pure rivolta verso sinistra (se l accelerazione è positiva). Per l equilibrio dinamico del corpo la somma di tali forze deve essere nulla:

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1 Oscillatore semplice Vibrazioni armoniche libere o naturali k m 0 x Se il corpo di massa m è spostato di x verso destra rispetto alla posizione di riposo, è soggetto alla forza elastica di richiamo della molla kx agente verso sinistra e alla forza d inerzia m & x pure rivolta verso sinistra (se l accelerazione è positiva). Per l equilibrio dinamico del corpo la somma di tali forze deve essere nulla: m & x + kx 0 Si noti che se x è positiva, cioè se il corpo si muove verso destra dalla posizione di riposo, il moto è decelerato e quindi la derivata seconda & x& è negativa. ponendo && x + ω x 0 ω k / m integrale generale x( t) Asinω t + Bcosω t ( ω pulsazione) si ha : Il moto è armonico. Le costanti A e B dipendono dalle caratteristiche del moto per t0. Se per t0 si ha x0, deve essere B0. In tal caso A rappresenta l ampiezza del moto. x( t) Asin t ω Le condizioni del moto si ripetono se ωt cresce di π cioè se t cresce del periodo Tπ/ω. La frequenza è f1/tω/(π). Come nel caso del carico di punta il carico P cr è quel valore di P per il quale l asta è in equilibrio deformato (momento esterno momento interno), così ω è quel valore della pulsazione per la quale il corpo è in equilibrio dinamico (la forza d inerzia fa equilibrio alla forza di richiamo della molla). L accelerazione vale: a & x ( t) Aω sin ω t con valore massimo: a max Aω A amax /ω 1

2 Attenzione alle unità di misura!! Se si usano le unità del sistema SI (N, m) si deve introdurre la massa in kg. Se si usano i kn si introduce la massa in t. Esempio: Calcolare il periodo proprio di un ascensore del peso di 800 kg appeso ad una fune lunga 4 m con sezione di 1, cm. Per la fune si consideri un modulo elastico E N/mm. Si trascuri il peso della fune. La costante elastica vale: k EA L k ω m 800 π T 0,51 sec ω 5 rad / s f 500 N / mm 1 T 3,98 cicli / s N / m Si supponga che, mentre l ascensore scende con velocità costante di m/s, l estremità superiore della fune (lunga 4 m) si blocchi improvvisamente. In quell istante (t0) si ha x0 (l ascensore inizia ad oscillare) e v(0)m/s. Si ha pertanto: x( t) x& ( t) x& (0) Asinω t Aω cosω t Aω A / ω 0,08 m L ampiezza dell oscillazione è quindi di 8 cm, che provoca un aumento di carico sulla fune: Δ F ka 0, N 40 kn che si aggiunge al carico di 800 kg P (7848 N) cui era soggetta la fune prima dell arresto. Vibrazioni armoniche libere con smorzamento k m c 0 x Se lo smorzamento è viscoso, cioè se la resistenza è proporzionale alla velocità ( c& x ), l equazione di equilibrio dinamico diviene: m & x + cx& + kx 0

3 Nella maggior parte dei casi c è abbastanza piccolo per cui si può scrivere: x( t) avendo posto: ( c / m) t e ( Acosω t + B sinωt) c ω ω0 con ω0 m Il moto è ancora armonico con ampiezza decrescente. k / m pulsazione libera Vibrazioni armoniche forzate senza smorzamento k m F(t) Sulla massa m agisca la forza mx& + kx Fm sin ωt 0 F Fm sinωt 0 x. L equazione di equilibrio dinamico diviene: & (F ha verso opposto alla forza di richiamo kx della molla) Un integrale particolare è: x x sin ω t ( x spostamento massimo) m m Sostituendo si ottiene: mω x m sinωt + kx m sinωt F dalla quale si ricava l ampiezza del moto: x m Fm k mω Fm k m 1 1 ( m / k) ω sinωt 0 Fm / k 1 ( ω / ω ) 0 Fm 1 ( f Lo spostamento è quindi uguale allo spostamento statico F m /k incrementato del coefficiente dinamico 1 1 ( f / f ) 0 Se f f 0 (risonanza) lo spostamento diviene infinito. Se f << f lo spostamento dinamico è circa uguale a quello statico: il corpo segue passivamente 0 l azione della forza perchè la sua inerzia, data la lentezza del moto, ha poca influenza. / k / f 0 ) 3

