MESSA A PUNTO DI UNA SITUAZIONE A-DIDATTICA

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1 MESSA A PUNTO DI UNA SITUAZIONE A-DIDATTICA IL GIOCO: COSTRUIAMO L AIUOLA L obiettivo generale del gioco è quello di far acquisire operativamente, tramite un tipo di apprendimento per scoperta che parte dalle congetture degli studenti, il concetto di equivalenza. L ipotesi che guida la messa a punto di tale situazione a-didattica è la seguente: Ricostruendo il percorso di matematizzazione, dunque percorrendo la matematica nella realtà, la comunicazione della matematica e il congetturare argomentare dimostrare, gli studenti riescono a configurare quali sono le conoscenze significative per l apprendimento dell Equivalenza di figure piane? Oltre al concetto di equivalenza, durante l attività vengono messi in gioco due elementi di fondamentale importanza : Il Triangolo rettangolo, come strumento per veicolare il sapere in gioco; La Misura, come elemento di validazione interna alla situazione.

2 IL RUOLO DELL INSEGNANTE Durante l attività, l insegnante assume un ruolo tutoriale, cercando di favorire la devoluzione dei saperi in gioco. All interno della relazione allievo sapere insegnante, quest ultimo mette a punto una serie di condizioni affinché l allievo possa assumere consapevolmente le regole della situazione a-didattica, cercando di uscire fuori di scena, per consentire un rapporto diretto tra allievo e sapere. Scrive il Delessert (Delessert A., Alcuni problemi che interessano la formazione degli insegnanti di matematica, in: Sitia C.(a cura di), La didattica della matematica oggi, Pitagora, Bologna, 1979.)che l'insegnante deve avere soprattutto il coraggio di non dire - e questo è il punto più difficile - tutto ciò che sa sulle questioni trattate. GLI OSTACOLI Tra gli ostacoli che gli studenti incontrano rispetto al sapere in gioco possiamo configurare: Difficoltà nel definire il rapporto tra l equivalenza e la congruenza. Difficoltà nel distinguere l estensione di una figura geometrica dall area.

3 IL TARGET Nell ottica della verticalità dei curricoli di matematica, a cui la situazione a didattica realizzata si ispira, l attività può offrire agli studenti occasioni per costruire nuovi concetti ( ad esempio, relativi alla misura, come il passaggio da un unità di misura non convenzionale ad una convenzionale), per arricchire concetti già appresi, per verificare l operatività di apprendimenti realizzati in precedenza. A valore orientativo, per il grado di approfondimento dell attività, la si vuole rivolgere agli alunni di una quarta/quinta elementare. I TEMPI Si prevede la realizzazione delle cinque fasi del gioco in 2 ore circa di lezione. I MATERIALI Per la realizzazione dell attività si utilizzano alcuni materiali come carta, colori, penne, cartoncini, forbici con le punte arrotondate, materiali vari ed eventuali.

4 IL GIOCO: Formiamo le aiuole. Il gioco consiste nel realizzare un aiuola che ha la forma di un triangolo rettangolo, servendosi del maggior numero di zolle di terra provenienti da aiuole già esistenti, aventi varie forme. La situazione a-didattica messa a punto prevede le seguenti fasi: La definizione della consegna La situazione d'azione La situazione di formulazione La situazione di validazione Verifica Consegna: L insegnante enuncia le regole del gioco: La scuola ha deciso di ristrutturare il proprio giardino, realizzando delle belle aiuole di forma triangolare, attorno al parco giochi. Queste aiuole si devono ricoprire con vari tipi di fiori.

5 Avendo a disposizione delle vecchie aiuole di fiori e volendole utilizzare per ricoprire le nuove di forma triangolare, vince la squadra che riesce trovare la composizione opportuna utilizzando il maggior numero di zolle, nell arco di tempo più breve, evitando dunque lo spreco dei vecchi fiori.. In particolare, bisogna riuscire a trovare le aiuole che, tra quelle disegnate sul pannello (disegno 2), possono essere composte formando un triangolo rettangolo equivalente al seguente (disegno 1), che rappresenta una delle nuove aiuole da realizzare. Come si vede le nuove aiuole hanno una base di 36 quadratini e un altezza di 18 quadratini. Disegno 1. L insegnante rappresenta graficamente, con il supporto della carta a quadretti, l aiuola con forma di triangolo rettangolo e le diverse aiuole che possono essere composte all interno di essa.

