Il modello a shell fallisce nella predizione dello spin totale del nucleo 6 3

Transcript

1 Problema 1 Il modello a shell fallisce nella predizione dello spin totale del nucleo 6 3 Li. Tuttavia la misura del suo momento magnetico fornisce il valore µ = 0.82 µ N. I momenti magnetici del protone e del neutrone sono rispettivamente µ p = µ N e µ n = 1.91 µ N. a) Quale informazione si ricava sullo spin del nucleo 3 6 Li? b) Sulla base di quali argomenti spiegate che il nucleo 6 2 He ha spin 0?. c) Scrivere la reazione del decadimento β del nucleo 6 2 He. d) Stimare, sulla base dei contributi all energia di legame, se sia energeticamente possibile e indicare che tipo di transizione si ha nel decadimento. Problema 2 La reazione: p + p d + e+ + ν e è la reazione di innesco della catena pp, responsabile della produzione di energia nelle stelle. Calcolare la massima energia dello spettro di neutrini prodotti in questa reazione.

2 Calcolare inoltre l altezza della barriera coulombiana per questa reazione, confrontarla con l energia cinetica media di protoni in un plasma alla temperatura di 10 7 K e stimare la probabilità di effetto tunnel. Problema 3 Assegnare parità e momento angolare al nucleo 17 O nel suo stato fondamentale. I primi due stati eccitati sono caratterizzati dai seguenti numeri quantici: energia livello (kev) 0 (gs) J 870 1/ /2 - Giustificarne, nell ambito del modello a shell, momento angolare a parità.

3 Problema 4 Calcolare Q ed energia di soglia per le seguenti reazioni: γ + 16 O 15 O + n γ + 17 O 16 O + n e giustificarne i valori diversi. In particolare si vuole studiare la reazione γ + 16 O 15 O + n inviando un fascio di fotoni di energia E γ = 60 MeV e intensità I γ = 10 8 s -1 su un bersaglio di 16 O di spessore massico τ = 200 mg/cm 2. Calcolare l energia cinetica del neutrone emesso ad un angolo = π/2 rispetto alla direzione del fotone. Spesso l energia dei neutroni si deduce misurando il suo tempo di volo dal bersaglio al rivelatore. Determinare, nel caso specifico, a che distanza deve essere posto il rivelatore se si vuole che il tempo di volo sia pari a 50 ns. Se la sezione d urto differenziale di questa reazione vale σ diff = 4 µb/sr, calcolare la superficie del rivelatore per neutroni (di efficienza intrinseca ε intr =0.25) per avere un tasso di conteggi dell ordine di 0.1 al secondo. (supporre la sezione d urto isotropa).

4 Problema 5 In un esperimento di diffusione, un fascio di protoni di intensità 10 5 /sec viene diffuso su un bersaglio di deuterio liquido di densità 0.14 gr/cm 3 e spessore 10 cm. Ricaviamo la sezione d urto totale, sapendo che il numero di protoni diffusi per unità di tempo è pari a 10 3 /sec. Problema 6 La sezione d urto totale di interazione di neutroni su nuclei di 235 U vale 580 barn per energia dei neutroni di ev (neutroni termici ). Supponendo di avere un fascio di neutroni di intensità 10 6 n/sec incidente su un bersaglio di 235 U di spessore 0.5 mg/cm 2, calcolare di quanto si attenua il fascio in percentuale a causa dell assorbimento a cui è soggetto nell attraversare il bersaglio.

