PMC: macromeccanica di compositi unidirezionali

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1 PMC: macromeccanica di compositi unidirezionali Una lamina di composito con rinforzo unidirezionale o bi-direzionale è un elemento di spessore generalmente compreso tra 0. e 5 mm circa. ssa è usata per la costruzione di laminati le cui caratteristiche (spessore, numero lamine, orientamento ecc.) sono determinate sulla base di specifiche esigenze di progetto. L analisi di un laminato presuppone pertanto la conoscenza del comportamento meccanico della singola lamina ed in particolare delle sue equazioni costitutive. Una lamina di composito è un elemento microscopicamente eterogeneo essendo la sua composizione praticamente variabile da punto a punto. Dal punto di vista macroscopico, cioè considerando una scala grande rispetto alla dimensione delle fibre, essa può però considerarsi omogenea. In questa scala, inoltre, essa esibisce un comportamento meccanico anisotropo, in particolare ortotropo.

2 PMC: macromeccanica di compositi unidirezionali Comportamento elastico lineare Materiale ISOTROPO: proprietà indipendenti dalla direzione. Possiede un numero infinito di piani di simmetria. costanti del materiale indipendenti tra, Geν G = ( + ν ) Materiale ANISOTROPO: proprietà diverse in tutte le direzioni. Non possiede un piano di simmetria. costanti del materiale indipendenti. Materiale ORTOTROPO: Possiede 3 piani di simmetria mutuamente ortogonali. 9 costanti del materiale indipendenti. Materiale TRASVRSALMNT ISOTROPO: in ogni punto c è un piano in cui le proprietà sono indipendenti dalla direzione. 5 costanti del materiale indipendenti

3 Relazioni - Nella stress analsisgeneralmente si conosce il valore degli stress (o carichi applicati) e si desidera trovare le corrispondenti deformazioni. Nel caso di piccole deformazioni stress e strain sono correlate dalle costanti elastiche del materiale. In caso di carico one-dimensionalstress e strain a trazione e taglio sono legate dal modulo elastico (materiale a comportamento elastico lineare) = c τ = Gγ Inoltre ad ogni deformazione longitudinale corrisponde una deformazione laterale di senso opposto data da ν =

4 Relazioni - se vi sono sforzi agenti in due direzioni ortogonali la deformazione risultante in ciascuna direzione sarà dipendente da entrambi gli stress: = ν ν = + se si vuole conoscere lo sforzo a partire dagli strain si ha invece: = ( ) + ν ( ν ) = ( ν ) + ( ν )

5 Flessione di piastre l influenza del modulo di Poissonè evidente anche nella flessione di una piastra. La flessione risulta in una distribuzione lineare degli sforzi che variano nello spessore passando dalla trazione alla compressione. Associato allo sforzo di trazione si ha una contrazione laterale, mentre associato allo sforzo di compressione si ha un espansione laterale, generalizzando le equazioni della trave a flessione si possono metter in relazione le deformazioni dirette con le curvature che scaturiscono dall applicazione di momenti di flessione: = z = R zk con z distanza calcolata nello spessore. = z = R zk

6 Flessione di piastre All applicazione di un momento torcente corrisponde una deformazione di taglio data da: γ = zk Si noti la presenza delle doppi pedici : il primo si riferisce alla normale al piano in cui agisce lo sforzo di taglio e il secondo alla direzione dello sforzo. ν ν Sostituendo le eq. Precedenti in =, = + si ottengono le: z = z ( k ) + νk ) = ( νk + k ( ν ) ( ν )

7 sercizio sercizio Una piastra è sottoposta a un insieme di sforzi come mostrato in figura (sforzi di taglio positivi come mostrati in figura). Si determinino le corrispondenti deformazioni assumendo il materiale isotropo avente modulo = 70 GPa e ν=0.3 Soluzione

8 Sforzi e Deformazioni principali Nella determinazione della resistenza di un materiale isotropo convenzionalmente si individuano gli sforzi e le deformazioni principali insieme all applicazione di un criterio di rottura. I valori principali di stress o strain sono quelli massimi determinati in un punto del componente che si determina mediante un insieme di assi ortogonali. Quando gli stress variano all interno del componente (come generalmente avviene), è necessario considerare i massimi sforzi per determinare il massimo assoluto. Per trovare gli sforzi principali si devono avere le equazioni sotto riportate: n = cos ϑ + sin ϑ + τ sinϑ cosϑ m = sin ϑ + cos ϑ τ sinϑ cosϑ τ sinϑ cosϑ + sinϑ cosϑ + τ nm = (cos ϑ sin ϑ)

