j Verso la scuola superiore Verso l algebra astratta
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- Alessandro Frigerio
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1 j erso l suol superiore erso l lger strtt +nsiemi unzioni Operzioni inrie e strutture lgerihe Relzioni Logi Proilità +nsiemi ndividu l rispost estt. Un insieme è finito se: è formto d pohi elementi. è possiile elenre tutti i suoi elementi. è sottoinsieme di in un insieme infinito. L rispost estt è, inftti un insieme è finito se è possiile elenre tutti gli elementi he vi pprtengono, indipendentemente dl ftto he questi sino pohi o molti. L rispost è errt, perhé un insieme infinito può mmettere sottoinsiemi nh essi infiniti: d esempio l insieme infinito dei numeri nturli ontiene il sottoinsieme dei numeri pri, nh esso infinito. Qule tr i seguenti gruppi non è un insieme? fiori elli. liri di un iliote. Gli nimli dell fttori del signor Rossi. L rispost estt è, inftti un insieme è formto d un gruppo di elementi individuti in mnier non soggettiv; l proprietà di essere elli dipende dl gusto di hi giudi. Possimo invee dire senz miguità se un nimle pprtiene o no ll fttori del signor Rossi, e se un liro pprtiene o no d un iliote. Due insiemi sono disgiunti se: non hnno elementi in omune. hnno luni elementi in omune. hnno un solo elemento in omune. Due insiemi sono disgiunti se l loro intersezione è l insieme vuoto, ovvero non hnno elementi in omune. L rispost estt è quindi. Se i fossero luni elementi, o nhe un solo elemento in omune, essi pprterreero ll intersezione, e gli insiemi non sreero quindi disgiunti. Due insiemi sono uguli se: hnno luni elementi uguli. hnno tutti gli elementi uguli. hnno lmeno un elemento ugule. A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig n generle, un insieme è individuto dgli elementi he vi pprtengono: se due insiemi hnno uno o luni elementi uguli, possono verne llo stesso tempo nhe di diversi, e quindi essere insiemi diversi. Due insiemi he ontengono esttmente gli stessi elementi, nhe in ordine diverso, sono uguli. L rispost estt è quindi.
2 erso l suol superiore 5 Un insieme è vuoto se: non ontiene elementi. ontiene pohi elementi. ontiene un solo elemento. Per definizione l insieme vuoto, il ui simolo è, non ontiene elementi. L rispost estt è quindi. Un insieme he ontiene un solo elemento, o he ontiene pohi elementi, differise dll insieme vuoto perhé ontiene elementi he non pprtengono ll insieme. l simolo di pprtenenz è: l simolo viene utilizzto per indire he un insieme è ontenuto in un ltro. l simolo viene utilizzto per indire he un elemento pprtiene un insieme. l simolo viene utilizzto per indire he un elemento non pprtiene un insieme. L rispost estt è quindi. 7 Qul è l rppresentzione per elenzione delle lettere dell prol mrhell? A = {m,, r,,, h, e, l, l, A = {m, r,,, h, e, l, A = {m,, r,, h, e, l Per rppresentre l insieme rihiesto isogn elenre le lettere dell lfeto he ompongono l prol dt. Se vi sono lettere he si ripetono, vnno indite un sol volt. L rispost estt è quindi. 8 Quli dei seguenti insiemi A = {s, e, d, B = {s, e, C = {i,, D = {d, s, e sono sottoinsiemi dell insieme U = {s, e, d, i,? A e B. Tutti. B, C e D. sottoinsiemi di un insieme dto U sono insiemi i ui elementi pprtengono tutti nhe ll insieme U. Nel nostro so U è l insieme delle lettere dell prol sedi; gli insiemi A, B, C, D ontengono ognuno lune delle lettere dell prol sedi, quindi sono tutti sottoinsiemi di U. L rispost estt è quindi. 