TTC = TCT = CTT 5 = CCT 6 = CTC 7 = TCC 8 = CCC In questo caso quindi al primo evento è associata la coppia di valori ( ) della v.c. Y al secondo evento la coppia ( ) all ultimo evento la coppia ( ). Ovviamente il discorso può essere generalizzato dal caso ivariato al caso multivariato per comprendere le situazioni in cui il numero di v.c. prese in esame è maggiore di due come quando si analizzano le risposte fornite da un certo numero di intervistati a un questionario oppure quando si replica più volte un esperimento che consiste nel lancio di un dado o di una moneta o nell estrazione di più palline da un urna. Come nei casi esaminati per le variaili statistiche anche le v.c. multiple considerate in occasione di un esperimento casuale possono essere dello stesso tipo (tutte discrete o tutte continue) oppure di tipo diverso in relazione alla situazione in esame. Nelle prossime pagine è considerato il caso ivariato (sia per v.c. discrete sia per v.c. continue) che verrà poi generalizzato al caso multivariato. 98

3 . Variaili casuali doppie discrete Date due v.c. discrete e Y e indicati con e i loro campi di variazione il campo di variazione della v.c. doppia Y è pari al prodotto mentre la proailità che in una prova si osservi la coppia di determinazioni ( l) di Y corrisponde a P(= Y= l) = p( l) ( l).. L espressione.. che costituisce la funzione di proailità congiunta della v.c. doppia Y consente di ottenere la proailità associata a qualsiasi sottoinsieme B semplicemente come somma delle proailità associate alle singole coppie di valori che costituiscono B P YB p l B.. l Per esempio se si considera l esempio riportato nella taella.. la distriuzione di proailità della v.c. Y si ottiene facilmente dalle proailità associate gli eventi i tutti equiproaili se la moneta è equilirata. Utilizzando una taella a doppia entrata in cui la prima colonna riporta i valori della v.c. e la prima riga riporta i valori della v.c. Y la distriuzione di proailità congiunta di Y assume la forma riportata nella taella successiva. Taella.. Distriuzione di proailità della v.c. Y definita nella taella.. \Y /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8. Questa distriuzione di proailità congiunta si ottiene mediante lo stesso procedimento utilizzato per determinare la distriuzione di frequenza congiunta di due variaili statistiche. In generale una distriuzione di proailità ivariata di una v.c. Y in cui la assume valori diversi e Y assume h valori diversi può essere rappresentata mediante una taella analoga alla.. all interno 99

4 della quale il simolo p( l) posto all'incrocio fra la riga e la colonna l (per = e l = h) indica la proailità associata alla coppia ( l) della v.c. doppia Y per cui risulta l p l. Taella.. Esempio di distriuzione di proailità ivariata \Y l h p( ) p( ) p( l) p( h) p( ) p( ) p( ) p( l) p( h) p( ) p( ) p( ) p( l) p( h) p( ) p( ) p( ) p( l) p( h) p( ) p( ) p( ) p( l) p( h) Talvolta specie se il numero di associazioni dei valori di e Y che presentano una proailità pari a zero è elevato la distriuzione di proailità congiunta viene espressa indicando le sole proailità che risultano maggiori di zero per cui per esempio la distriuzione indicata nella taella.. può essere espressa anche mediante la notazione seguente p( ) = /8 p( ) = /8 p( ) = /8 p( ) = /8 p( ) = /8 p( ) = /8. Analogamente a quanto visto per il caso univariato e come si vede chiaramente dalle taelle.. e.. dalla distriuzione di proailità congiunta è possiile determinare le due distriuzioni di proailità marginali di e di Y che corrispondono rispettivamente a p l per P l l p l per l P Y. In analogia a quanto descritto a proposito di due variaili statistiche anche le due variaili casuali e Y risultano indipendenti quando la funzione di proailità congiunta corrisponde al prodotto delle distriuzioni di proailità marginali ossia quando

5 P( = Y = l) = P( = ) P(Y = l) per. l Nel caso della taella.. quindi le variaili e Y non risultano indipendenti fra loro.