9 Sforzi e Deformazioni principali Differenziando le eq. precedenti rispetto la θ si ottengono i valori di stress massimi (i.e. principali) che sono + +, = ± [( ) 4τ ] ma = [( ) 4τ ] τ + si osserva che l applicazione di un solo sforzo di taglio genera sforzi assiali e viceversa. Simili equazioni di trasformazione possono essere trovate per le deformazioni = cos ϑ + sin ϑ n + γ sinϑ cosϑ m = sin ϑ + cos ϑ γ sinϑ cosϑ = nm γ sinϑ cosϑ + sinϑ cosϑ γ (cos ϑ sin ϑ)

10 Sforzi e Deformazioni principali Nei materiali isotropi la direzioni in cui agiscono gli sforzi principali e le deformazioni principali sono le stesse. Le eq. Precedenti possono essere scritte in forma matriciale: = nm T nm {, τ } =, n m nm {, τ } =, = nm T nm n, m, γ = nm,, γ = T = m n mn n m mn mn ( m mn n ) m = cosϑ n = sinϑ

11 Failure Criteria Gli sforzi e le deformazioni principali si impiegano nei failure criteria per predire se un materiale resiste o no. si può prendere come rottura l insorgere dello snervamento o la rottura. Per i materiali isotropi vi sono diversi criteri applicabili e la scelta del migliore dipende di volta in volta dalle condizioni del materiale (duttile, fragile?) e dallo stato locale degli sforzi (uno, due o tridimensionali). NON c è un singolo criterio universalmente applicabile. Un criterio semplice è quello del massimo sforzo per il quale la rottura avviene in un materiale soggetto a sforzi multiassiali quando lo sforzo massimo è uguale allo snervamento (valore di riferimento quello derivante da prove di trazione uniassiale). n = snerv

12 Failure Criteria Un criterio più complicato è quello di von Mises che deriva da considerazione di deformazioni energetiche a taglio. L equazione definisce la frattura in caso di sollecitazioni tridimensionali quando: ( ) + ( 3) + ( 3 ) = snerv conglisforzi,e3sonoglisforziprincipali. Nel caso di condizioni di sforzo piano(come in una piastra sottile soggetta a carico biassiale) l equazione precedente si riduce a: + + snerv =

13 Macromecc. Comp. unidir: rigidità lamina Si inizia a considerare il comportamento della singola lamina per poi arrivare a definire il comportamento del laminato come formato da insieme di singole lamine sovrapposte. La lamina a fibre lunghe unidirezionali è un solido isotropo, anzi trasversalmente isotropo nel senso che testando il materiale lungo le direzioni e 3 si ottengono le medesime proprietà. testando il materiale nella direzione si ottengono proprietà molto diverse: il materiale è ortotropo. Le relazione tra sforzo-deformazione (dette equazioni costituenti) si possono dedurre da quelle di un materiale isotropo in cui si tiene conto del fatto che le proprietà dipendono dalla direzione di applicazione del carico.

14 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina nel caso in esame le direzioni di applicazione dello sforzo coincidono con gli assi principali del materiale (-) e si ha: = ν = ν + γ = τ G con: = modulo elastico in direzione longitudinale = modulo elastico in direzione trasversale G=modulo di taglio negli assi - ν = modulo di Poisson maggiore (tiene in conto della defor. trasversale causata da uno stress applicato nella direzione long. ) ν = modulo di Poisson minore nel caso di presenza di fibre molto rigide (ceramiche!) ci si attende che ν > ν Ciò è confermato dalla legge fondamentale dell elasticità che mostra che: ν ν = ν = ν > ν > ν

15 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina Le eqprecedenti si possono riarrangiareper avere gli sforzi in funzione delle deformazioni: ν = + ν ν ν ν = ν + ν ν ν ν τ = G γ

16 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina dalle eq. precedenti deriva che per caratterizzare il composito unidirezionale è necessario conoscere 4 costanti elastiche (,,G e ν ). (in un materiale isotropo ne occorrerebbero ) inoltre, nel composito il modulo a taglio non può essere calcolato da e ν, come avviene nei materiali isotropi. = Passando alle forma matriciali si ha: si definisce matrice degli sforzi: = S { } τ = { } γ Deformazioni causate da S ν = 0 ν G con S = S

17 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina Ovvero = Q con Q matrice delle rigidità: νν ν Q = νν 0 ν νν νν 0 = 0 0 G con Q = Q Sforzo necessario a causare una deformazione Q = S

