REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

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Marina Santoro
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1 REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR 1 La mansarda Per ultimare l edificazione di una illetta occorre costruire il tetto a due spioenti sopra la mansarda Come dato di progetto è noto quanto segue: considerata una parabola nel piano cartesiano con la concaità riolta erso il basso, di ertice V(7; ) e passante per C(; 0), i due spioenti poggiano sui punti della parabola di ascissa e 9 e risultano tangenti alla parabola nei punti di contatto Determina l altezza massima del tetto e l angolo formato dai due spioenti La situazione è rappresentata nella seguente figura P A V B 1 C Figura 1 Innanzitutto bisogna determinare l equazione a + b+ c della parabola noti il ertice V(7; ) e un punto C(; 0) Il sistema da risolere è il seguente: Z - b a a Z 7 ] ] - [ D ] " [ b " ] 4a ] \ 4a+ b+ c 0 ] 48 c - \ I punti di ascissa e 9 risultano quindi: 4 Ab; l, Bb 4 9; l Scriiamo l equazione delle rette tangenti nei punti A e B Il coefficiente angolare della retta passante per A è la deriata della funzione calcolata nel punto considerato: l " l ( ) L equazione della retta tangente in Ab 4 ; l alla parabola è quindi: ( - ) " + Analogamente per il punto Bb 4 9; l ale: l (9) - " - - ( - 9) " - + Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna 1

2 Per determinare l altezza massima basta calcolare l ordinata del punto di intersezione tra le due rette tangenti Z 8 ] + [ " applicando il metodo di riduzione ", ] - + \ Determiniamo l angolo tra le due rette: 8 8 m1- m + o o o o tg a - 0, 71 " a -, 0 a , 144, 1 + mm $ Nel caso in esame l angolo compreso tra le due rette per formare il tetto sarà quello di 144, Il profitto marginale Un laboratorio artigianale produce sciarpe di qualità gni mese ne ende 100 a un commerciante a l una e generalmente riesce a endere le altre a 4 l una L azienda sostiene un costo fisso mensile di 1600, ogni sciarpa prodotta costa 14 e in più c è un costo ariabile, che si può pensare proporzionale al cubo del numero di sciarpe prodotte, con costante di proporzionalità pari a 0,0001 Esprimi il profitto mensile in funzione del numero di sciarpe prodotte, nell ipotesi che engano realizzati e enduti almeno 100 pezzi Calcola la deriata di tale funzione, che iene chiamata profitto marginale Utilizzando la definizione di deriata, interpreta il significato del profitto marginale Indicando con il numero di sciarpe prodotte, il ricao è dato da: R ( ) 100 $ + ( - 100) $ 4 con $ 100, mentre i costi complessii sono: C ( ) $ + 0, 0001 $ con 0 La funzione profitto risulta perciò: P ( ) R ( ) - C ( ) - 0, con $ 100 Il grafico della funzione P() è il seguente Figura Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna

3 La deriata è: Pl ( ) - 0, , $ 100 Il grafico della funzione Pl() è il seguente Figura La definizione di deriata è: P ( + D) -P ( ) Pl ( ) lim D " 0 D Il profitto marginale rappresenta la ariazione di profitto in rapporto alla ariazione della produzione Sebbene l abbiamo rappresentata con un grafico a linea continua, la funzione profitto ha come dominio l insieme N e non R (il numero di pezzi prodotti è un numero naturale) e la situazione limite è la ariazione di profitto relatia alla produzione di una unità in più, oero P( + 1) - P() Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna

4 La riflessione della luce L esperienza mostra che, quando un raggio luminoso incide su una superficie piana riflettente, il raggio riflesso forma con la normale al piano nel punto di incidenza un angolo uguale a quello di incidenza Questa legge deria dalla proprietà caratteristica della luce di seguire il percorso più bree possibile all interno di uno stesso mezzo Nel piano cartesiano rappresentiamo uno specchio piano, isto in sezione, come una linea coincidente con l asse Consideriamo i punti S(0; 1), sorgente luminosa, e i punti N(; 0), con 0 1 1, e R(; ) Esprimi, in funzione di, la lunghezza del percorso indiiduato dai segmenti SN e NR Calcola la deriata di tale funzione lunghezza raggio incidente raggio riflesso superficie riflettente Troa il punto stazionario della funzione lunghezza Verifica che in corrispondenza del punto stazionario i segmenti SN e NR indiiduano il percorso effettio del raggio luminoso Rappresentiamo in un grafico la situazione R 1 S 1 N 4 1 Figura 4 La lunghezza del percorso indiiduato dai segmenti SN ed NR è: l ( ) SN+ NR ( - 0) + ( 0-1) + ( - ) + ( - 0) con Deriiamo la funzione l(); otteniamo: ll( ) Dobbiamo determinare i punti per i quali la deriata è nulla: ll ( ) 0 " Dato che entrambi i numeratori e denominatori sono positii per le condizioni poste, possiamo eleare al quadrato, ottenendo l equazione: ( ) ( - ) ( + 1) " "! 7! 10 " " 1-0 Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna 4

5 L unica soluzione accettabile è In corrispondenza del punto stazionario si ha il punto di coordinate N b ; 0l I segmenti SN ed NR giacciono su rette di coefficiente angolare: 0-1 msn -, - 0 m N R Quindi msn - mnr, i segmenti sono simmetrici rispetto alla perpendicolare all asse (cioè allo specchio) passante per N Questo mostra che i segmenti indiiduano il percorso del raggio luminoso 4 La crociera Un agenzia organizza una crociera nel Mediterraneo La nae è in grado di percorrere le 100 miglia della crociera a una elocità massima di circa nodi (1 miglio nautico 1,8 km, 1 nodo 1,8 km/h) Il consumo di combustibile, espresso in tonnellate per miglia nautiche, è proporzionale al quadrato della elocità, con il coefficiente di proporzionalità k 0,001 Il costo minimo, per una tonnellata di combustibile, è circa di 407 e la spesa oraria complessia per il personale di bordo è circa di 400 Determina la funzione che esprime il costo totale della crociera, douto al carburante e al personale, in funzione della elocità di naigazione Indiidua il punto stazionario di tale funzione Sulla base di un grafico approssimato della funzione costo totale, stabilisci se in corrispondenza del punto stazionario troato il costo è inferiore o superiore a quello che si arebbe per altre elocità di crociera Determiniamo la funzione che esprime la spesa complessia C() in funzione della elocità La spesa per il carburante è proporzionale al quadrato della elocità (0,001 $ ); tenendo conto del numero di miglia preisto e del costo a tonnellata del combustibile si ottiene: Ccarburante( ) 407 $ 100 $ 0, 001 $ La spesa totale per il personale si troa moltiplicando il costo orario complessio per il tempo di traersata (quest ultimo è dato dal rapporto tra lo spazio percorso e la elocità misurata in miglia all ora): 100 Cpersonale () $ 400 La spesa complessia in funzione della elocità è quindi: C ( ) , $ $ $ + $ $ b0, 407 $ l La deriata rispetto alla elocità della funzione costo è: Cl 400 ( ) 100 $ b0, 814 $ - l Poniamo la deriata uguale a zero per determinare i punti stazionari: 0,814 Cl 400 $ ( ) 0 " 100 $ b0, 814 $ - l 0 " 0 " " " - 17 nodi 0, , Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna

Il grafico approssimato della funzione C() è il seguente 00000 0000 000000 170000 100000 10000 1000000 70000 00000 0000 4 0000 4 8 1 16 0 4 Figura In

6 Il grafico approssimato della funzione C() è il seguente Figura In corrispondenza del punto stazionario troato (elocità 17 nodi), si ha il costo totale inferiore per la crociera Copright 01 Zanichelli editore SpA, Bologna 6

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