4 Se f 0 f > il moto avviene in opposizione di fase. Se f0 quello statico ( x forza e resta quasi fermo. m Fm / k ). Se 0 f lo spostamento dinamico è uguale a f >> f il corpo non fa in tempo ad obbedire agli impulsi della ESEMPIO 1 m/15t m/ H 6 m HE 180 B L 10 m Il portale di figura si ripete ogni 6 m e porta un impalcato con carico, comprensivo di peso proprio, di 5 kn/m. La trave è quindi soggetta al carico distribuito q6 530 kn/m, di risultante Q300 kn. La massa è quindi M300/9,81 30 t. Si consideri la trave infinitamente rigida. Le colonne hanno lunghezza di libera inflessione L 0 H. Si adotti un profilo HE 180 B. La rigidezza alla traslazione del portale è: 4

5 k 1EI H Pulsazione propria: N / mm kn / m ω k / M 894 / 30 5,46 rad / s Periodo: T π / ω 1,15 s frequenza : f 0,869s 1 Calcolo con Straus Telaio piano Unità di misura raccomandate 5

6 Geometria: i due HEB verticali sono collegati in sommità da un Rigid Link. Le due masse concentrate nei nodi sono rappresentate da sfere. Una forza orizzontale di 1000 kn è applicata per il calcolo della rigidezza. Caratteristiche del materiale: si noti che Density0 per considerare solo le masse concentrate 6

7 Geometria della sezione Porre Shear A1 e A0 per non considerare la deformabilità a taglio ed ottenere gli stessi risultati del calcolo manuale. Rigid Link 7

8 Masse concentrate Analisi lineare statica (Linear Static) Lo spostamento provocato dalla forza di 1000 kn è di 1,1195 m. La rigidezza del portale è quindi: k F kn m DX 1,1195 / La piccolissima differenza rispetto al valore ottenuto dal calcolo manuale (k894) è dovuta al fatto che il programma considera anche la deformabilità assiale delle colonne. 8

9 Modi propri di vibrare (Natural Frequency) Il valore della frequenza del primo modo (5,456 rad/s) coincide col valore del calcolo manuale (5,46). 9

10 Lo spostamento (autovettore) in sommità è DX 0, L autovettore x è ortonormalizzato, cioè soddisfa la proprietà: x T M x 1 con M in kg , Il secondo modo di vibrare è assiale, con frequenza altissima e può essere ignorato. Poiché il sistema ha solo due gradi di libertà, non si hanno altri modi di vibrare. Le masse considerate si possono vedere dal menu Model: 10

11 Analisi sismica Secondo L Ordinanza 374 del della Presidenza del Consiglio dei Ministri, l azione sismica di progetto (accelerazione spettrale) S d (T), per le componenti orizzontali vale, con i parametri di Fig. 1: S d (T) 0,0510 g 0,0510 9,81 0,5003 m/s La massa è cioè soggetta all accelerazione orizzontale di 0,5003 m/s, ovvero ad una forza orizzontale pari al 5,1% del peso. Il taglio totale al piede vale quindi: V d S d (T) M 0,5003 m/s 30 t 15,00 kn 0,0510 Q 0, ,3 kn (la differenza è dovuta al fatto che nel calcolo di M si è arrotondato il valore dell accelerazione di gravità g a 10). Lo spostamento massimo sarà: DX V d /k 15,00/893 0,0168 m oppure: DX S / ω 0,5003/ 5,46 0, 0168 m d Ciascuna colonna è quindi soggetta alle seguenti azioni interne dovute al sisma: taglio V 1 7,50 kn momento M 1 7,50 3,5 knm az. assiale N 1 V d (H/)/L 4,5 kn Fig. 1 Spettro di progetto secondo Ordinanza 374 del

12 Calcolo con Straus Si introduce lo spettro di progetto: Si introducono i valori di T e S d a mano o importandoli da file o con l editor di equazioni (vedi l Help in linea): Help 1