5 Problema 7 In un esperimento di diffusione viene usata una sorgente radioattiva di attività a = 10 mci che emette particelle α di energia T = 6 MeV e un bersaglio di spessore ρx = 1 mg/ cm 2 di Ag. La sorgente è collimata mediante un collimatore di angolo solido 2.8 msr. Se si misura la sezione d urto di diffusione Rutherford ad un angolo di diffusione θ = 60 ponendo un rivelatore di area S = 1 cm 2 a distanza R = 5 cm, calcolare la frequenza di conteggio R attesa. Problema 8 La sezione d urto di diffusione di un elettrone da una particella puntiforme di carica unitaria, priva di spin e infinitamente pesante (ovvero senza rinculo) è data, nel sistema del laboratorio, dalla cosiddetta formula di Mott: dσ dω Mott ( ) ( ) ϑ 2 = 2 α 2 cos 2 ϑ 2 4E 2 sin 4 dove E è l energia del fascio di elettroni incidente sul bersaglio, θ è l angolo di diffusione dell elettrone, e α è la costante di struttura fina. Supponendo di avere una diffusione di elettroni di energia 100 MeV ad un angolo di 30 o, calcolare la sezione d urto in cm 2 /sr e quindi in microbarn (µb/sr).

6 Problema 9 Calcolare l energia di legame di una particella α nel nucleo 16 8 O e nel nucleo U e giustificarne i valori. Per il calcolo utilizzare le tabelle delle masse ed il modello a goccia e confrontare i risultati. Problema 10 Calcolare il Q nella fissione di U per il canale: 235 U Te Zr + 3n sapendo che le energie di legame per nucleone valgono rispettivamente: ε(u) = MeV, ε(te) = MeV, ε(zr) = MeV.

7 Problema 11 Calcolare il Q-valore della reazione di fusione: d + d 2 4 He + γ per E = kt (con T = 10 6 K) quanto vale il massimo momento angolare classico della coppia d-d? Quale valore quantistico vi aspettate? Con quale tipo di transizione e multipolarità descrivereste il gamma emesso? Problema 12 Si ricavino la costante di decadimento, la vita media e il tempo di dimezzamento del nucleo 239 Pu, sapendo che un preparato di 239 Pu puro presenta una attività specifica pari a 0.06 Ci/g. Problema 13 Si calcolino la costante di decadimento, la vita media e il tempo di dimezzamento di un nucleo radioattivo presente in un preparato la cui attività diminuisce del 6.6% in 100 giorni.

8 Soluzione problema 1 a) Il nucleo 6 3 Li ha un protone ed un neutrone nello stato 1p3/2; il suo momento magnetico misurato (0.82 µ N ) vale µ p + µ n = 0.88 µn. Dal momento che per i nuclei: µ I A = g I A µ N I, deve essere: I = 1. (inaspettatamente: I = 3/2-1/2) Inoltre, per un protone e un neutrone nella shell p: = (-1) 1 (-1) 1 = +1. Quindi lo stato del 3 6 Li è: I = 1 + b) Il nucleo 6 2 He (pari-pari) ha due neutroni nello stato 1p3/2 che devono avere gli spin anti-paralleli. Quindi I = 0 L = 0 I = 0 + c) 6 2 He 6 3 Li + e + ν e. d) m( 6 2 He ) - m( 6 3 Li ) = 4.9 MeV, quindi il decadimento β è possibile. Dal momento che J = 1, si tratta di una transizione Gamow-Teller

9 Soluzione Problema 2 Usando le masse nucleari: La massima energia del neutrino è Q Si calcola il fattore di Gamow nell interazione p-p all energia dei protoni corrispondente alla temperatura del plasma di 10 7 K. Dal momento che non vale la relazione: m proiettile << m bersaglio dobbiamo usare la massa ridotta e l energia cinetica nel CM.

