Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI

Transcript

1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Quinta esercitazione SOLUZIONI Claudia Furlan Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 0. Variabili casuali bivariate Esercizio Si definisce con Z il risultato della prova prima estrazione e con Z il risultato della prova seconda estrazione. Definiamo le variabili: X= il più grande numero estratto e Y = la somma dei due numeri. La seguente tabella mostra i possibili risultati dell esperimento con i relativi valori delle variabili casuali X e Y : palline X Y {(Z =, Z = ) (Z =, Z = )} 3 {(Z =, Z = 3) (Z = 3, Z = )} 3 4 {(Z =, Z = 3) (Z = 3, Z = )} 3 5 Si noti che i risultati di X e Y non dipendono dall ordine in cui vengono estratte le palline dall urna. a) Se si vuole calcolare la probabilità del risultato dell esperimento della prima riga della tabella precedente, cioè (X =, Y = 3), occorre tenere presente che: Pr(X =, Y = 3) = Pr(Z =, Z = ) + Pr(Z =, Z = ) = Pr(Z = ) Pr(Z = Z = ) + Pr(Z = ) Pr(Z = Z = ) = = 3. Ripetendo l operazione anche per gli altri due risultati (X = 3, Y = 4) e (X = 3, X = 5), si trova che hanno tutti probabilità pari a /3. La distribuzione congiunta di (X, Y ) è riassunta nella seguente tabella: Y X p X (x) /3 0 0 /3 3 0 /3 /3 /3 p Y (y) /3 /3 /3 Le distribuzioni marginali di X e Y si ottengono facendo i totali rispettivamente di riga e di colonna. La funzione di ripartizione congiunta si ottiene nel seguente modo: F X,Y (x, y) = p X,Y (x i, y j ), x i x y j y e viene riassunta nella seguente tabella: Y X F X (x) /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 F Y (y) /3 /3

3 Le funzioni di ripartizioni marginali si ottengono dalle relative distribuzioni di probabilità marginali. b) La distribuzione condizionata di Y dato X = 3 si ottiene prendendo la riga relativa a X = 3 nella precedente tabella e dividendo i valori delle probabilità (Pr(Y = y, X = 3)) per il totale di riga (Pr(X = 3)). Questo perché la probabilità cercata è: Pr(Y = y, X = 3) p Y X (y 3) = Pr(Y = y X = 3) =. Pr(X = 3) Il risultato è quindi (Y = y X = 3) Pr(Y = y X = 3) 4 / 5 / Utilizzando la distribuzione condizionata P Y X (y x), la funzione di ripartizione condizionata di Y dato X = 3 è: F Y X (y X = 3) y<4 0 4 y < 5 / y 5 Si noti che non esiste solo la distribuzione condizionata di Y dato X = 3, ma anche la distribuzione condizionata di Y dato X =. Di conseguenza, se in tale punto dell esercizio si fosse richiesta la distribuzione condizionata di Y dato X in generale, si sarebbero dovuti rifare i passaggi anche per il condizionamento a X =. c) La covarianza tra X e Y è data da Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = /3, in quanto i tre valori attesi coinvolti sono: E(XY ) = = E(X) = = 8 3 E(Y ) = = 4. La formula dell indice di correlazione è: ρ = Cov(X, Y ) V (X)V (Y ). Di conseguenza occorre calcolare la varianza di X e di Y : V (X) = E(X ) E(X) = = 9 V (Y ) = E(Y ) E(Y ) = = 3

4 Sostituendo: ρ = = d) L indipendenza tra due variabili implica la nullità della covarianza. Quindi, se la covarianza non è nulla, le due variabili non possono essere indipendenti. Un altro modo per dimostrare la non indipendenza era attraverso la definizione: X e Y sono indipendenti se, per qualsiasi coppia di valori x e y, si ha: Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y). Nel nostro caso questo non vale; infatti, considerando ad esempio la coppia di valori X = e Y = 4, si ha: Pr(X =, Y = 4) = 0 Pr(X = ) Pr(Y = 4) = 3 3 = 9. e) Definita la variabile casuale Z = X + 3Y e sfruttando il fatto che è una combinazione lineare delle variabili X e Y, il suo valore atteso è pari a: E(Z) = E(X + 3Y ) = E(X) + 3E(Y ) = = 5 3. La varianza è invece pari a: V (Z) = V (X) + 3 V (Y ) + 3 Cov(X, Y ) = = Esercizio Indicando rispettivamente con T e C la faccia testa e la faccia croce, in due lanci della moneta si hanno 4 possibili risultati, ciascuno con probabilità /4. Definiamo le variabili: X= numero di croci ottenute Y = numero di variazioni. La seguente tabella mostra i possibili risultati (equiprobabili) dell esperimento con i relativi valori delle variabili casuali X e Y : monete X Y (T, T ) 0 0 (T, C) (C, T ) (C, C) 0 a) La distribuzione congiunta di (X, Y ) è riassunta nella seguente tabella: X Y 0 0 /4 0 /4 / 0 / 0 / /4 / /4 3