13 Tabella dello spettro di progetto Si lancia il solutore Spectral Response: 13

14 Si setta Damping (smorzamento) su None. Cliccare su Frequency File: Selezionare i modi da includere (doppio click nella colonna Include). Cliccare su Direction Vectors. Scegliere la tabella contenente lo spettro e introduce il moltiplicatore di S d nelle tre direzioni. Click su Solve. 14

15 Si controlla che il fattore di partecipazione sia > 85%. Amplitude,91 è il fattore per il quale moltiplicare gli spostamenti ottenuti dall analisi modale (Natural Frequency) DX0, per ottenere lo spostamento spettrale: DX 0, ,9161 0,01687 m che coincide col valore del calcolo manuale. 15

16 Spostamento nodo 4 Momento flettente 16

17 Azione assiale Taglio 17

18 Calcolo con TelaioD Non essendo previsti i link, si collegano i pilastri con una trave molto rigida (si è impiegato lo stesso profilo dei pilastri e si è moltiplicata per 100 l area e il momento d inerzia). Analisi dei modi propri: Analisi a spettro di risposta (Spectral Response): Selezionare i modi da includere nell analisi (cliccare nella colonna include). Inserire il moltiplicatore delle accelerazioni spettrali in Direction Vector. Selezionando Create spectral load cases verranno creati casi di carico con forze orizzontali applicate nei nodi di valore pari alle masse per le accelerazioni spettrali. Cliccare su Create Spectrum file : 18

19 Chiudere il form cliccando su close e lanciare l analisi cliccando su Solve. Diagramma del momento: 19

20 ESEMPIO m/ m0 t m/ m1/ m130 t m1/ H 6 m HE 180 B L 10 m Calcolo con TelaioD I dati si inseriscono come per l esempio 1. Nelle proprietà del beam si pone 0 la densità, in modo da considerare solo le masse concentrate. Modi propri di vibrare (Natural Frequency) Verranno calcolati i fattori di partecipazione per eccitazione in direzione X 0

21 Frequenze proprie e fattori di partecipazione (PF*). Spostamenti di nodi (autovettori) per il modo 1 1

22 Calcolo dei fattori di partecipazione I vettori dati da TelaioD sono ortonormali perché soddisfano la proprietà: M n x T n M x n i, n m x 1 essendo x i,n le componenti dell autovettore del modo n. Si ha infatti per il modo 1, con le masse espresse in kg: ,00369 Analisi sismica Si procede come nell esempio 1. i , i 1

23 Dallo spettro di risposta, in corrispondenza al periodo del modo 1, si ricava il valore spettrale dell accelerazione per g1: spectral value: S d /g 0,036 L accelerazione spettrale per g9,81 è quindi: accelerazione spettrale: S d 0,036 9,81 0,353 m/s Gli spostamenti dei nodi per il modo 1 valgono: nodo 4: DX 4 0,01905 m nodo 6: DX 6 0,0886 m Le accelerazioni massime valgono: nodo 4: a 4 DX 4 ω 1 0, ,60 0,785 m/s nodo 6: a 6 DX 6 ω 1 0, ,600,419 m/s dalle quali si possono ricavare le forze orizzontali di piano: nodo 4: F 4 M 4 a ,785 8,36 kn nodo 6: F 6 M 6 a 6 0 0,419 8,44 kn Con queste forze applicate ai nodi l analisi statica fornisce gli stessi risultati dell analisi con spettro di risposta. Si noti che il taglio alla base è uguale a quello dell oscillatore semplice moltiplicato per PF: F b 8,36+8,44 16,80 95,803% F os 16,90 kn con: F os M tot S d 50 0,353 17,66 kn 3

24 Spostamenti Noti gli spostamenti, si ricavano le azioni interne: Diagramma M modo 1 4

25 Diagramma M modo Le azioni interne massime vengono calcolate in genere con il metodo SRSS (Square Root of the Sum of Squares). Ad esempio all estremo 4 dell asta -4 si ha: M 37,67 +,596 37,76 knm Diagramma M sovrapposizione SRSS 5