10

11 Soluzione Problema 3 Il nucleo 17 O ha un neutrone spaiato nello stato d5/2, quindi i suoi numeri quantici sono: 5/2+

12 Il primo stato eccitato può essere descritto come il salto del neutrone spaiato dal livello 1d5/2 (che resta vuoto) al livello superiore 2s1/2. Pertanto: 1/2+ 1d3/2 2s1/2 1d5/2 1p1/2 1p3/2 1s1/2 1d3/2 2s1/2 1d5/2 1p1/2 1p3/2 1s1/2

13 Il secondo stato eccitato (1/2-) può essere descritto come il salto di un neutrone dallo stato sottostante 1p1/2 allo stato 1d5/2: la coppia di neutroni dello stato 1d5/2 dà contributo nullo per l effetto di pairing, e momento angolare e parità del nucleo sono quelli della lacuna lasciata nello stato p1/2. Pertanto: 1/2-1d3/2 2s1/2 1d5/2 1p1/2 1p3/2 1s1/2 1d3/2 2s1/2 1d5/2 1p1/2 1p3/2 1s1/2

14 Soluzione Problema 4 T thr = Q m iniz ( i) + m fin ( i) 2 m bers

15 Il neutrone è più legato nel nucleo 16 O (8 = numero magico) che nel nucleo 17 O dove è un neutrone di valenza che si aggiunge ad una conformazione magica. Per calcolare l energia del neutrone si usano (nella usuale simbologia > ) le solite relazioni: m m E 1 m 2 = m m E 3 E 1 2p 1 p 3 cos θ + 2E 3 m 2 che, nel caso di = π/2, si semplifica e diviene: E 3 = m m m 3 2 m E 1 m 2 2( E 1 + m ) 2

16 Bisogna calcolare la velocità del neutrone. Stabilito il tempo di volo, si calcola la distanza del rivelatore dal bersaglio. L angolo solido, unico grado di libertà, deve garantire la rivelazione di 0.1 neutroni al secondo.

17 Soluzione Problema 5 Dalla relazione: σ tot = R A N Av ρx I = = cm 2 = 24 mb Soluzione Problema 6 Dalla relazione: 3 τ R assorb = σ assorb I N Av A = = 740 s 1 Pertanto l attenuazione percentuale f del fascio è data da: f = R assorb I 100 = = 0.074% 6 10 Soluzione Problema 7 Per la reazione indicata, la sezione d urto differenziale Rutherford vale:

18 dσ dω = zze 2 4E 2 1 ( ) sin 4 θ / = 4 7 L angolo solido sotteso da rivelatore vale: ΔΩ det ector = S R 2 = sr ( ) = cm 2 sin 4 π / 6 L intensità della sorgente è pari ad: a = 10 mci = s -1. Solo una frazione di queste passa attraverso il collimatore e colpisce il bersaglio: I α = a ΔΩ 3 coll 4π = = s 1 4π Mettendo tutto assieme: R atteso = dσ dω ΔΩ det ector I α N Av τ A = = 0.02 s 1

19 Soluzione Problema 8 Sostituendo i valori dati nel testo: dσ dω Mott ( ) ϑ ( 2 ) = = 2 α 2 cos 2 ϑ 2 4E 2 sin ( ) 2 cos ( 2 15 ) o ( ) sin 4 15 o = fm 2 / sr = cm 2 / sr = 110 µb / sr Soluzione Problema 9 Utilizzando i valori delle masse atomiche: M(α) = MeV M( 12 C) = MeV M( 16 O) = MeV abbiamo: B(α- 12 C) = M( 16 O) - [M(α) + M( 12 C) ] = MeV M(α) = MeV M( 238 U) = MeV M( 234 Th) = MeV abbiamo: B(α- 234 Th) = M( 238 U) - [M(α) + M( 234 Th) ] = MeV

20 Nel primo caso abbiamo B < 0, quindi la particella alfa è legata. Nel secondo caso, essendo B > 0, il decadimento è favorito. Solo l effetto tunnel impedisce al nucleo 238 U di scindersi immediatamente in alfa e 234 Th. Soluzione Problema 13 t = 100 giorni = s. K = a 0 = N 0 λ ( ) = N( Δt) λ = N 0 λ e λδt a Δt

21 ΔK = a a ( Δt ) 0 = 1 e λδt a 0 ln ( 1 ) λ = = s λ = ln ( 1 ΔK) Δt τ = 1 λ = s = 4.1 anni T 1/ 2 = τ ln2 = 2.8 anni

22

23