5 Le distribuzioni marginali di X e Y si ottengono facendo i totali rispettivamente di colonna e di riga. b) La covarianza tra X e Y è data da Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0, in quanto i tre valori attesi coinvolti sono: E(XY ) = = E(X) = = E(Y ) = 0 + =. Quindi le due variabili sono incorrelate. Tuttavia, X e Y non sono indipendenti; infatti, ad esempio: Pr(X = 0, Y = ) = 0 Pr(X = 0) Pr(Y = ) = 4 = 8. Esercizio 3 a) Affinché f(x, y) sia una funzione di probabilità per (X, Y ) si deve avere che f(x, y) 0, per qualsiasi coppia di possibili valori (x, y), e che i= 3 f(x i, y j ) =. () j= La distribuzione congiunta di (X, Y ), per un generico valore di k, è data da: Y X 0 k 4k 6k k 4 4k 6k 8k 8k 6k 0k 4k 30k Quindi, nel nostro caso, la condizione () diventa 30k =, da cui si ricava che k = /30. b) Utilizzando la tabella congiunta al punto a), notiamo che c è una sola coppia di valori che soddisfa la condizione Y X; quindi: Pr(Y X) = Pr(X =, Y = ) = 6 30 = 5. 4

6 c) Analogamente a quanto fatto al punto precendente F (, ) = Pr(X, Y ) = Pr(X =, Y = 0) + Pr(X =, Y = ) = = 5 F (4, ) = Pr(X 4, Y ) = Pr(X =, Y = 0) + Pr(X =, Y = ) + Pr(X = 4, Y = 0) + Pr(X = 4, Y = ) = = 8 5. d) Le due variabili non sono indipendenti; infatti, ad esempio, si ha: Pr(X =, Y = 0) = 30 Pr(X = ) Pr(Y = 0) = = 5. Esercizio 4 Conosciamo la funzione di probabilità marginale di X, che è pari a: x 3 Pr(X = x) /4 3/4 Inoltre, conosciamo anche le funzioni di probabilità condizionate di Y, rispettivamente dato X = e dato X = 3: y 0 Pr(Y = y X = ) / / y 0 3 Pr(Y = y X = 3) /8 3/8 3/8 /8 a) Dalla definizione di probabilità condizionata: Pr(Y = y X = x) = Pr(X = x, Y = y) Pr(X = x), ricaviamo che Pr(Y = y, X = x) = Pr(Y = y X = x) Pr(X = x). Notiamo che, nel nostro caso, i due fattori nel membro di destra dell ultima equazione sono disponibili; quindi, utilizzando questa informazione, siamo in grado di ricostruire la funzione di probabilità congiunta di (X, Y ): Y X 0 3 /8 /8 0 0 /4 3 3/3 9/3 9/3 3/3 3/4 7/3 3/3 9/3 3/3 5

7 dove, ad esempio: Pr(X =, Y = 0) = Pr(Y = 0 X = ) Pr(X = ) = 4 = 8. b) Non è difficile verificare che la covarianza tra X e Y è pari a: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = = 3 8. c) La distribuzione condizionata di X, dato Y =, si ottiene prendendo la colonna relativa a Y = nella tabella della funzione di probabilità congiunta, e dividendo ogni valore per il totale di colonna (che altro non è che Pr(Y = )): x 3 Pr(X = x Y = ) 4/3 9/3 A questo punto, applicando le usuali definizioni, è immediato vedere che: E(X Y = ) = 3 3 V (X Y = ) = E(X Y = ) E(X Y = ) = ( ). 3 Esercizio 5 a) La funzione di probabilità marginale di X è pari a (somma per riga): x Pr(X = x) /3 /3 b) La funzione di probabilità marginale di Y è pari a (somma per colonna): y 0 Pr(Y = y) /4 /4 /4 c) La funzione di probabilità condizionata di X, dato Y =, è pari a: d+e) È immediato trovare che: E(Y ) = f) La covarianza tra X e Y è pari a: x Pr(X = x Y = ) /3 /3 V (Y ) = E(Y ) E(Y ) = 43 =. Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = = 0, quindi X e Y sono incorrelate. In realtà, in questo caso non era difficile verificare che X e Y sono anche indipendenti 6