6 Primule Lilium Gigli Gelsomini Rose Stelle alpine Margherite Girasole Papaveri Iris Tulipani Garofani Disegno 2

7 Situazione d azione: Costruzione delle aiuole. (Durata 20 min.) Ogni studente ha a disposizione dei fogli di carta a quadretti, un righello e dei colori. A ciascuno studente viene richiesto di disegnare e ritagliare nel minor tempo possibile, sul proprio foglio a quadretti, il triangolo rettangolo raffigurante la nuova aiuola, nonché i poligoni che riproducono le zolle di terra a disposizione. Successivamente, viene richiesto di scegliere alcuni dei poligoni ritagliati per comporre il triangolo rettangolo. In questo modo, oltre ad interiorizzare la consegna dell insegnante, ciascuno studente comincia ad elaborare una propria strategia, evidenziata come la più funzionale, per la composizione del triangolo richiesto. Combinazioni possibili: Girasole, margherite, primule; Gelsomini, rose, stelle alpine, iris; Margherite, primule, lilium, gigli, tulipani.

8 Situazione di formulazione: Composizione dell aiuola. (Durata 20 min.) A questo punto la classe viene suddivisa in piccoli gruppi. All interno di ciascun gruppo, ogni studente possiede una propria congettura circa la scelta dei poligoni e su come possano essere accostati per formare l aiuola di forma triangolare. A ciascun sottogruppo viene chiesto di scrivere un protocollo nel quale inserire le differenti composizioni ipotizzate da ciascuno studente, ragionando implicitamente sull equivalenza tra le figure. Dopo questo momento, a cui viene attribuito un tempo massimo di 15 min, l insegnante raccoglie i protocolli e sceglie una composizione per i differenti gruppi. Questi avranno il compito, individuando un portavoce, di descrivere verbalmente la propria composizione, questa volta senza il supporto grafico, mettendo in evidenza: 1. Quali sono le zolle di fiori scelte; 2. In base a cosa sono state scelte queste zolle; 3. Se la composizione ottenuta occupa la stessa superficie dell aiuola. A turno, gli altri gruppi hanno il compito di realizzare le combinazioni socializzate dai vari portavoce, componendole su un cartoncino e fissandole con del nastro adesivo.

9 Situazione di validazione: Scopriamo la teoria. (Durata 30 min.) Entriamo nel cuore del gioco: bisogna scoprire la teoria vincente. Ciascun gruppo di studenti ha proposto una modalità di composizione delle aiuole, che viene raccolta dall insegnante e fissata sulla parete dell aula, proprio a fianco dell aiuola triangolare da ricoprire di fiori. Si ottiene una situazione di questo tipo: Primule Girasole Margherite Gelsomini Iris Rose Stelle alpine Primule Tulipani Gigli Lilium Margherite Aiuola da ricoprire Varie composizioni

10 Ciascun portavoce, sostenuto dal gruppo, deve argomentare la propria congettura, mettendo in atto una propria strategia di comparazione. L insegnante orienta la discussione su alcuni problemi: Qual è la condizione necessaria affinché le zolle di terra già esistenti possano ricoprire l aiuola triangolare? Come facciamo a determinare che i due triangoli rettangoli sono equivalenti? Cosa succede se scelgo altre combinazioni? Quale combinazione mi permette di utilizzare il maggior numero di zolle? La fase successiva del gioco prevede la validazione, o meglio la verifica delle congetture espresse da ciascun gruppo. L insegnante propone alla classe un valido strumento di validazione: la misura. Gli studenti hanno la possibilità di misurare le superfici occupate dalle zolle di fiori e dall aiuola da ricoprire, utilizzando come unità di misura il quadratino. Gli studenti si rendono conto che questa è una forte strategia per verificare la propria congettura e confutare quella degli altri gruppi. La superficie occupata dalle zolle di fiori deve essere uguale a quella occupata dall aiuola, dunque le composizioni che non rispettano tale verità sono dimostrate false.