18 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina sercizio Si supponga di avere un composito CFRP con le seguenti proprietà = 38 GPa, = 8.96 GPa, G =7.0 GPa, ν =0.30 Si determinino le matrici degli sforzi e delle deformazioni Soluzione i

19 Macromecc. comp. unidir: carico off-ais perché interessa? Quando si ha a che fare con compositi si ha in genere a che fare con laminati, che possono essere visti come piastre costruite assemblando lamine unidirezionali una sopra l altra. Spesso nei laminati la direzione delle fibre cambia strato dopo strato e quindi ne deriva che ci sono strati del laminato in cui lo sforzo è applicato in una direzione diversa da quella di allineamento delle fibre(carico off-ais) Si consideri una sola lamina unidirezionale con la direzione delle fibre ruotata rispetto agli assi di carico. Le notazioni sono: sforzo applicato su, direzioni principali del materiale sono, (n,m della vecchia notazione) poste ad un angolo θ vs al vecchio materiale.

20 Macromecc. comp. unidir: carico off-ais si possono quindi riprendere le notazioni precedenti sostituendo e a gli indici n e m: m n mn = T = T T = n m mn mn mn ( m n ) Se si desidera invece operare la trasformazione m = cosϑ n = sinϑ in direzione opposta si ha: = T = T = R = QR R =

21 Macromecc. comp. unidir: carico off-ais se si desidera determinare le deformazioni risultanti da un set di sforzi applicati ( o viceversa), dalle eq. riportate è possibile, purchèsi conoscano le costanti elastiche del materiale. maquellocheaccadeèchesiconosconoleproprietàriferiteagliassienonquelle riferite agli assi,. Pertanto per risolvere il problema si deve fare qualche calcolo matematico: T QR = = T QRT = T QRTR = T = Q Qsegnataàlamatricetrasformata della rigidità data da: Q = T QRTR Q = Qm + ( Q + Q33 ) n m Qn Q = Qn + ( Q + Q33 ) n m Qm 4 Q = ( Q + Q 4Q33 ) m n + Q ( m + n 4 4 Q 33 = ( Q + Q Q Q33 ) m n + Q33 ( m + n ) 3 3 Q = ( Q Q Q ) nm + ( Q Q + Q mn ) Q ( + nm 3 3 = Q Q Q33 ) mn + ( Q Q Q33 ) 4 ) 3

22 Macromecc. comp. unidir: carico off-ais la conoscenza dell orientazione θ e delle proprietà unidirezionali (Q) nelle direzioni principali permettono di calcolare la rigidità della lamina ruotata. nella forma generale derivata si chiama una lamina generalmente ortotropa. Se le condizioni sono tali che Q3 = Q3 = 0 si ha quello che si chiama lamina specialmente ortotropa.

23 sercizio 3 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina Si supponga di avere un composito CFRP con le seguenti proprietà = 38 GPa, = 8.96 GPa, G =7.0 GPa, ν =0.30, si calcoli la matrice della rigidità trasformata per una lamina unidirezionale con le fibre orientate a 45 rispetto alla direzione di applicazione dello sforzo. Soluzione

24 Macromecc. comp. unidir: carico off-ais se si desidera determinare le deformazioni a partire dagli stress è sufficiente invertire le equazioni precedenti = = S Q Con S segnata matrice degli sforzi trasformata, gli elementi della quale possono essere ottenuti da un procedimento analogo a quello impiegato per la determinazione degli elementi di Q segnato. S = Sm + ( S + S33) n m Sn S = Sn + ( S + S33) n m Sm 4 S = ( S + S S33) m n + S ( m + n 4 S 33 = (S + S 4S S33) m n + S33( m + n S ( + mn 3 3 = S S Q33 ) nm + (S S S33) S ( + nm 3 3 = S S S33) mn + (S S Q33 ) 4 ) 4 ) 3 3

25 sercizio 4 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina Si calcoli la matrice degli sforzi trasformata per la lamina dell esercizio 3. Soluzione

26 sercizio 5 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina La lamina ruotata dell esercizio 3 è soggetta a sforzi uniassialicome mostrato di sotto. Si calcoli le deformazioni corrispondenti. Soluzione

27 sesi. Macromecc. comp. unidir: carico off-ais

28 Macromecc. comp. unidir: rigidità lamina sercizio 6 La lamina ruotata dell esercizio 3 è soggetta agli sforzi mostrati in figura. Si noti che gli sforzi assiali diretti e quelli di taglio agiscono in senso negativo. Si calcolino gli sforzi nelle direzioni, e le deformazioni lungo le direzioni,. Soluzione