8 (si provi a verificare la condizione per i 6 possibili valori della probabilità congiunta). A tal proposito, si noti come la distribuzione condizionata di X dato Y = (punto c)) sia uguale alla distribuzione marginale di X (punto a)). Questa è una conseguenza dell indipendenza: ogni probabilità condizionata non dipende dal valore su cui si condiziona ed è quindi uguale alla probabilità marginale. Esercizio 6 Tutti i possibili risultati ottenibili dal lancio di due dadi sono dati dalle coppie di punteggi {(i, j) : i, j =,..., 6}. Ognuna di queste coppie ha probabilità / di verificarsi. Nella seguente tabella le righe indicano i punteggi del primo dado e le colonne i punteggi del secondo dado. Inoltre, ad ogni possibile incrocio, il numero prima della virgola rappresenta il corrispondente valore della variabile casuale D, mentre il numero dopo la virgola rappresenta il corrispondente valore della variabile casuale S: ,,3,4 3,5 4,6 5,7,3 0,4,5,6 3,7 4,8 3,4,5 0,6,7,8 3,9 4 3,5,6,7 0,8,9,0 5 4,6 3,7,8,9 0,0, 6 5,7 4,8 3,9,0, 0, a) Dalla tabella precedente, tenendo conto che ognuna delle caselle ha probabilità /, si costruisce la funzione di probabilità congiunta di (D, S): S D / / / / / / b) La funzione di probabilità condizionata di D dato S = 4, si ottiene prendendo la colonna, nella precedente tabella, relativa a S = 4 e dividendo ogni probabilità per il totale di colonna (Pr(S = 4) = 3/). Notiamo che ci sono solo valori di D che non hanno probabilità nulla; quindi: d 0 Pr(D = d S = 4) /3 /3 c+d) Valore atteso e varianza di D S = 4 si ottengono facilmente utilizzando le definizioni e il risultato del punto c): E(D S = 4) = = 4 3, V (D S = 4) = E(D S = 4) + E(D S = 4) = =

9 e) Utilizzando il risultato del punto c) è facile vedere che: Pr(0 D S = 4) = Pr(D = 0 S = 4) + Pr(D = S = 4) = =. f) Utilizzando la definizione di probabilità condizionata e la tabella della funzione di probabilità congiunta, si ha: Pr(0 D, S 4) Pr(0 D S 4) = Pr( S 4) Pr(D = 0, S = ) + Pr(D = 0, S = 4) + Pr(D =, S = 3) + Pr(D =, S = 4) = Pr(S = ) + Pr(S = 3) + Pr(S = 4) ( )/ = =. ( + + 3)/ Esercizio 7 a) Indipendentemente dal valore di α, si ha: E(Z) = E(αX + ( α)y ) = αe(x) + ( α)e(y ) = α ( α)0.05 = b) La varianza di Z è pari a: V (Z) = V (αx + ( α)y ) = α V (X) + ( α) V (Y ) + α( α)cov(x, Y ). Nel nostro caso Cov(X, Y ) = 0 e α = /, quindi V (Z) = = , 4 e lo scarto quadratico medio è uguale a = Esercizio 8 Notiamo che X e X sono indipendenti tra loro (sono due dadi distinti) e hanno la stessa distribuzione: x Pr(X i = x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 con i =,. Notiamo inoltre che, essendo indipendenti, le due variabili sono incorrelate (Cov(X, X ) = 0). a) Valore atteso e varianza di X i (i =, ) sono pari a: E(X i ) = = 7 6, V (X i ) = E(Xi ) E(X i ) = 35. b) Valore atteso e varianza di Y sono pari a: E(Y ) = 3 E(X ) + 3 E(X ) = 7, V (Y ) = 9 V (X ) V (X ) = 75 08, 8

10 dove, nella varianza, non appare il termine relativo alla covarianza tra X e X perché le due variabili sono incorrelate. c) Valore atteso e varianza di Z sono pari a: E(Z) = 3 E(X ) 3 E(X ) = 7 6, V (Z) = 9 V (X ) V (X ) = 75 08, dove, nella varianza, non appare il termine relativo alla covarianza tra X e X perché le due variabili sono incorrelate. 9