11 Tra le composizioni che possono essere accettate, in quanto configurano figure equivalenti, viene scelta, come richiesto nella consegna, quella con il maggior numero di zolle di fiori.

12 La verifica (Durata 20 min.) Al termine dell attività vengono proposti un breve questionario ed una Situazione problema, come strumento di falsificazione dell indagine sperimentale. QUESTIONARIO (Segna anche più di una risposta) 1. Due figure possono essere equivalenti quando hanno: a. Uguale forma e diversa estensione b. Diversa forma e uguale estensione c. Uguale forma e uguale estensione 2. Due figure equivalenti sicuramente: a. Hanno la stessa area b. Hanno lo stesso perimetro c. Sono sovrapponibili 3. Due figure sono congruenti quando: a. Hanno la stessa area b. Hanno lo stesso perimetro c. Sono sovrapponibili 4. Per comunicare la misura di una superficie hai bisogno: a. Del metro b. Del righello c. Di una unità di misura 5. La misura di una superficie si chiama: a. Area b. Perimetro c. Estensione

13 6. Due figure isoperimetriche sono equivalenti? a. Si b. No

14 MESSA A PUNTO DI UNA SITUAZIONE PROBLEMA Per superare i limiti della pedagogia per obiettivi, elaborata in un contesto culturale sostanzialmente neo comportamentista, bisogna focalizzare l attenzione sui rapporti tra i soggetti didattici: il sapere, l insegnante e l allievo, nell ambito della Teoria delle situazioni, elaborata da Guy Brousseau. Il ruolo dell insegnante è quello di mediare la conoscenza, quella di uno specifico ambiente, e le esigenze degli allievi, costruendo i propri percorsi di insegnamento/apprendimento e operando delle scelte motivate e con giustificazioni epistemologiche. Per operare delle scelte significative, in rapporto a contenuti, competenze, attività e verifiche, l analisi a priori potrebbe essere uno strumento efficace. Ricordando che l obiettivo della situazione a-didattica ipotizzata è quello di far acquisire operativamente, tramite un tipo di apprendimento per scoperta che parte dalle congetture degli studenti, il concetto di equivalenza, abbiamo messo a punto una situazione problema inerente a tale tematica, che implica l esercizio di capacità di analisi, sintesi ed ottimizzazione delle soluzioni, per attuare un analisi qualitativa degli schemi di comportamento messi in atto dagli studenti.

15 Il testo della situazione problema è il seguente: Vogliamo ricoprire il pavimento del parco giochi della scuola con una guaina di gomma. Sappiamo che il parco giochi è di forma rettangolare ed ha come dimensioni 3 m e 4 m. Nei negozi, però, la guaina è disponibile solo in rotoli di 2 m di larghezza, allora quanto misurerà in lunghezza ogni pezzo? Analisi dei comportamenti attesi: Strategia 1 Si traccia il disegno del rettangolo e si cerca di trovare figure equivalenti all interno di esso, equiscomponendolo. Tali figure hanno un lato di 2 m e l altro di 3m, dunque si prendono 2 strisce di 3 m di lunghezza. Strategia 2 Si calcola l area del rettangolo che è di 12 m 2. Si divide l area per la misura della larghezza della moquette e si ottiene la lunghezza della striscia da acquistare, ovvero 6 m. Tale valore viene diviso alternativamente per la lunghezza dei lati della stanza e si sceglie come numero di strisce di guaina da ricavare da quella acquistata il quoziente intero ottenuto dalle divisioni.