9 ndividu quli insiemi sono finiti, quli infiniti e quli vuoti. d e f fiumi d tli. numeri mggiori di 5. Le onsonnti dell lfeto itlino. numeri interi mggiori di e minori di 7. Le pitli europee. numeri dispri. Un insieme è finito se è possiile elenre tutti i suoi elementi; è infinito se non è possiile elenre tutti i suoi elementi; è vuoto se non ontiene elementi. d e f Si possono elenre tutti. Non si possono elenre tutti. L insieme è formto d elementi. Non esistono numeri nturli he sino ontempornemente mggiori di e minori si 7. È possiile elenre tutte le pitli. Non si possono elenre tutti. A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig
3 erso l lger strtt 0 Osserv gli insiemi A e D e stilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. A C 7 d e f g B D C A B A D A A = {, 0, 7, 0 B = {numeri mggiori di 0 C = {numeri dispri minori di 7 D = {, 50, d e f g Tutti gli elementi di C pprtengono nhe d A, quindi C A. Osservimo he A ontiene nhe elementi non pprtenenti C, quindi C è un sottoinsieme proprio di A. Tutti gli elementi di B pprtengono nhe d A, quindi B A; nhe in questo so, B è un sottoinsieme proprio di A. Nessun elemento di D pprtiene d A, quindi D A. Gli elementi di A sono gli elementi di C, di B e, 0, 0, 7, quindi: A = {,, 7, 0,, 7, 0, 5, 8, 0. B = {5, 8, 0, i suoi elementi sono tutti mggiori di 0, m esistono infiniti ltri numeri he soddisfno l rihiest. Sree invee orretto srivere B = {x A x > 0. C={, 7,, i suoi elementi sono tutti dispri e minori di 7, m esistono ltri numeri he soddisfno l rihiest. Sree invee orretto srivere C = {x A x è dispri e x < 7. Gli elementi di D sono, 50, 5, quindi D = {, 50, 5. Sono dti gli insiemi A = {x x < 5 e B = {x x è divisore di ; determin i seguenti insiemi: A B, A B, A B, B A. Gli insiemi A e B, sritti per elenzione, sono: A = {,,, 5,, 7, 8, 9, 0,,,, B = {,,,,, L unione di due insiemi A e B è l insieme degli elementi he pprtengono d A o B, quindi: A B = {,,,, 5,, 7, 8, 9, 0,,,, L intersezione di due insiemi A e B è l insieme degli elementi he pprtengono si d A si B, quindi: A B = {,,,, L differenz tr due insiemi A e B, onsiderti nell ordine, è l insieme degli elementi di A he non pprtengono B, quindi: A B = {5, 7, 8, 9, 0,,, B A = { A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig
4 erso l suol superiore unzioni ndividu l rispost orrett. 5 Dt l funzione f( x)= x x+, il vlore di f( ) f( ) è: 9 + Se 5 f( x)= x x+ llor 5 f ( ) = ( ) ( ) + = + 5+ = 9 = f ( ) = ( ) 5 + = + = ( ) 5 l vlore numerio di f( ) f( ) è ( ) =. L rispost estt è quindi. Spendo he, gx ( )= x y y f( )= 7+ x+ e hy ( )= +, il vlore numerio f() g( ) di è: h( ) Aimo: f () = () 7() + = 7+ = g( ) = ( ) ( ) + = + + = 7 ( ) h( ) = + = + + = + + = 8 f() g( ) 7 7 l vlore numerio di è =. h( ) 8 L rispost estt è. Dt l funzione, il vlore numerio di f( 9)+ f ( ) f( )= è: Aimo: f( 9)= f( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 8 = 59 f ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) = = = + = 5 l vlore numerio di f( 9)+ f( ( ) ) è quindi 59 5 = 5. L rispost estt è. A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig
5 erso l lger strtt Operzioni inrie e strutture lgerihe 5 L legge di omposizione rppresentt in tell è legge di omposizione intern? Qul è l insieme A su ui è definit l legge? L insieme su ui è definit l legge di omposizione è A = {,,. Su un insieme A è definit un legge di omposizione intern se isun oppi di elementi di A si ssoi sempre un terzo elemento he pprtiene d A; osservndo l tell di omposizione si vede he per ogni oppi di elementi si ottiene sempre un elemento dell insieme onsiderto, quindi l legge è di omposizione intern. Studi l operzione l ui legge di omposizione è dt dll seguente tell. L struttur è un gruppo? Osservndo l tell doppi entrt si riv l insieme su ui si oper: A = {, 0,. 0 ) n tell si vede he è un legge di omposizione intern perhé in ess ompiono solo gli elementi dell insieme di prtenz A = {, 0,. ) L legge di omposizione è ommuttiv se, A si h =. 0 0 = 0 = 0 = = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 0 = L legge di omposizione dt è ommuttiv. Per verifire veloemente se un legge di omposizione è ommuttiv st ompilre l tell di omposizione e osservre he gli elementi simmetrii rispetto ll digonle priniple sono uguli. Risrivimo l tell di omposizione dt, trimo l digonle priniple e osservimo he gli elementi simmetrii sono uguli A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig 5
6 erso l suol superiore ) L legge di omposizione è ssoitiv se,, A si h: ( ) = ( ). ( 0) = 0 = ( 0) = (0 ) (0 ) = = ( ) 0 = 0 = ( ) 0 = ( 0) ( 0) = = ( ) = = ( ) = ( ) ( ) = = ( ) 0 = 0 = ( ) 0 = ( 0) ( 0) = 0 = (0 ) = = (0 ) = 0 ( ) 0 ( ) = 0 = Proedendo in questo modo, si verifi he l legge di omposizione dt è ssoitiv. ) L struttur (A, ) è dott di elemento neutro u se A si verifi: u = u. L elemento neutro, se esiste, è unio. Per trovre l elemento neutro di un struttur lgeri st ompilre l tell di omposizione e erre l rig e l olonn he 0 sono uguli ll rig e ll olonn prinipli: dove esse si inroino si trov l elemento neutro. 0 Osservndo l tell si vede he l rig e l olonn d onsiderre sono quelle evidenzite; esse si inroino nell elemento he è l elemento neutro ) Se un struttur lgeri (A, ) mmette elemento neutro u, si die he due elementi qulsisi e ', pprtenenti ll insieme A, sono simmetrii se ' = ' = u. Ogni elemento dotto di simmetrio si die simmetrizzile. Se un legge di omposizione è ssoitiv e h elemento neutro, llor il simmetrio di ogni elemento, se esiste, è unio. Per verifire se un elemento mmette simmetrio, isogn vedere nell tell di omposizione se nell rig e nell olonn dell elemento onsiderto ompre l elemento neutro (nell stess posizione). Se osservimo l tell di omposizione vedimo he in ogni rig e in ogni olonn ompre l elemento neutro (un sol volt e nell stess posizione), quindi ogni elemento è simmetrizzile: è simmetrio di se stesso, 0 e sono simmetrii tr loro. Poihé l legge di omposizione è intern, ssoitiv, dott di elemento neutro, e tle he ogni elemento è simmetrizzile, l struttur è un gruppo. Poihé è ommuttiv, il gruppo è elino A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig
7 erso l lger strtt 7 È dto l insieme A = { m, 0, m, dove m è un dto numero reltivo diverso d, e l legge =. Srivi l tell reltiv ll legge e verifi se è legge di omposizione intern. m 0 m m m 0 m L legge di omposizione non è intern perhé in tell vi sono elementi m e m he (essendo m ) non pprtengono ll insieme A di prtenz. m m 0 m Relzioni 8 Tr gli insiemi A = {x x 5 e B = {,,, 8, 0, è definit l relzione: R =. Determin dominio, odominio e l relzione invers R. Srivimo per elenzione i due insiemi: A = {,,,, 5 B = {,,, 8, 0, L relzione è R =, ioè un elemento pprtenente ll insieme B è in relzione on un elemento dell insieme A se è il suo doppio; quindi: B è doppio di A B è doppio di A B è doppio di A 8 B è doppio di A 0 B è doppio di 5 A Periò il dominio è: D = {,,,, 5 = A; il odominio è: C = {,,, 8, 0 B. L relzione invers è R =. 