6 . Variaili casuali doppie continue Se le v.c. e Y sono di tipo continuo e definite rispettivamente su = (a ) e su = (c d) il campo di variazione della v.c. doppia Y è sempre dato da che in questo caso corrisponde al prodotto (a ) (c d). In analogia a quanto visto a proposito del caso univariato la proailità viene assegnata a intervalli del tipo ( ] ( ] mediante la f.r. congiunta F(). Anche in questo caso questa funzione risulta definita per qualsiasi coppia di valori ( ) di Y e assume valori compresi nell intervallo [ ]. Dalla f.r. si ottiene la proailità che la Y sia compresa in qualsiasi intervallo infinitesimo del tipo ( +] ( +] e facendo tendere a zero sia sia si ottiene la f.d. congiunta P Y f ().. che associa ad ogni coppia di valori delle due v.c. la densità di proailità corrispondente. Dalla f.d. congiunta.. è possiile ottenere la f.d. marginale f () della integrando la funzione nel campo di variazione di Y d c f f d a < < e la f.d. marginale di Y mediante l integrale a f f d c < < d. Considerata per esempio la v.c. doppia Y con f.d. congiunta f() = + < < < < la f.d. marginale della corrisponde a

7 d d d f mentre la f.d. marginale della Y corrisponde a d d d f. Analogamente a quanto visto per due v.c. discrete se le due v.c. continue e Y sono indipendenti la loro f.d. congiunta corrisponde al prodotto delle due f.d. marginali f() = f () f () a < < c < < d. Considerata per esempio la v.c. doppia Y con f.d. congiunta f la f.d. marginale della corrisponde a per d d f mentre la f.d. marginale della Y è per d d d f

8 In questo caso il prodotto delle due f.d. marginali corrisponde alla f.d. congiunta per cui le due v.c. e Y sono indipendenti fra loro. Esempio.. Data una v.c. doppia Y con f.d. f() = (-) per < < < < si ottengano le due f.d. marginali e si verifichi se le due v.c. sono indipendenti fra loro Risulta f f d d per d d d per per cui e Y sono indipendenti. Esempio.. Data una v.c. doppia Y con f.d. si verifichi se e Y sono indipendenti f() = + per < < < < Le due f.d. marginali sono f d d d f d d d per per Le due v.c. non sono indipendenti fra loro

9 . Valori caratteristici Data la distriuzione di proailità congiunta della v.c. doppia Y i valori degli indici di posizione di variailità e di forma delle due variaili e Y singolarmente considerate possono essere determinati sulla ase delle distriuzioni di proailità marginali e assumono forme diverse a seconda che le variaili siano di tipo discreto oppure continuo analogamente a quanto visto nel capitolo precedente relativo alle v.c. semplici. Inoltre se le due v.c. non sono indipendenti fra loro è possiile verificare se fra e Y esiste un legame di tipo lineare diretto o inverso mediante il calcolo della covarianza = E[( )(Y )]. Anche in questo caso la covarianza corrisponde alla differenza fra il valore atteso del prodotto delle due v.c. meno il prodotto dei loro valori attesi = E(Y) E()E(Y) dove Y l p l E l se le due v.c. sono entrame discrete mentre se sono invece continue corrisponde a d Y f E dd. a c Per esempio considerata la v.c. doppia riportata nella taella successiva Taella.. Distriuzione di proailità ivariata \Y

10 si ottengono i seguenti risultati E() = = =.75 E(Y) = = =.5 E(Y) = =.75 = E(Y) E()E(Y) = = da cui risulta che fra le due variaili esiste un legame lineare di tipo inverso. Nota Va osservato che se i valori assegnati alle v.c. sono frutto di una scelta aritraria come accade quando si attriuiscono dei valori numerici ai giudizi espressi dagli individui in relazione a un certo prodotto o a un servizio non ha alcun senso calcolare la covarianza fra variaili in quanto l attriuzione di valori diversi ai vari giudizi espressi porteree a risultati differenti. Esempio.. Calcolare la covarianza per la seguente distriuzione ivariata \Y Risulta E() = E(Y) =.5 E(Y) =.8 = -. 6