16 Strategia 3 Si traccia il disegno del rettangolo e si cerca di trovare al suo interno dei rettangoli con base di 2 m. Trovati i rettangoli, si somma la lunghezza delle loro altezze, ottenendo la lunghezza complessiva della striscia di guaina da acquistare. Strategia 4 Sapendo che 4 è un multiplo di 2, si divide 4 per 2, ottenendo il numero di strisce lunghe 3 m di guaina da acquistare. Strategia 5 Si traccia il disegno del rettangolo e si calcola l area. Si divide l area per la misura della larghezza della guaina e si ottiene la lunghezza della striscia da acquistare, ovvero 6 m. Si inscrive il rettangolo di guaina ottenuto ( 2x6 m), all interno di quello raffigurante la stanza, sovrapponendo lungo il lato di 4 m. Viene misurata la parte di guaina che fuoriesce dal perimetro della stanza, la quale viene riportata nella superficie della stanza non ricoperta.

17 Strategia 6 Si traccia il disegno del rettangolo e si calcola l area. Si divide l area per la misura della larghezza della guaina e si ottiene la lunghezza della striscia da acquistare, ovvero 6 m. Si inscrive il rettangolo di guaina ottenuto ( 2x6 m), all interno di quello raffigurante la stanza, sovrapponendo lungo il lato di 3 m. Viene misurata la parte di guaina che fuoriesce dal perimetro della stanza, la quale viene riportata, suddivisa in due parti, nella superficie della stanza non ricoperta. Strategia 7 Si traccia il disegno del rettangolo e si dividono i lati più lunghi in 4 parti di 1 m ciascuna. I lati più corti vengono divisi in 3 parti di 1 m ciascuno. Osservando che lungo il lato minore, una striscia di guaina non è sufficiente a coprire la stanza, mentre due sarebbero eccessive, si sceglie di disporre i pezzi di guaina lungo il lato maggiore. Si osserva che occorrono 2 strisce lunghe 3 m per ricoprire la superficie della stanza.

18 Sperimentazione della situazione problema ed analisi dei dati sperimentali. La fase sperimentale riguardante la situazione a - didattica che abbiamo ipotizzato si è svolta il 17/05/2002 presso il Circolo Didattico Francesco Ferrara di Palermo, classe IV A. La sperimentazione su un campione di 16 bambini di età compresa tra i 10 e gli 11 anni, si svolta in due fasi: Svolgimento della situazione a didattica; Somministrazione del questionario e della situazione problema. Ricordiamo che l ipotesi della situazione a-didattica è la seguente: Ricostruendo il percorso di matematizzazione, dunque percorrendo la matematica nella realtà, la comunicazione della matematica e il congetturare argomentare dimostrare, gli studenti riescono a configurare quali sono le conoscenze significative per l apprendimento dell Equivalenza di figure piane? Per quanto riguarda la compilazione del questionari, i bambini hanno impiegato in media 10 minuti e, come si evince dai dati raccolti nella tabella, il 59,37% del campione ha risposto in maniera esatta.

19 Risposte Questionario ALUNNI N 1 X X X X N 2 X N 3 X N 4 X X X X X X N 5 X X X X X N 6 X X N 7 X X X N 8 X X X X N 9 X X X X X N 10 X N 11 X X X X N 12 X X X N 13 X X N 14 X X X X X N 15 X X X X X X N 16 X X X X X

20 Per la risoluzione della situazione - problema proposta, gli alunni hanno impiegato circa 20 minuti, utilizzando le strategie di risoluzione riportate nella tabella seguente e confrontabili con i protocolli allegati. I dati raccolti ci mostrano la mancanza di varietà nelle strategie risolutive utilizzate, in quanto la maggior parte degli studenti utilizza la prima strategia, come si nota dalla tabella. Strategie di risoluzione ALUNNI N 1 x N 2 x x N 3 x x N 4 x x N 5 x N 6 N 7 x N 8 x x N 9 x x N 10 x x N 11 x N 12 x x N 13 x x N 14 x N 15 N 16 x

21 Soltanto l alunno N 6 non è stato in grado di trovare una soluzione al problema. In generale, considerando anche il livello di partenza della classe, nonché le modalità di conduzione dell insegnante, possiamo affermare la validità dell ipotesi di partenza, anche se ci rendiamo conto della non significatività del campione preso in esame. TORNA