9 Osserv il seguente digrmm sgittle e determin le proprietà dell relzione rppresentt. L relzione è riflessiv perhé ogni elemento h il ppio, e iò signifi he: R R R Quindi ogni elemento dell insieme dto è in relzione on se stesso, ioè A R. 0 Osserv il seguente digrmm sgittle e determin le proprietà dell relzione rppresentt. L relzione rppresentt è: riflessiv perhé e hnno il ppio; ntisimmetri perhé d prte l frei dirett, m d non prte l frei dirett, ioè vle l proprietà R R. A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig 7
8 erso l suol superiore Osserv il seguente digrmm sgittle e determin le proprietà dell relzione rppresentt. L relzione rppresentt è: ntiriflessiv perhé nessun elemento dell insieme h il ppio, quindi A R. simmetri perhé per ogni oppi di elementi dell insieme dto risult R R inftti tr e, e, e è l doppi frei. Logi Clol il vlore di verità delle seguenti espressioni logihe. [(p q) r] s spendo he p =, q =, r =, s =. (p q) [(q r) (r s)] spendo he p =, q =, r =, s =. Compilimo l tell on le ondizioni dte per gli enuniti p, q, r, s: p q r s p q (p q) r [(p q) r] s Quindi il vlore di verità dell espressione logi dt è ALSO. Compilimo l tell on le ondizioni dte per gli enuniti p, q, r, s: p q r s p q q r r s [(q r) (r s)] (p q) [(q r) (r s)] l vlore di verità dell espressione logi dt è ERO. Qule deve essere il vlore di verità dell enunito p per verifire le seguenti equzioni logihe? ( p) = p =... [ ( )] p = p =... [ ( )] p = p =... Se ( p) = l espressione ( p) deve essere fls, m l ongiunzione rende fls l proposizione se si h oppure, quindi l enunito p può essere si ERO he ALSO. Dl testo possimo rivre il vlore di verità di [ ( )]: [ ( )] = [ ] = quindi l equzione logi divent: p = p = ALSO Dl testo possimo rivre il vlore di verità di [ ( )]: ( ) = = quindi l equzione logi divent: p = p = ERO A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig 8
9 erso l lger strtt Proilità Segli l rispost orrett. L proilità he, nel lnio di un ddo, es un numero mggiore di è: 0 L proilità di un evento è dt dl rpporto tr il numero dei si fvorevoli e il numero dei si possiili. n questo so i si fvorevoli sono (usit del numero o 5 o ), mentre i si possiili sono pri l numero delle fe di un ddo, ioè. L proilità rihiest è P = =. 5 L proilità di estrrre d un mzzo di 0 rte un figur di seme rosso è: 0 l numero dei si fvorevoli, ioè il numero di figure di seme rosso, è ( figure di uori e di qudri); i si possiili sono pri l numero totle delle rte, ioè 0, quindi: P = =. 0 0 Spendo he l proilità dell evento A è 0, e he i si possiili sono 75, i si fvorevoli: sono. sono. non sono determinili. L proilità di un evento è P = si fvorevoli si possiili, quindi: 0, = si fvorevoli d ui segue: si fvorevoli = 0, 75 = Se lnio due ddi l proilità he l somm dei punteggi si un numero minore di 8 è: Rppresentimo l situzione on un tell doppi entrt mettendo in rig e in olonn i numeri di isun fi dei due ddi e ompilimo l tell pplindo l operzione di ddizione Se l rihiest è l somm dei punteggi si un numero minore di 8 in tell doimo ontre tutti i vlori minori o uguli 7, he sono. Csi fvorevoli = ; si possiili =, quindi: P = = 7 A. Clvi - G. Pnzer EL - L Spig 9
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