Statistica di Bose-Einstein

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1 Statstca d Bose-Ensten Esstono sstem compost d partcelle dentche e ndstngubl che non sono soggette al prncpo d esclusone. In quest sstem non esste un lmte al numero d partcelle che possono essere osptate nello stesso stato quantstco. Tal partcelle sono dette boson e devono l loro nome al fsco Indano S.N. Bose ( ), che per prmo ha studato la statstca d questo tpo d partcelle. Spermentalmente s verfca che tutte le partcelle con spn ntero sono boson. Nella statstca d B-E, come n quella d F-D, g fornscono la degenerazone d ogn lvello. No voglamo calcolare l numero d mod dfferent n cu un sstema d boson può essere sstemato per produrre una determnata partzone. Prma d tutto valutamo l numero d mod possbl per sstemare n partcelle fra g stat corrspondent all energa E. Questo è uguale al numero d mod n cu n oggett dentc possono essere sstemat n g scatole, senza lmt al numero d oggett per scatola.

2 Procedamo n questo modo: supponamo d sstemare n partcelle su una lnea e d dstrburle ne g stat dsponbl semplcemente nserendo g - dvson 4 0 Il numero totale d possbl confgurazon d partcelle e dvson è uguale al numero d permutazon d n + g - oggett su una lnea, che è (n + g -)!. Tutte le permutazon che dfferscono solo per l ordne delle partcelle sono ugual (partcelle dentche e ndstngubl). Devo dvdere per n!. Inoltre tutte le permutazon delle dvson corrspondono allo stesso stato fsco. Devo dvdere per (g -)!. Il numero totale d mod d dstrbure n partcelle ne g stat dventa percò:

3 Possamo ottenere l numero totale d mod dfferent d formare la partzone n, n, n,... fra lvell d energa E, E, E... moltplcando fra loro le dverse espresson corrspondent a ogn lvello d energa dsponble, ottenendo la probabltà d partzone P: P ( n g )! ( n n!( g )! n g!( g )! ( n g )! n!( g )!... )! ( n g )! n!( g )! Per trovare la partzone pù probable dobbamo calcolare l massmo del lnp. Ne rsulta: g n E e che rappresenta la legge d dstrbuzone d Bose-Ensten. Il parametro goca l ruolo gà vsto nelle altre dstrbuzon e qund defnamo la temperatura d un sstema d boson n equlbro termco come: kt

4 Percò ottenamo: n E / kt e g La costante non ha un sgnfcato specale nella statstca d Bose-Ensten, come vedremo fra poco dscutendo l gas d foton.

5 Il gas d foton L applcazone pù mportante della statstca d B-E è l anals della radazone elettromagnetca ntrappolata n una cavtà e n equlbro termco con gl atom delle paret della cavtà (radazone d corpo nero). Assumamo che la radazone d corpo nero all equlbro s comport come un gas d foton e che foton non nteragscano fra loro, ma solo con gl atom delle paret. Dal momento che foton non sono dstngubl e nulla mpedsce a foton dfferent d avere la stessa energa (gl esperment c nsegnano che l ntenstà della radazone ad una determnata frequenza può essere aumentata senza lmt) foton possono a tutt gl effett essere consderat boson. Va sottolneato, però, che l numero d foton non è costante, dal momento che possono essere assorbt o emess dagl atom delle paret. Percò la condzone: dn 0 non deve essere consderata e possamo porre = 0, per cu avremo: n e E / kt g Inoltre lo spettro d energa de foton può essere trattato come contnuo se la cavtà è grande rspetto alla lunghezza d onda meda della radazone, dal momento che n questo caso la dfferenza d energa fra stat successv permess è estremamente pccola.

6 Possamo scrvere g(e)de al posto d g : dn g( E) de / kt E e () Dato che l energa de foton è legata alla frequenza dalla relazone E=h possamo ntrodurre la funzone g() tale che g(e)de = g()d, dove g() fornsce l numero d mod d oscllazone nell ntervallo d frequenze d corrspondente all ntervallo d energa de. Abbamo gà calcolato per la radazone d corpo nero che l numero d stat con frequenza compresa fra e +d o energa compresa fra E ed E+dE è: g( E) de g( ) d 8V c d Posso rscrvere la () come: dn 8V c d h / kt e () L energa corrspondente a dn foton nell ntervallo d frequenza d è hdn e l energa per untà d volume è hdn/v. La dstrbuzone della denstà d energa per la radazone d corpo nero dventa qund: ( ) T h dn V d

7 Inserendo la () s ottene l equazone d Planck: 8h T ( ) c e h kt

8 Capactà termca de sold I sold sono aggregat regolar d un numero molto elevato d atom (o molecole) mantenut nelle loro poszon d equlbro da forze d coesone. Ogn atomo può vbrare ntorno alla propra poszone d equlbro, ma l accoppamento fra gl atom è così forte che ogn movmento d vbrazone s trasmette agl atom vcn e n pratca a tutto l soldo. Percò dobbamo consderare ecctazon vbrazonal collettve ne sold. Le vbrazon collettve generano onde stazonare nel soldo. Le loro frequenze dpendono dalla forma e dalle dmenson del soldo, n un modo del tutto analogo a cò che accade nel caso delle onde elettromagnetche nella cavtà. Sebbene lo spettro delle frequenze possbl sa dscreto, nel caso n cu l soldo sa grande rspetto alle dmenson atomche la separazone fra le frequenze permesse dventa così pccola da poter assumere che lo spettro sa contnuo. Le onde stazonare non sono altro che onde elastche che s propagano nel soldo e percò la loro veloctà d propagazone è quella del suono.

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10 In un mezzo realmente contnuo non c sarebbe lmte al numero totale d mod vbrazonal; ma n un soldo, che contene un numero N fnto (per quanto grande) d atom, ogn modo vbrazonale deve essere descrtto n termn delle N coordnate d poszone degl atom stess. Questo mpone un lmte al numero totale d mod ndpendent (che deve essere uguale a N) e d conseguenza alla massma frequenza vbrazonale 0, che defnamo d cutoff ) ( d v v V d g N t l Integrando ottenamo: 4 0 v l v t V N N v v V t l ovvero: d N d v v V d g t l ) ( che sosttuta nell espressone della denstà d mod fornsce:

11 Il problema che abbamo dscusso fnora è del tutto analogo a quello delle onde elettromagnetche stazonare n una cavtà, che ha dato orgne al concetto d gas d FOTONI per analzzare la radazone d corpo nero. Potremmo spngere oltre l analoga assocando a mod vbrazonal d un soldo, che sono necessaramente QUANTIZZATI, l concetto d gas d FONONI, composto da partcelle d energa h. L ecctazone o la dsecctazone d un modo vbrazonale, corrsponde all assorbmento o all emssone d un energa h. Dal momento che tutt fonon sono dentc e non c è lmte al numero d fonon nello stesso stato d energa, c aspettamo che un gas d fonon all equlbro termco obbedsca alla statstca d Bose-Ensten. Inoltre l numero d fonon non è fssato, vsto che l loro numero può aumentare o dmnure a seconda che l energa de mod cresca o descresca (=0).

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