11 .5 Variaili casuali multiple I concetti esposti nei paragrafi precedenti possono essere estesi ai casi in cui a ciascun evento elementare che costituisce è associato un vettore di numeri reali a dimensioni con > come quando sulle n unità statistiche vengono rilevate contemporaneamente variaili o come quando l esperimento casuale consiste in repliche (estrazione di palline da un urna lancio di monete o di dadi) per cui la v.c. rappresenta il risultato ottenuto nella prima replica rappresenta il risultato ottenuto nella seconda replica rappresenta il risultato ottenuto nella -esima replica. Considerato lo spazio di proailità ( A P) costituito dallo spazio fondamentale dalla classe degli eventi A e dalla misura di proailità P un vettore casuale ( ) è una funzione definita su che associa a ciascuno degli N eventi elementari i (i= N) valori reali [ ( i) ( i) ( i)] che rappresenta una determinazione della v.c. -variata. Quale che sia la natura delle variaili casuali considerate il campo di variazione della v.c. multipla corrisponde sempre al prodotto dei singoli campi di variazione delle v.c ( = ). Se le v.c. sono tutte discrete la loro funzione di proailità congiunta ossia la proailità che in una prova si osservi il vettore di determinazioni ( ) corrisponde a P( = = = ) = p( ) ( ) e come nel caso ivariato questa funzione di proailità congiunta consente di ottenere la proailità associata a qualsiasi sottoinsieme B pari alla somma delle proailità associate ai vettori di valori che costituiscono B. Se le variaili casuali risultano tutte indipendenti fra loro la funzione di proailità congiunta corrisponde anche in questo caso al prodotto delle singole distriuzioni di proailità marginali P( = = = )=P( = ) P( = ) P( = ) ( ). Se invece le v.c. sono continue la loro funzione di densità di proailità congiunta f

12 associa ad ogni vettore di valori delle v.c. la densità di proailità corrispondente. Se le v.c. sono tutte indipendenti fra loro questa funzione corrisponde al prodotto delle funzioni di proailità marginali delle variaili f( ) = f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Anche nel caso multivariato è possiile determinare il valore atteso e la varianza di ogni singola v.c. sulla ase della sua f.d. marginale così come è possiile calcolare la covarianza per ogni coppia di variaili..6 Cominazioni lineari di variaili casuali In alcune situazioni reali si può essere interessati a determinare le caratteristiche non di singole variaili casuali ma di una loro cominazione lineare. Si consideri per esempio il caso di un investitore che ha destinato un quarto delle sue risorse a un fondo azionario e i restanti tre quarti a un fondo oligazionario. Indicata con la v.c. rendimento del fondo azionario avente valore atteso E( ) = e deviazione standard = con la v.c. rendimento del fondo oligazionario avente valore atteso E( ) =.5 e deviazione standard = si avrà interesse a determinare il valore atteso e la deviazione standard della cominazione lineare Z = In generale date due v.c. e di valore atteso rispettivamente pari a e e di varianza rispettivamente pari a e si indichi con la loro covarianza e con P( ) la loro funzione di proailità congiunta. Ogni cominazione lineare delle due variaili Z = a è ancora una v.c. il cui valore atteso corrisponde a 8

13 9 a P P a P P P a P a E a z E Z mentre la sua varianza è invece pari a P P P P P P a a z E Z Z V z Nel caso in cui le due v.c. e fossero indipendenti fra loro la varianza della.6. risulteree pari a z in quanto la covarianza fra e risulteree pari a zero. Sulla ase dei risultati appena ottenuti la v.c. definita nella.6. ha un valore atteso pari a E(Z) = z = =.875 mentre se si ipotizza che la covarianza fra i due tipi di fondo sia pari a.5 la sua varianza è data da z = (.5) + (.75) =.6875 In generale date v.c. ogni loro cominazione lineare del tipo Z = a

14 è ancora una v.c. il cui valore atteso risulta pari a E Z z a.6. mentre la sua varianza è data da V Z z l l l l l l Anche in questo caso se le variaili sono tutte indipendenti fra di loro la varianza della cominazione.6. risulta semplicemente pari a V Z z.6.5 in quanto ogni covarianza è nulla. Come caso particolare della.6. si consideri la variaile T = corrispondente alla somma di v.c. ( = ) di valore atteso e varianza e tutte indipendenti fra loro. Dalle.6. e.6.5 risulta immediatamente che il valore atteso e la varianza di T sono date rispettivamente da E T.6.7 V T.6.8 Se si considera invece la variaile

15 corrispondente alla media di v.c. ( = ) di valore atteso e varianza e tutte indipendenti fra loro il valore atteso e la varianza di sono E V Esempio.6. Si vuole calcolare il valore atteso e la deviazione standard della v.c. Z costo unitario di un prodotto sapendo che: - la realizzazione di un unità di prodotto ha un costo fisso C pari a euro e che in media richiede ore di lavoro e grammi di materia prima; - la v.c. L costo di un'ora di lavoro ha un valore atteso pari a euro con una deviazione standard di euro; - la v.c. M costo delle materie prime ha un valore atteso di euro per grammo con una deviazione standard di euro. In questo caso la cominazione lineare assume la forma Z = L + M + C e il suo valore atteso corrisponde a E(Z) = E(L) + E(M) + C = + + = 55 mentre la sua varianza è V(Z) = V(L) + V(M) = 9 + = 96 per cui la deviazione standard di Z è z = 96